资源简介

(共28张PPT)
3.4.3.1 空间中的角
(第二课时)
学习目标
1.会用向量法求二面角的大小，体现逻辑推理能力（重点）
2.能正确区分平面法向量所成的角与二面角的平面角的关系，体现数学抽象能力（难点）
新课导入
复习一下：上一节课我们学习了直线与直线形成的角和直线与平面形成的角的向量求法，那么它们的公式是什么？
两条直线形成的角：cos θ＝|cos〈a，b〉|
直线与平面形成的角：sin θ＝|cos〈l，n〉|
在以前我们学过两个平面形成的角，那么，根据前面学习的知识，让我们研究一下两个平面形成的角的向量求法吧.
新课学习
思考一下：我们知道,两个平面相交形成四个二面角,那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系呢？下面选择其中一个来研究.
如图，过二面角α-l-β内一点P作PA⊥α于点A，作PB⊥β于点B，
则 (或 )是平面α的一个法向量， (或 )是平面β的一个法向量.
设平面PAB交直线l于点O，连接AO，BO，
不难证明：l⊥平面PAB，于是∠AOB就是二面角α-l-β的平面角.
新课学习
思考一下：我们知道,两个平面相交形成四个二面角,那么二面角的平面角与两个平面的法向量存在怎样的关系呢？下面选择其中一个来研究.
因为在四边形PAOB中，∠PAO=∠PBO=
所以
新课学习
思考一下：二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉的关系？
一般地，已知n1，n2分别为平面α，β的法向量，则二面角α-l-β的平面角与两法向量所成角〈n1，n2〉相等(如图(1))或互补(如图(2)).
新课学面与平面的夹角的概念
如图，平面α与平面β相交，形成四个二面角， 我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角. 设平面α与平面β的夹角为θ，则
新课学习
利用向量法求二面角的步骤:
1.建立空间直角坐标系；
2.分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；
3.求两个法向量的夹角；
4.判断所求二面角的平面角是锐角还是钝角；
5.确定二面角的大小.
新课学习
例10:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.
由AA'⊥平面ABCD，可知n1=(0,0,1)是平面ABCD的一个法向量.
因为A'(0,0,1)，C(1,1,0)，D(0,1,0)，
所以
设n2=(x,y,z)是平面A'DC的一个法向量，则
新课学习
例10:如图，在空间直角坐标系中有单位正方体ABCD-A'B'C'D'，求二面角A'-DC-A的平面角.
即
所以取n2=(0,1,1)，得
由图可知二面角A'-DC-A的平面角为锐角，所以，平面角为
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例11:如图，已知二面角α-l-β的平面角为 ，点B，C在棱l上，
AB⊥l，CD⊥l，AB=2，BC=1，CD=3，求AD的长.
因为AB⊥l，CD⊥l，二面角α-l-β的平面角为
所以
因为
所以
新课学习
总结一下：利用空间向量求空间角的基本思路
利用空间向量求空间角的基本思路是把空间角转化为求两个向量之间的夹角来求．
1.首先要找到并表示出相关向量，常用的两种方法是坐标法、基向量法，解题时要灵活掌握；
2.其次理清要求角和两个向量夹角之间的关系；
3.最后利用两个向量的夹角公式求出空间角．
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练一练：如图所示，已知四棱锥S-ABCD 中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形， ∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值.
依题意，AD，AB，AS两两互相垂直.以A为点 ， ， ， 的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，AD的长为单位长度，建立如题图所示的空间直角坐标系.
则 A(0,0,0),S(0,0,3),C(3,3,0),D(1,0,0)
所以
设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z)
新课学习
练一练：如图所示，已知四棱锥S-ABCD 中，SA⊥平面ABCD，ABCD为直角梯形， ∠DAB=∠ABC=90°，且SA=AB=BC=3AD，求平面SAB与SCD所成角的正弦值.
则
令x=3,可得y=2，z=1 ，此时n=(3,-2,1) .
因为
所以可知所求角的正弦值为
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A
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C
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C
课堂巩固
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B
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C
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45°或135°
课堂巩固
课堂总结
1.平面与平面的夹角的概念
2.求二面角的步骤
THANK YOU(共28张PPT)
3.4.3.1 空间中的角
（第一课时）
学习目标
1.会用向量法求线线角、线面角，体现逻辑推理能力和数学计算能力（重点）
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系，体现逻辑推理能力（难点）
新课导入
回顾一下：我们学习过异面直线的夹角、直线与平面的夹角, 以及两个平面相交所成的二面角，回顾一下这些定义.
异面直线的夹角：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a'//a，b'//b，我们把直线a'与b'所成的角叫做异面直线a与b所成的角
直线与平面的夹角：过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
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两个平面相交所成的二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.
回顾一下：我们学习过异面直线的夹角、直线与平面的夹角, 以及两个平面相交所成的二面角，回顾一下这些定义.
思考一下：那么, 在空间中怎样描述这些角呢 这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
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思考一下：观察如图的两条直线a，b的方向向量a，b，这两条直线所成的角与两条直线有什么关系？
a
b
图①
当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角(如图①)；
当两条直线平行时，规定它们所成的角为0；
当两条直线a与b是异面直线时，在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b，把a'，b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图②).
图②
a
a'
b'
O
b
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拓展：求异面直线夹角的步骤
1.确定两条异面直线的方向向量.
2.确定两个向量夹角的余弦值的绝对值.
3.得出两条异面直线所成的角.
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两条直线的夹角的概念
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈ 且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补.
也就是说，当 时，
当 时，
故
cos θ＝|cos〈a，b〉|.
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例8：如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD A'B'C'D'，AB=2，BC=
1，AA'=3. 求AC'与A'D夹角的余弦值.
设s1 ，s2 分别是AC'和A'D的一个方向向量， 取
因为A(0,0,0),C'(2,1,3), A'(2,1,3),D(0,1,0),
所以
设AC'和A'D的夹角为θ，则
故AC'和A'D夹角的余弦值为
新课学习
思考一下：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？
平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这个平面的夹角.
当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面的夹角为 0；
当一条直线与一个平面垂直时， 规定这条直线与这个平面的夹角为
由图1和图2不难看出: 直线与平面的夹角和直线与平面的垂线的夹角互余.
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直线与平面的夹角的概念
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，则直线l与平面α所成的角θ∈ 且θ= 或θ=
故
sin θ＝|cos〈l，n〉|.
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例9:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA'所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.易知n=(1，0，0)是平面ACC'A'的一个法向量.
由△ABC是边长为2的正三角形，可得
所以
设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ，则
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例9:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为
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拓展：求直线与平面所成角的步骤
1.分析图形关系，建立空间直角坐标系；
2.求出直线的方向向量a和平面的法向量n；
3.设线面角为θ，则sinθ＝
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练一练：如图所示，已知ABCD A1B1C1D1是正方体，E，F分别是棱AB， CC1的中点，求直线EF与BD1所成角的余弦值.
如图，以D为原点建立空间直角坐标系.
设正方体的棱长为2，则E(2,1,0),F(0,2,1),B(2,2,0),D1(0,0,2),
所以
所以
所以直线EF与BD1所成角的余弦值为
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C
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A
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C
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课堂巩固
A
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D
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0
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课堂总结
1.两条直线的夹角
2.直线与平面的夹角
THANK YOU

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