资源简介 4.3 诱导公式与对称1.sin=( )A. B.-C. D.-2.sin 240°+cos(-150°)=( )A.- B.-1C.1 D.3.若sin(θ+2π)<0,cos(θ-π)>0,则θ为( )A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角4.若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是( )A.4 B.±4C.-4 D.5.(多选)下列三角函数式的值为负的是( )A.cos 210° B.sinC.sin D.cos(-1 920°)6.(多选)已知n∈Z,则下列三角函数中,与sin 的值相同的是( )A.sinB.cosC.sinD.cos7.sin 750°= .8.若cos(π+α)=-,π<α<2π,则cos(α-2π)= .9.已知cos(π+α)=-,则cos(α+3π)+cos(α-π)= .10.化简下列各式:(1)sincos π;(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos 240°sin(-210°).11.设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f()=( )A. B.C.0 D.-12.(多选)在△ABC中,给出下列四个式子,其中为常数的是( )A.sin(A+B)+sin CB.cos(A+B)+cos CC.sin(2A+2B)+sin 2CD.cos(2A+2B)+cos 2C13.已知函数f(x)=sin 2x,若存在非零实数a,b,使得f(x+a)=bf(x)对任意x∈R都成立,则满足条件的一组值可以是a= ,b= .(只需写出一组)14.在直角坐标系中,角α的终边与单位圆相交于点P,求的值.15.黑洞原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串,重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a,则cos (+)=( )A. B.-C. D.-16.已知f(x)=(n∈Z).(1)化简f(x)的表达式;(2)求f.4.3 诱导公式与对称1.D 由题意可得sin=-sin =-.2.A sin 240°+cos(-150°)=sin(180°+60°)+cos(180°-30°)=-sin 60°-cos 30°=--=-.3.C ∵sin(θ+2π)=sin θ<0,cos(θ-π)=cos(π-θ)=-cos θ>0,∴cos θ<0,∴θ为第三象限角.4.C sin 600°=sin(720°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-,∴=-,则a<0.∴4a2=48+3a2,∴a2=48,又a<0,∴a=-4.5.AD A.cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-<0.B.sin =sin=sin =sin=sin =>0.C.sin=-sin=-sin =-sin(π+)=sin =>0.D.cos(-1 920°)=cos 1 920°=cos(5×360°+120°)=cos 120°=cos(180°-60°)=-cos 60°=-<0.6.BC 对于A,当n=2k,k∈Z时,sin=sin=sin π=sin=-sin ,所以A错误,对于B,cos=cos ==sin ,所以B正确,对于C,sin=sin ,所以C正确,对于D,cos=cos=cos=-cos =-=-sin ,所以D错误,故选B、C.7. 解析:sin 750°=sin(720°+30°)=sin 30°=.8. 解析:由cos(π+α)=-,得cos α=,故cos(α-2π)=cos α=.9.- 解析:∵cos(π+α)=-,∴cos α=.∴cos(α+3π)+cos(α-π)=-cos α-cos α=-2cos α=-.10.解:(1)sincos π=-sincos=sin cos =.(2)sin(-960°)cos 1 470°-cos 240°·sin(-210°)=-sin(180°+60°+2×360°)·cos(30°+4×360°)+cos(180°+60°)·sin(180°+30°)=sin 60°cos 30°+cos 60°·sin 30°=1.11.A 由题意可得f()=f()+sin=f()+sin +sin=f()+sin+sin +sin =0+sin(π-)+sin(2π-)+sin(2π+π-)=0+-+=.故选A.12.BC A项,sin(A+B)+sin C=2sin C;B项,cos(A+B)+cos C=-cos C+cos C=0;C项,sin(2A+2B)+sin 2C=sin[2(A+B)]+sin 2C=sin[2(π-C)]+sin 2C=sin(2π-2C)+sin 2C=-sin 2C+sin 2C=0;D项,cos(2A+2B)+cos 2C=cos[2(A+B)]+cos 2C=cos[2(π-C)]+cos 2C=cos(2π-2C)+cos 2C=cos 2C+cos 2C=2cos 2C.故选B、C.13. -1(答案不唯一) 解析:当a=时,f=sin(2x+π)=-sin 2x,即b=-1,故当a=,b=-1时,f(x+a)=bf(x)对任意x∈R都成立.14.解:∵在直角坐标系中,角α的终边与单位圆相交于点P,由正弦函数、余弦函数的定义得cos α=,sin α=-,===.15.B 根据“数字黑洞”的定义,任取数字0,第一步之后变为101,第二步之后变为123,接着变为123,再变为123,所以数字黑洞为123,即a=123,故cos(+)=cos(+)=cos(π+)=-cos =-.故选B.16.解:(1)当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,f(x)====sin2x;当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,f(x)====sin2x.综上得f(x)=sin2x.(2)由(1)知f=sin2π=sin2(675π+)=sin2=.2 / 24.3 诱导公式与对称新课程标准解读 核心素养1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式 数学抽象2.能够运用诱导公式,把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理 “南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆(单位圆)是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,圆有很好的对称性:既是以圆心为对称中心的中心对称图形,又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.【问题】 你能否利用这些对称性,借助单位圆,讨论任意角α的终边与π±α,-α有什么样的对称关系? 知识点 诱导公式终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称图示公式 sin(-α)= ; cos(-α)= sin(π+α)= ; cos(π+α)= ; sin(α-π)= ; cos(α-π)= sin(π-α)= ; cos(π-α)= 特点 (1)公式两边的函数名称一致; (2)将α看作锐角时,原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号,即为等号右边的符号提醒 诱导公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角.( )(2)点P(x,y)关于x轴的对称点是P'(-x,y).( )(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的.( )(4)cos(-α-β)=cos(α+β).( )2.cos 300°+sin 450°=( )A.-1+ B. C.-1- D.3.若cos(π-α)=,则cos α= .题型一 给角求值问题【例1】 求下列三角函数式的值:(1)sin 495°·cos(-675°);(2)sin+cos .尝试解答通性通法利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用sin(-α)=-sin α,cos(-α)=cos α转化;(2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角;(3)“小化锐”——用α±π与π-α相应的公式将大于的角转化为锐角;(4)“求值”——得锐角三角函数后求值.【跟踪训练】求下列各三角函数式的值:(1)sin 1 320°;(2)cos.题型二 给值(式)求值问题【例2】 (1)已知sin(π+α)=-0.3,则sin(2π-α)= ;(2)已知cos=,则cos= .尝试解答通性通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系;(2)将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.【跟踪训练】已知sin β=,cos(α+β)=-1,则sin(α+2β)= .题型三 三角函数式的化简【例3】 化简下列各式:(1)·sin(π+α)cos(-α);(2).尝试解答通性通法利用诱导公式化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的;(2)利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等.【跟踪训练】 化简下列各式:(1);(2).1.cos(-780°)=( )A.- B.- C. D.2.已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是( )A.sin α=sin β B.sin(α-2π)=sin βC.cos α=cos β D.cos(2π-α)=-cos β3.如图所示,角θ的终边与单位圆交于点P,则cos(π-θ)的值为( )A.- B.-C. D.4.若k为整数,则sincos= .4.3 诱导公式与对称【基础知识·重落实】知识点-sin α cos α -sin α -cos α -sin α-cos α sin α -cos α 自我诊断1.(1)√ (2)× (3)× (4)√2.D 原式=cos(360°-60°)+sin(360°+90°)=cos(-60°)+sin 90°=cos 60°+1=.3.- 解析:∵cos(π-α)=-cos α,∴-cos α=,即cos α=-.【典型例题·精研析】【例1】 解:(1)sin 495°·cos(-675°)=sin(135°+360°)·cos 675°=sin 135°·cos 315°=sin(180°-45°)·cos(360°-45°)=sin 45°·cos 45°=×=.(2)sin+cos=-sin +cos=-sin+cos=-sin +cos=-sin-cos=sin -cos=-=0.跟踪训练 解:(1)法一 sin 1 320°=sin(3×360°+240°)=sin 240°=sin(180°+60°)=-sin 60°=-.法二 sin 1 320°=sin(4×360°-120°)=sin(-120°)=-sin(180°-60°)=-sin 60°=-.(2)法一 cos=cos=cos=cos=-cos =-.法二 cos=cos=cos=-cos =-.【例2】 (1)-0.3 (2)-解析:(1)∵sin(π+α)=-0.3,sin(π+α)=-sin α,∴sin α=0.3.∴sin(2π-α)=-sin α=-0.3.(2)∵+α=π-,∴cos=cos=-cos(-α)=-.跟踪训练 - 解析:∵cos(α+β)=-1,∴α+β=π+2kπ,k∈Z,∴α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β.∴sin(α+2β)=sin(2kπ+π+β)=sin(π+β)=-sin β=-.【例3】 解:(1)原式=·(-sin α)cos α=·(-sin α)cos α=sin2 α.(2)原式===cos α.跟踪训练 解:(1)原式===1.(2)原式=====-.随堂检测1.C 因为cos(-780°)=cos 780°=cos(2×360°+60°)=cos 60°=,故选C.2.C 由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故sin α=-sin β,cos α=cos β.故选C.3.C ∵角θ的终边与单位圆交于点P(-,),∴cos θ=-.∴cos(π-θ)=-cos θ=.4.- 解析:分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,原式=sin·cos=-sin ·cos =-×=-;当k=2n+1(n∈Z)时,原式=sin·cos=sin ·cos=sin =×=-.综上,sincos(kπ+)=-.3 / 3(共55张PPT)4.3 诱导公式与对称新课程标准解读 核心素养1.能借助单位圆的对称性,利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式 数学抽象2.能够运用诱导公式,把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角正弦函数、余弦函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 “南京眼”和辽宁的“生命之环”均利用完美的对称展现自己的和谐之美.而三角函数与圆(单位圆)是紧密联系的,它的基本性质是圆的几何性质的代数表示,圆有很好的对称性:既是以圆心为对称中心的中心对称图形,又是以任意直径所在直线为对称轴的轴对称图形.【问题】 你能否利用这些对称性,借助单位圆,讨论任意角α的终边与π±α,-α有什么样的对称关系? 知识点 诱导公式终边关系 角-α与角α的终边关于x轴对称 角α±π与角α的终边关于原点对称 角π-α与角α的终边关于y轴对称图示公式 sin (-α)= ; cos (-α)= sin (π+α)= ; cos (π+α)= ; sin (α-π)= ; cos (α-π)= sin (π-α)= ;cos (π-α)= 特点 (1)公式两边的函数名称一致; (2)将α看作锐角时,原角所在象限的正弦函数、余弦函数值的符号,即为等号右边的符号 -sin αcosα- sin α - cos α - sin α - cos α sin α - cos α 提醒 诱导公式的记忆口诀:“函数名不变,符号看象限”.“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名;“符号”是指等号右边是正号还是负号;“看象限”是指假设α是锐角,要看原函数名在本公式中角的终边所在象限是取正值还是负值.1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)诱导公式中角α是任意角. ( √ )(2)点P(x,y)关于x轴的对称点是P'(-x,y).( × )(3)诱导公式中的符号是由角α的象限决定的. ( × )(4) cos (-α-β)= cos (α+β). ( √ )√××√2. cos 300°+ sin 450°=( )解析: 原式= cos (360°-60°)+ sin (360°+90°)=cos (-60°)+ sin 90°= cos 60°+1= .3. 若 cos (π-α)= ,则 cos α= .解析:∵ cos (π-α)=- cos α,∴- cos α= ,即 cos α=- .- 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 给角求值问题【例1】 求下列三角函数式的值:(1) sin 495°· cos (-675°);解: sin 495°· cos (-675°)= sin (135°+360°)· cos 675°= sin 135°· cos 315°= sin (180°-45°)· cos (360°-45°)= sin 45°· cos 45°= × = .(2) sin + cos .解: sin + cos =- sin + cos=- sin + cos =- sin + cos=- sin - cos = sin - cos= - =0.通性通法利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用 sin (-α)=- sin α, cos (-α)= cosα转化;(2)“大化小”——用终边相同的角的三角函数值相等化为0到2π之间的角;(3)“小化锐”——用α±π与π-α相应的公式将大于 的角转化为锐角;(4)“求值”——得锐角三角函数后求值.【跟踪训练】求下列各三角函数式的值:(1) sin 1 320°;解:法一 sin 1 320°= sin (3×360°+240°)= sin240°= sin (180°+60°)=- sin 60°=- .法二 sin 1 320°= sin (4×360°-120°)= sin (-120°)=- sin (180°-60°)=- sin 60°=- .解:法一 cos = cos = cos = cos =- cos =- .(2) cos .法二 cos = cos= cos =- cos =- .题型二 给值(式)求值问题【例2】 (1)已知 sin (π+α)=-0.3,则 sin (2π-α)= ;解析:∵ sin (π+α)=-0.3, sin (π+α)=- sin α,∴ sin α=0.3.∴ sin (2π-α)=- sin α=-0.3.-0.3 (2)已知 cos = ,则 cos = .解析:∵ +α=π- ,∴ cos = cos=- cos ( -α)=- .- 通性通法解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系;(2)将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.【跟踪训练】已知 sin β= , cos (α+β)=-1,则 sin (α+2β)= .解析:∵ cos (α+β)=-1,∴α+β=π+2kπ,k∈Z,∴α+2β=(α+β)+β=2kπ+π+β.∴ sin (α+2β)= sin (2kπ+π+β)= sin (π+β)=- sin β=- .-题型三 三角函数式的化简【例3】 化简下列各式:(1) · sin (π+α) cos (-α);解:原式= ·(- sin α) cos α= ·(- sin α) cos α= sin 2 α.(2) .解:原式== = cos α.通性通法利用诱导公式化简应注意的问题(1)利用诱导公式主要是进行角的转化,从而达到统一角的目的;(2)利用诱导公式化简三角函数式的一般原则是负化正、大化小、异角化同角等.【跟踪训练】 化简下列各式:(1) ;解:原式== =1.(2) .解:原式== = = =- .1. cos (-780°)=( )解析: 因为 cos (-780°)= cos 780°= cos (2×360°+60°)= cos 60°= ,故选C.2. 已知角α和β的终边关于x轴对称,则下列各式中正确的是( )A. sin α= sin βB. sin (α-2π)= sin βC. cos α= cos βD. cos (2π-α)=- cos β解析: 由角α和β的终边关于x轴对称,可知β=-α+2kπ(k∈Z),故 sin α=- sin β, cos α= cos β.故选C.3. 如图所示,角θ的终边与单位圆交于点P ,则 cos (π-θ)的值为( )解析: ∵角θ的终边与单位圆交于点P(- , ),∴ cosθ=- .∴ cos (π-θ)=- cos θ= .4. 若k为整数,则 sin cos = - .解析:分k为奇数和k为偶数两种情况进行讨论.当k=2n(n∈Z)时,原式= sin · cos =- sin · cos=- × =- ;当k=2n+1(n∈Z)时,原式= sin· cos = sin · cos = sin= × =- .综上, sin cos=- .- 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. sin =( )解析: 由题意可得 sin =- sin =- .123456789101112131415162. sin 240°+ cos (-150°)=( )B. -1 C. 1解析: sin 240°+ cos (-150°)= sin (180°+60°)+cos (180°-30°)=- sin 60°- cos 30°=- - =- .123456789101112131415163. 若 sin (θ+2π)<0, cos (θ-π)>0,则θ为( )A. 第一象限角 B. 第二象限角C. 第三象限角 D. 第四象限角解析: ∵ sin (θ+2π)= sin θ<0, cos (θ-π)= cos(π-θ)=- cos θ>0,∴ cos θ<0,∴θ为第三象限角.123456789101112131415164. 若600°角的终边上有一点(-4,a),则a的值是( )解析: sin 600°= sin (720°-120°)= sin (-120°)=- sin (180°-60°)=- sin 60°=- ,∴ =-,则a<0.∴4a2=48+3a2,∴a2=48,又a<0,∴a=-4 .123456789101112131415165. (多选)下列三角函数式的值为负的是( )A. cos 210°D. cos (-1 920°)12345678910111213141516解析: A. cos 210°= cos (180°+30°)=- cos 30°=- <0.B. sin = sin = sin = sin = sin =>0.C. sin =- sin =- sin =- sin= sin = >0.D. cos (-1 920°)= cos 1 920°= cos(5×360°+120°)= cos 120°= cos (180°-60°)=- cos60°=- <0.123456789101112131415166. (多选)已知n∈Z,则下列三角函数中,与 sin 的值相同的是( )12345678910111213141516解析: 对于A,当n=2k,k∈Z时, sin = sin= sin π= sin =- sin ,所以A错误,对于B, cos = cos = = sin ,所以B正确,对于C, sin= sin ,所以C正确,对于D, cos =cos = cos =- cos =- =- sin ,所以D错误,故选B、C.123456789101112131415167. sin 750°= .解析: sin 750°= sin (720°+30°)= sin 30°= . 123456789101112131415168. 若 cos (π+α)=- , π<α<2π,则 cos (α-2π)= .解析:由 cos (π+α)=- ,得 cos α= ,故 cos (α-2π)= cos α= . 123456789101112131415169. 已知 cos (π+α)=- ,则 cos (α+3π)+ cos (α-π)= .解析:∵ cos (π+α)=- ,∴ cos α= .∴ cos (α+3π)+cos (α-π)=- cos α- cos α=-2 cos α=- .- 1234567891011121314151610. 化简下列各式:(1) sin cos π;解:sin cos π=- sin cos= sin cos = .12345678910111213141516(2) sin (-960°) cos 1 470°- cos 240° sin (-210°).解: sin (-960°) cos 1 470°- cos 240°· sin (-210°)=- sin (180°+60°+2×360°)· cos (30°+4×360°)+ cos (180°+60°)· sin (180°+30°)= sin 60° cos 30°+ cos 60°· sin 30°=1.1234567891011121314151611. 设函数f(x)(x∈R)满足f(x+π)=f(x)+ sin x.当0≤x<π时,f(x)=0,则f( )=( )C. 012345678910111213141516解析: 由题意可得f( )=f( )+ sin =f( )+ sin + sin =f( )+ sin + sin + sin =0+ sin (π- )+ sin (2π- )+ sin (2π+π- )=0+ - + = .故选A.1234567891011121314151612. (多选)在△ABC中,给出下列四个式子,其中为常数的是( )A. sin (A+B)+ sin CB. cos (A+B)+ cos CC. sin (2A+2B)+ sin 2CD. cos (2A+2B)+ cos 2C12345678910111213141516解析: A项, sin (A+B)+ sin C=2 sin C;B项, cos(A+B)+ cos C=- cos C+ cos C=0;C项, sin (2A+2B)+ sin 2C= sin [2(A+B)]+ sin 2C= sin [2(π-C)]+ sin 2C= sin (2π-2C)+ sin 2C=- sin 2C+ sin 2C=0;D项, cos (2A+2B)+ cos 2C= cos [2(A+B)]+ cos 2C= cos [2(π-C)]+ cos 2C= cos (2π-2C)+ cos 2C= cos2C+ cos 2C=2 cos 2C. 故选B、C.1234567891011121314151613. 已知函数f(x)= sin 2x,若存在非零实数a,b,使得f(x+a)=bf(x)对任意x∈R都成立,则满足条件的一组值可以是a= ,b= .(只需写出一组)解析:当a= 时,f = sin (2x+π)=- sin 2x,即b=-1,故当a= ,b=-1时,f(x+a)=bf(x)对任意x∈R都成立. -1(答案不唯一) 12345678910111213141516解:∵在直角坐标系中,角α的终边与单位圆相交于点P ,由正弦函数、余弦函数的定义得 cos α= , sin α=- ,= = = .14. 在直角坐标系中,角α的终边与单位圆相交于点P ,求的值.1234567891011121314151615. 黑洞原指非常奇怪的天体,它体积小,密度大,吸引力强,任何物体到了它那里都别想再出来.数字中也有类似的“黑洞”,任意取一个数字串,长度不限,依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数,把这三个数从左到右写成一个新数字串,重复以上工作,最后会得到一个反复出现的数字,我们称它为“数字黑洞”.若把这个数字设为a,则 cos ( + )=( )12345678910111213141516解析: 根据“数字黑洞”的定义,任取数字0,第一步之后变为101,第二步之后变为123,接着变为123,再变为123,所以数字黑洞为123,即a=123,故 cos ( + )= cos ( + )= cos (π+ )=- cos =- .故选B.1234567891011121314151616. 已知f(x)= (n∈Z).(1)化简f(x)的表达式;解:当n为偶数,即n=2k(k∈Z)时,f(x)== == sin 2x;12345678910111213141516当n为奇数,即n=2k+1(k∈Z)时,f(x)== == sin 2x.综上得f(x)= sin 2x.12345678910111213141516(2)求f .解:由(1)知f = sin 2 π= sin 2(675π+ )= sin 2 = .12345678910111213141516谢 谢 观 看! 展开更多...... 收起↑ 资源列表 4.3 诱导公式与对称.docx 4.3 诱导公式与对称.pptx 4.3 诱导公式与对称(练习,含解析).docx