资源简介

4.4　诱导公式与旋转
1.已知sin 25.3°＝a，则cos 64.7°＝（　　）
A.a　　　　　　　　　　 B.－a
C.a2 D.
2.若sin（3π＋α）＝－，则cos＝（　　）
A.－ B.
C. D.－
3.若sin（180°＋α）＋cos（90°＋α）＝－a，则cos（270°－α）＋2sin（360°－α）的值是（　　）
A.－ B.－
C. D.
4.若cos＝，则cos＋sin（φ－π）的值为（　　）
A.－ B.
C.－ D.
5.（多选）下列与cos的值相等的是（　　）
A.sin（π－θ） B.sin（π＋θ）
C.cos D.cos
6.（多选）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定成立的是（　　）
A.cos（A＋B）＝cos C
B.sin（A＋B）＝sin C
C.cos ＝sin B
D.sin ＝cos
7.已知sin（π＋α）＝－，则cos＝　　　　.
8.若对任意x∈R，cos（x－φ）＝sin x恒成立，则常数φ的一个取值为　　　　.
9.已知sin（α－3π）＝2cos（α－4π），则＝　　　　.
10.已知f（α）＝.
（1）化简f（α）；
（2）若cos（α－π）＝，求f（α）的值.
11.已知cos（75°＋α）＝，则sin（α－15°）＋cos（105°－α）的值是（　　）
A. B.
C.－ D.－
12.已知cos（－α）＝，则sin（α－）＝　　　　.
13.化简：＝　　　　.
14.在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，n），且cos＝，α∈，求m的值.
15.已知f（x）＝sin x＋cos x，则下列结论正确的是（　　）
A.f（x＋π）＝sin x＋cos x
B.f（π－x）＝sin x＋cos x
C.f＝sin x＋cos x
D.f＝sin x＋cos x
16.是否存在角α，β，α∈（－，），β∈（0，π），使等式sin（3π－α）＝cos（－β），cos（－α）＝－cos（π＋β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由.（注：对任意角α，有sin2α＋cos2α＝1成立.）
4.4　诱导公式与旋转
1.A　cos 64.7°＝cos（90°－25.3°）＝sin 25.3°＝a.
2.A　∵sin（3π＋α）＝－sin α＝－，∴sin α＝.∴cos＝cos＝－cos＝－sin α＝－.
3.B　由sin（180°＋α）＋cos（90°＋α）＝－a，得－sin α－sin α＝－a，即sin α＝.cos（270°－α）＋2sin（360°－α）＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－a.
4.D　∵cos＝，∴sin φ＝－，∴cos＋sin（φ－π）＝cos－sin（π－φ）＝－sin φ－sin φ＝－2sin φ＝.
5.BD　cos＝cos＝－cos＝－sin θ；sin（π－θ）＝sin θ；sin（π＋θ）＝－sin θ；cos＝sin θ；cos＝－sin θ.
6.BD　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C，＝，＝，所以cos（A＋B）＝cos（π－C）＝－cos C，sin（A＋B）＝sin（π－C）＝sin C，cos ＝cos＝sin ，sin ＝sin＝cos .故选B、D.
7.－　解析：因为sin（π＋α）＝－sin α＝－，所以sin α＝.cos＝cos＝－sin α＝－.
8.（答案不唯一）　解析：因为对任意x∈R，cos（x－φ）＝sin［－（x－φ）］＝sin（－x＋φ）＝sin（π－x）恒成立，所以－x＋φ＝π－x＋2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ＋，k∈Z，所以当k＝0时，可得φ＝，常数φ的一个取值可以为.
9.－　解析：∵sin（α－3π）＝2cos（α－4π），
∴－sin（3π－α）＝2cos（4π－α），
∴－sin（π－α）＝2cos（－α），
∴sin α＝－2cos α且cos α≠0，∴原式＝＝＝＝－.
10.解：（1）f（α）＝＝－cos α.
（2）因为cos（α－π）＝，
所以cos α＝－，
所以f（α）＝－cos α＝.
11.D　∵cos（75°＋α）＝，∴sin（α－15°）＋cos（105°－α）＝sin[（α＋75°）－90°]＋cos[180°－（α＋75°）]＝－cos（75°＋α）－cos（75°＋α）＝－.故选D.
12.－　解析：sin（α－）＝sin［－－（－α）］＝－sin［＋（－α）］
＝－cos（－α）＝－.
13.－cos α　解析：原式
＝
＝＝－cos α.
14.解：cos＝cos
＝cos＝－cos
＝－sin α＝，即sin α＝－.
又因为角α的终边与单位圆交于点P（m，n），所以
解得或
因为α∈，所以角α的终边在第三象限，故m＝－.
15.D　由f（x＋π）＝sin（x＋π）＋cos（x＋π）＝－sin x－cos x，f（π－x）＝sin（π－x）＋cos（π－x）＝sin x－cos x，f＝sin＋cos＝cos x－sin x，f＝sin＋cos＝cos x＋sin x，故选D.
16.解：假设存在角α，β满足条件，
则由题可得
由①2＋②2得sin2α＋3cos2α＝2.
由sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，所以cos α＝±.
因为α∈（－，），所以α＝±.
当α＝时，cos β＝，因为0＜β＜π，所以β＝；
当α＝－时，cos β＝，
因为0＜β＜π，
所以β＝，此时①式不成立，故舍去.
所以存在α＝，β＝满足条件.
2 / 24.4　诱导公式与旋转
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、余弦函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函数的化简、求值问题 数学运算、逻辑推理
　　我们容易计算像0，，这样的角的三角函数值，对于求－α与＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
【问题】　（1）－α与α的终边有什么关系？
（2）如何求＋α的三角函数值？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　±α的诱导公式
　对任意角α，有下列关系式成立：
sin＝　　　，cos＝　　　.
sin＝　　　，cos＝　　　.
提醒　±α的诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法，±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀，“函数名改变，符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.
知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式
　　函数 角 正弦 余弦
α＋2kπ（k∈Z） sin α cos α
α＋π －sin α －cos α
－α －sin α cos α
π－α sin α －cos α
α－π －sin α －cos α
α＋ cos α －sin α
－α cos α sin α
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）sin（90°＋α）＝－cos α.（　　）
（2）cos＝－sin α.（　　）
（3）cos（180°＋α）＝sin（90°＋α）.（　　）
（4）诱导公式中的角α只能是锐角.（　　）
2.sin 95°＋cos 175°＝（　　）
A.sin 5°　　　　　　 B.cos 5°
C.0 D.2sin 5°
3.若sin α＝，则cos＝　　　　.
题型一 利用诱导公式化简
【例1】　化简：，其中k∈Z.
尝试解答
通性通法
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母尽可能不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值.
【跟踪训练】
　化简：.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】　（1）已知f（α）＝
，则f的值为（　　）
A.－　 　B.　 　C.－　 　D.
（2）已知sin＝，则cos＝　　　　.
尝试解答
【母题探究】
　（变条件，变设问）将本例（2）的条件中“－”改为“＋”，求cos的值.
通性通法
解决化简求值问题的策略
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函数名称转化，以保证三角函数名称最少；
（2）对于kπ±α和±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不变名，而后一套公式必须变名.
【跟踪训练】
1.已知sin＝，则cos＝（　　）
A.　　　　　　　　B.－
C. D.－
2.已知sin＝，那么cos α＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
题型三 利用诱导公式证明恒等式
【例3】　求证：·sin（α－）cos（＋α）＝－cos2α.
尝试解答
通性通法
　　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【跟踪训练】
已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证：
cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）.
1.若sin＜0，且cos＞0，则θ是（　　）
A.第一象限角　　　　B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
2.若cos（2π－α）＝，则sin＝（　　）
A.－　　B.－　　C.　　D.±
3.化简：sin（π＋α）cos＋cos·sin（π＋α）＝　　　　.
4.求证：＝sin θ.
4.4　诱导公式与旋转
【基础知识·重落实】
知识点一
cos α　－sin α　－cos α　sin α
自我诊断
1.（1）×　（2）×　（3）×　（4）×
2.C　原式＝cos 5°－cos 5°＝0.
3.　解析：cos＝sin α＝.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），则原式
＝
＝
＝＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z）.
仿上化简得：原式＝1.
故原式＝1.
跟踪训练
　解：∵sin（4π－α）＝sin（－α）＝－sin α，
cos＝cos＝cos＝－sin α，
sin＝sin＝－sin α，
cos（π－α）＝cos［4π－（＋α）］＝cos（＋α）＝－sin α，
∴原式＝＝＝1.
【例2】　（1）B　（2）　解析：（1）∵f（α）
＝
＝＝cos α，
∴f＝cos
＝cos＝.
（2）cos＝cos
＝sin＝.
母题探究
　解：cos＝cos＝－sin＝－.
跟踪训练
1.D　cos＝cos＝－sin＝－.
2.C　sin＝sin＝sin＝cos α＝.
【例3】　证明：左端＝·
sin［－（－α）］·（－sin α）
＝·［－sin（－α）］（－sin α）
＝·（－cos α）（－sin α）
＝－cos2α＝右端，故原式成立.
跟踪训练
　证明：cos（－）＝sin［－（－）］＝sin（＋）.
∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴＝－，
即＝－，
∴cos（－）＝cos［－（－）］＝cos（－＋）＝cos（－），∴cos（－）＝sin（＋）＝cos（－）.
随堂检测
1.B　由于sin＝cos θ＜0，cos＝sin θ＞0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2.A　∵cos（2π－α）＝，∴cos α＝，∴sin＝sin＝－sin＝－cos α＝－.
3.0　解析：原式＝－sin α·sin α＋sin α·sin α＝0.
4.证明：左边
＝
＝
＝sin θ＝右边.
∴原等式成立.
3 / 3(共51张PPT)
4.4　诱导公式与旋转
新课程标准解读 核心素养
1.能借助单位圆的旋转，利用定义推导出正弦函数、
余弦函数的诱导公式 数学抽象
2.能够运用诱导公式，把任意角的正弦函数、余弦函
数的化简、求值问题转化为锐角的正弦函数、余弦函
数的化简、求值问题 数学运算、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们容易计算像0， ， 这样的角的三角函数值，对于求 －α
与 ＋α的三角函数值，能否化为α的三角函数值计算？
【问题】　（1） －α与α的终边有什么关系？
（2）如何求 ＋α的三角函数值？




知识点一　 ±α的诱导公式
　对任意角α，有下列关系式成立：
sin ＝ ， cos ＝ .
sin ＝ ， cos ＝ .
cos α　
－ sin α　
－ cos α　
sin α　
提醒　 ±α的诱导公式的记忆方法与口诀：①记忆方法， ±α的
正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上
一个把α看成锐角时原函数值的符号；②记忆口诀，“函数名改变，
符号看象限”或“正变余，余变正，符号象限定”.
知识点二　正弦函数、余弦函数的诱导公式
　　函数 角　　 正弦 余弦
α＋2kπ（k∈Z） sin α cos α
α＋π － sin α － cos α
－α － sin α cos α
π－α sin α － cos α
α－π － sin α － cos α
cos α － sin α
cos α sin α
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1） sin （90°＋α）＝－ cos α. （　×　）
（2） cos ＝－ sin α. （　×　）
（3） cos （180°＋α）＝ sin （90°＋α）. （　×　）
（4）诱导公式中的角α只能是锐角. （　×　）
×
×
×
×
2. sin 95°＋ cos 175°＝（　　）
A. sin 5° B. cos 5°
C. 0 D. 2 sin 5°
解析：　原式＝ cos 5°－ cos 5°＝0.
3. 若 sin α＝ ，则 cos ＝ .
解析： cos ＝ sin α＝ .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 利用诱导公式化简
【例1】　化简： ，其中k∈Z.
解：当k为偶数时，设k＝2m（m∈Z），则
原式＝
＝ ＝ ＝1.
当k为奇数时，设k＝2m＋1（m∈Z）.
仿上化简得：原式＝1.故原式＝1.
通性通法
用诱导公式进行化简时的注意点
（1）化简后项数尽可能的少；
（2）函数的种类尽可能的少；
（3）分母尽可能不含三角函数的符号；
（4）能求值的一定要求值.
【跟踪训练】
　化简： .
解：∵ sin （4π－α）＝ sin （－α）＝－ sin α，
cos ＝ cos ＝ cos ＝－ sin α， sin
＝ sin ＝－ sin α，
cos （ π－α）＝ cos ［4π－（ ＋α）］＝ cos （ ＋α）＝－ sin
α，∴原式＝ ＝ ＝1.
题型二 利用诱导公式求值
【例2】　（1）已知f（α）＝ ，则
f 的值为（　B　）
B
解析：∵f（α）＝
＝ ＝ cos α，
∴f ＝ cos ＝ cos ＝ .
（2）已知 sin ＝ ，则 cos ＝ 　 　.
解析：cos ＝ cos
＝ sin ＝ .
　
【母题探究】
（变条件，变设问）将本例（2）的条件中“－”改为“＋”，求 cos
的值.
解： cos ＝ cos
＝－ sin ＝－ .
通性通法
解决化简求值问题的策略
（1）对于三角函数式的化简求值问题，一般遵循诱导公式先行的原
则，即先用诱导公式化简变形，达到角的统一，再进行三角函
数名称转化，以保证三角函数名称最少；
（2）对于kπ±α和 ±α这两套诱导公式，切记运用前一套公式不
变名，而后一套公式必须变名.
【跟踪训练】
1. 已知 sin ＝ ，则 cos ＝（　　）
解析：　 cos ＝ cos ＝－ sin ＝－ .
2. 已知 sin ＝ ，那么 cos α＝（　　）
解析： sin ＝ sin ＝ sin ＝ cos α＝ .
题型三 利用诱导公式证明恒等式
【例3】求证： · sin （α－ ） cos （ ＋α）＝－ cos 2α.
证明：左端＝ · sin ［－（ －α）］·（－ sin α）＝
·［－ sin （ －α）］（－ sin α）
＝ ·（－ cos α）（－ sin α）
＝－ cos 2α＝右端，故原式成立.
通性通法
　　利用诱导公式证明恒等式问题，关键在于公式的灵活应用，其证
明的常用方法有：
（1）从一边开始，使得它等于另一边，一般由繁到简；
（2）左右归一法：即证明左右两边都等于同一个式子；
（3）针对题设与结论间的差异，有针对性地进行变形，以消除差异.
【跟踪训练】
已知A，B，C为△ABC的三个内角，求证：
cos （ － ）＝ sin （ ＋ ）＝ cos （ － ）.
证明： cos （ － ）＝ sin ［ －（ － ）］＝ sin （ ＋ ）.
∵在△ABC中，A＋B＋C＝π，
∴ ＝ － ，即 ＝ － ，
∴ cos （ － ）＝ cos ［ －（ － ）］＝ cos （－ ＋ ）＝
cos （ － ），
∴ cos （ － ）＝ sin （ ＋ ）＝ cos （ － ）.
1. 若 sin ＜0，且 cos ＞0，则θ是（　　）
A. 第一象限角 B. 第二象限角
C. 第三象限角 D. 第四象限角
解析：　由于 sin ＝ cos θ＜0， cos ＝ sin θ＞
0，所以角θ的终边落在第二象限，故选B.
2. 若 cos （2π－α）＝ ，则 sin ＝（　　）
解析：　∵ cos （2π－α）＝ ，∴ cos α＝ ，∴ sin
＝ sin ＝－ sin ＝－ cos α＝－ .
3. 化简： sin （π＋α） cos ＋ cos · sin （π＋α）
＝ .
解析：原式＝－ sin α· sin α＋ sin α· sin α＝0.
0　
4. 求证： ＝ sin θ.
证明：左边＝
＝ ＝ sin θ＝右边.
∴原等式成立.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 已知 sin 25.3°＝a，则 cos 64.7°＝（　　）
A. a B. －a
C. a2
解析：　 cos 64.7°＝ cos （90°－25.3°）＝ sin 25.3°＝a.
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2. 若 sin （3π＋α）＝－ ，则 cos ＝（　　）
解析：　∵ sin （3π＋α）＝－ sin α＝－ ，∴ sin α＝ .
∴ cos ＝ cos ＝－ cos ＝－ sin α＝－ .
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3. 若 sin （180°＋α）＋ cos （90°＋α）＝－a，则 cos （270°
－α）＋2 sin （360°－α）的值是（　　）
解析：　由 sin （180°＋α）＋ cos （90°＋α）＝－a，得－
sin α－ sin α＝－a，即 sin α＝ . cos （270°－α）＋2 sin
（360°－α）＝－ sin α－2 sin α＝－3 sin α＝－ a.
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4. 若 cos ＝ ，则 cos ＋ sin （φ－π）的值为（　　）
解析：　∵ cos ＝ ，∴ sin φ＝－ ，∴ cos
＋ sin （φ－π）＝ cos － sin （π－φ）＝－ sin φ－ sin φ＝
－2 sin φ＝ .
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5. （多选）下列与 cos 的值相等的是（　　）
A. sin （π－θ） B. sin （π＋θ）
解析：　 cos ＝ cos ＝－ cos ＝－
sin θ； sin （π－θ）＝ sin θ； sin （π＋θ）＝－ sin θ； cos
＝ sin θ； cos ＝－ sin θ.
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6. （多选）若角A，B，C是△ABC的三个内角，则下列等式中一定
成立的是（　　）
A. cos （A＋B）＝ cos C
B. sin （A＋B）＝ sin C
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解析：　因为A＋B＋C＝π，所以A＋B＝π－C， ＝
， ＝ ，所以 cos （A＋B）＝ cos （π－C）＝－ cos
C， sin （A＋B）＝ sin （π－C）＝ sin C， cos ＝ cos
＝ sin ， sin ＝ sin ＝ cos .故选B、D.
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7. 已知 sin （π＋α）＝－ ，则 cos ＝ .
解析：因为 sin （π＋α）＝－ sin α＝－ ，所以 sin α＝ . cos
＝ cos ＝－ sin α＝－ .
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8. 若对任意x∈R， cos （x－φ）＝ sin x恒成立，则常数φ的一个取
值为 .
解析：因为对任意x∈R， cos （x－φ）＝ sin ［ －（x－φ）］
＝ sin （ －x＋φ）＝ sin （π－x）恒成立，所以 －x＋φ＝π－x
＋2kπ，k∈Z，可得φ＝2kπ＋ ，k∈Z，所以当k＝0时，可得φ
＝ ，常数φ的一个取值可以为 .
（答案不唯一）　
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9. 已知 sin （α－3π）＝2 cos （α－4π），则
＝ .
解析：∵ sin （α－3π）＝2 cos （α－4π），∴－ sin （3π－α）
＝2 cos （4π－α），∴－ sin （π－α）＝2 cos （－α），∴ sin
α＝－2 cos α且 cos α≠0，∴原式＝ ＝
＝ ＝－ .
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10. 已知f（α）＝ .
（1）化简f（α）；
解：f（α）＝ ＝－ cos α.
（2）若 cos （α－π）＝ ，求f（α）的值.
解：因为 cos （α－π）＝ ，所以 cos α＝－ ，
所以f（α）＝－ cos α＝ .
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11. 已知 cos （75°＋α）＝ ，则 sin （α－15°）＋ cos （105°－
α）的值是（　　）
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解析：　∵ cos （75°＋α）＝ ，∴ sin （α－15°）＋
cos （105°－α）＝ sin [（α＋75°）－90°]＋ cos
[180°－（α＋75°）]＝－ cos （75°＋α）－ cos （75°
＋α）＝－ .故选D.
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12. 已知 cos （ －α）＝ ，则 sin （α－ ）＝ .
解析： sin （α－ ）＝ sin ［－ －（ －α）］＝－ sin ［ ＋
（ －α）］＝－ cos （ －α）＝－ .
－ 　
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13. 化简： ＝ .
解析：原式＝
＝ ＝－ cos α.
－ cos α　
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14. 在平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x
非负半轴重合，终边与单位圆交于点P（m，n），且 cos
＝ ，α∈ ，求m的值.
解： cos ＝ cos ＝ cos ＝－ cos
＝－ sin α＝ ，即 sin α＝－ .
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又因为角α的终边与单位圆交于点P（m，n），
所以解得或
因为α∈ ，所以角α的终边在第三象限，故m＝－ .
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15. 已知f（x）＝ sin x＋ cos x，则下列结论正确的是（　　）
A. f（x＋π）＝ sin x＋ cos x
B. f（π－x）＝ sin x＋ cos x
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解析：　由f（x＋π）＝ sin （x＋π）＋ cos （x＋π）＝－ sin x
－ cos x，f（π－x）＝ sin （π－x）＋ cos （π－x）＝ sin x－
cos x，f ＝ sin ＋ cos ＝ cos x－ sin x，
f ＝ sin ＋ cos ＝ cos x＋ sin x，故选D.
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16. 是否存在角α，β，α∈（－ ， ），β∈（0，π），使等式
sin （3π－α）＝ cos （ －β）， cos （－α）＝－ cos
（π＋β）同时成立？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说
明理由.（注：对任意角α，有 sin 2α＋ cos 2α＝1成立.）
解：假设存在角α，β满足条件，
则由题可得
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由①2＋②2得 sin 2α＋3 cos 2α＝2.
由 sin 2α＋ cos 2α＝1，
所以 cos 2α＝ ，所以 cos α＝± .
因为α∈（－ ， ），所以α＝± .
当α＝ 时， cos β＝ ，因为0＜β＜π，所以β＝ ；
当α＝－ 时， cos β＝ ，
因为0＜β＜π，所以β＝ ，此时①式不成立，故舍去.
所以存在α＝ ，β＝ 满足条件.
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