第一章 5.1 第一课时 正弦函数的图象(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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第一章 5.1 第一课时 正弦函数的图象(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

资源简介

§5 正弦函数、余弦函数的图象与性质再认识
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
第一课时 正弦函数的图象
1.在同一平面直角坐标系内,函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象(  )
A.重合
B.形状相同,位置不同
C.关于y轴对称
D.形状不同,位置不同
2.用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列不是关键点的是(  )
A. B.
C.(π,0) D.(2π,0)
3.若点(,b)在函数y=sin x+1的图象上,则b=(  )
A.   B.   C.2    D.3
4.函数y=1+sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(  )
5.不等式sin x>0,x∈[0,2π]的解集为(  )
A.[0,π] B.(0,π) C. D.
6.(多选)对于正弦函数y=sin x的图象,下列说法正确的是(  )
A.向左、右无限延展
B.与y=-sin x的图象形状相同,只是位置不同
C.与x轴有无数个交点
D.关于y轴对称
7.函数y=sin x,x∈的图象与函数y=x的图象交点个数是    .
8.y=1+sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y=的交点个数为    .
9.已知sin x=m-1且x∈R,则m的取值范围是    .
10.用五点法作函数y=2+sin x,x∈[0,2π]的图象.
11.函数y=xsin x的部分图象是(  )
12.若函数y=sin x,x∈[,]的图象与直线y=1围成一个封闭图形,则这个封闭图形的面积是(  )
A.2 B.4
C.2π D.4π
13.函数f(x)=则不等式f(x)>的解集是    .
14.判断方程x+sin x=0的解的个数.
15.若集合M=θ|sin θ≥,0≤θ≤π,当x∈M时,y=|sin x|+sin x的值域是    .
16.若方程sin x=在x∈上有两个实数根,求a的取值范围.
第一课时 正弦函数的图象
1.B 根据正弦曲线的作法可知函数y=sin x,x∈[0,2π]与y=sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
2.A
3.C 由题意知b=sin+1=2.
4.A 函数y=1+sin x的图象是由y=sin x图象向上平移1个单位长度得到的,因此只有A项是正确的.
5.B 由y=sin x在[0,2π]的图象(图略)可得选B.
6.ABC y=sin x为奇函数,关于原点对称,故D错误.A、B、C正确.
7.1 解析:在同一坐标系内画出图象,由图象知交点个数为1.
8.2 解析:在同一坐标系中作出函数y=1+sin x,x∈[0,2π]和y=的图象(图略),可得有两个交点.
9.[0,2] 解析:由y=sin x,x∈R的图象知,-1≤sin x≤1,即-1≤m-1≤1,所以0≤m≤2.
10.解:列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2+sin x 2 2 2
描点作图,如图所示:
11.A 函数y=xsin x的定义域为R,令f(x)=xsin x,则f(-x)=(-x)·sin(-x)=xsin x=f(x),知f(x)为偶函数,排除B、D;当x∈时,f(x)>0,故排除C,选A.
12.C 如图,由正弦函数图象的对称性知,所围成平面图形的面积是长为-=2π,宽为1的矩形的面积,∴S=2π.故选C.
13.{x
2kπ,k∈N}
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y=的图象(图略),由图象易得:-<x<0或+2kπ<x<π+2kπ,k∈N.
14.解:设f(x)=-x,g(x)=sin x.
在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,如图.
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点,即方程x+sin x=0仅有一个根.
15.[1,2] 解析:作出y=sin x在[0,π]内的函数图象如图,∴M={θ|≤θ≤π},
又∵y=|sin x|+sin x
=且当x∈M时,≤sin x≤1,1≤2sin x≤2,∴函数y=|sin x|+sin x的值域为[1,2].
16.解:在同一直角坐标系中作出y=sin x,x∈的图象,y=的图象,由图象可知,当≤<1,即-1<a≤1-时,y=sin x,x∈的图象与y=的图象有两个交点,即方程sin x=在x∈上有两个实根,所以a的取值范围为(-1,1-].
2 / 25.1 正弦函数的图象与性质再认识
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法,会用“五点法”画正弦函数的图象 数学抽象、直观想象
2.掌握正弦函数的图象与性质,并会利用图象与性质解决一些应用问题 数学运算、直观想象
第一课时 正弦函数的图象
  如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图象.数学中把简谐运动的图象叫作“正弦曲线”或“余弦曲线”.
【问题】 (1)你能画出y=sin x, x∈[0,2π]的图象吗?
(2)y=sin x,x∈[0,2π]上的五个关键点的坐标是什么?
                      
                      
                      
                      
知识点 正弦函数的图象
1.正弦曲线
正弦函数y=sin x,x∈R的图象称作       .
2.正弦函数图象的画法
(1)几何法:
①在区间[0,2π]上取一系列的x值,借助单位圆获得对应的正弦函数值,画出y=sin x,x∈[0,2π]的图象;
②将所得图象向左、向右平移(每次平移2π个单位长度).
(2)五点法:
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点   ,    ,    ,    ,    ,用光滑的曲线顺次连接;
②将所得图象向左、向右平移(每次平移2π个单位长度).
提醒 “五点法”中的“五点”是指函数的最高点、最低点以及图象与坐标轴的交点.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y=sin x的图象介于直线y=-1和y=1之间.(  )
(2)函数y=sin x的图象关于x轴对称.(  )
(3)用五点法画函数y=sin x在区间[-π,π]上的简图时,是其中的一个关键点.(  )
2.函数y=sin(-x),x∈[0,2π]的简图是(  )
3.用五点法画y=sin x,x∈[0,2π]的简图时,所描的五个点的横坐标的和是    .
题型一 用五点法作正弦函数图象
【例1】 利用“五点法”画出函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象.
尝试解答
通性通法
  用五点法画函数y=Asin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
y=sin x 0 1 0 -1 0
y=Asin x+b b A+b b -A+b b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b),,(π,b),,(2π,b)五个点;
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
【跟踪训练】
作出函数y=-2sin x(0≤x≤2π)的图象.
题型二 利用正弦函数图象解不等式
【例2】 利用y=sin x的图象,在[0,2π]内求满足sin x≥-的x的取值范围.
尝试解答
通性通法
利用正弦函数图象解不等式的方法
(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
 利用正弦函数的图象,求满足sin x≥的x的集合.
题型三 利用正弦函数图象判断方程根的个数
【例3】 函数f(x)=sin x+2|sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
尝试解答
【母题探究】
 (变条件,变设问)将本例变为“求方程lg x=sin x的实数解的个数”应如何求解.
通性通法
  数形结合是重要的数学思想,它能把抽象的数学式转化为形象直观的图形.利用正弦函数图象可解决许多问题,如特殊方程根的问题,通常可转化为函数图象交点个数问题.
【跟踪训练】
判断方程sin x=-,x∈[0,2π]根的个数.
1.用“五点法”作y=2sin x的图象时,首先描出的五个点的横坐标是(  )
A.0,,π,,2π   B.0, ,,,π
C.0,π,2π,3π,4π D.0,,,,
2.函数y=1-sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(  )
3.根据函数y=sin x的图象,可得方程sin x=0的解为(  )
A.x=2kπ(k∈Z) B.x=kπ(k∈Z)
C.x=+kπ(k∈Z) D.x=+2kπ(k∈Z)
4.方程x2=sin x的实数解的个数为    .
5.在[0,2π]内,用五点法作出函数y=2sin x-1的图象.
第一课时 正弦函数的图象
【基础知识·重落实】
知识点
1.正弦曲线 2.(2)①(0,0)  (π,0)  (2π,0)
自我诊断
1.(1)√ (2)× (3)√
2.B y=sin(-x)=-sin x,故图象与y=sin x的图象关于x轴对称,故选B.
3.5π 解析:0++π++2π=5π.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-2+sin x -2 -1 -2 -3 -2
描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2+sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
跟踪训练
 解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-2sin x 0 -2 0 2 0
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
【例2】 解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
描点,连线如图,同时作出直线y=-的图象.
由图象可得sin x≥-的取值范围为∪.
跟踪训练
 解:作出正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]与直线y=在同一坐标系内的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为,k∈Z.
【例3】 解:f(x)=作出图象,如图.
∵f(x)图象与直线y=k有且仅有两个不同交点.由图象可得k的取值范围为(1,3).
母题探究
 解:作出y=lg x,y=sin x在同一坐标系内的图象,则方程根的个数即为两函数图象交点的个数,由图象知方程有三个实根.
跟踪训练
 解:画出y=sin x和y=-在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知两图象有2个交点,因此原方程有2个实数根.
随堂检测
1.A y=2sin x与y=sin x对应五点的横坐标相同,则用“五点法”作图时,对应五点的横坐标为0,,π,,2π.故选A.
2.B 当x=0时,y=1;当x=时,y=0;当x=2π时,y=1.结合正弦函数的图象可知B正确.
3.B 由题意和正弦函数y=sin x的图象可知,由sin x=0可得x=kπ(k∈Z).故选B.
4.2 解析:作函数y=sin x与y=x2的图象,如图所示,由图象可知原方程有2个实数解.
5.解:(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2sin x-1 -1 1 -1 -3 -1
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,-1),,(π,-1),,(2π,-1).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,得函数y=2sin x-1,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
3 / 3(共48张PPT)
5.1 正弦函数的图象与性质再认识
新课程标准解读 核心素养
1.了解利用单位圆作正弦函数图象的方法,会用“五
点法”画正弦函数的图象 数学抽象、
直观想象
2.掌握正弦函数的图象与性质,并会利用图象与性质
解决一些应用问题 数学运算、
直观想象
第一课时 正弦函数的图象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图,将一个漏斗挂在架子上,做一个简易的单摆,在漏斗下方
放一块纸板,板的中间画一条直线作为坐标系的横轴.把漏斗灌上细
沙并拉离平衡位置,放手使它摆动,同时匀速拉动纸板,这样就可在
纸板上得到一条曲线,这就是简谐运动的图
象.数学中把简谐运动的图象叫作“正弦曲
线”或“余弦曲线”.
【问题】 (1)你能画出y= sin x, x∈[0,2π]的图象吗?
(2)y= sin x,x∈[0,2π]上的五个关键点的坐标是什么?




知识点 正弦函数的图象
1. 正弦曲线
正弦函数y= sin x,x∈R的图象称作 .
正弦曲线 
(1)几何法:
①在区间[0,2π]上取一系列的x值,借助单位圆获得对应的
正弦函数值,画出y= sin x,x∈[0,2π]的图象;
②将所得图象向左、向右平移(每次平移2π个单位长度).
2. 正弦函数图象的画法
①画出正弦曲线在[0,2π]上的图象的五个关键点 , , , , ,用光滑的曲线顺次连接;
②将所得图象向左、向右平移(每次平移2π个单位长度).
提醒 “五点法”中的“五点”是指函数的最高点、最低点
以及图象与坐标轴的交点.
(0,0)
 
(π,0) 
 
(2π,0) 
(2)五点法:
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)函数y= sin x的图象介于直线y=-1和y=1之间.
( √ )
(2)函数y= sin x的图象关于x轴对称. ( × )
(3)用五点法画函数y= sin x在区间[-π,π]上的简图时,
是其中的一个关键点. ( √ )

×

2. 函数y= sin (-x),x∈[0,2π]的简图是(  )
解析: y= sin (-x)=- sin x,故图象与y= sin x的图象关
于x轴对称,故选B.
3. 用五点法画y= sin x,x∈[0,2π]的简图时,所描的五个点的横坐
标的和是 .
解析:0+ +π+ +2π=5π.
5π 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 用五点法作正弦函数图象
【例1】 利用“五点法”画出函数y=-2+ sin x,x∈[0,2π]的
图象.
解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-2+ sin x -2 -1 -2 -3 -2
描点,并用光滑的曲线连接起来,得函数y=-2
+ sin x,x∈[0,2π]的图象如图所示.
通性通法
用五点法画函数y=A sin x+b(A≠0),x∈[0,2π]的图象的步骤
(1)列表:
x 0 π 2π
y= sin x 0 1 0 -1 0
y=A sin x+b b A+b b -A+b b
(2)描点:在平面直角坐标系中描出(0,b), ,
(π,b), ,(2π,b)五个点;
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来.
【跟踪训练】
作出函数y=-2 sin x(0≤x≤2π)的图象.
解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
-2 sin x 0 -2 0 2 0
描点,并用光滑的曲线连接起来,如图.
题型二 利用正弦函数图象解不等式
【例2】 利用y= sin x的图象,在[0,2π]内求满足 sin x≥- 的x的
取值范围.
解:列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
描点,连线如图,同时作出直线y=- 的图象.
由图象可得 sin x≥- 的取值范围为 ∪ .
通性通法
利用正弦函数图象解不等式的方法
(1)作出相应正弦函数在[0,2π]上的图象;
(2)写出适合不等式在区间[0,2π]上的解集;
(3)根据图象写出不等式的解集.
【跟踪训练】
利用正弦函数的图象,求满足 sin x≥ 的x的集合.
解:作出正弦函数y= sin x,x∈[0,2π]与直线y= 在同一坐标系内的图象,如图所示,由图象可以得到满足条件的x的集合为 ,k∈Z.
题型三 利用正弦函数图象判断方程根的个数
【例3】 函数f(x)= sin x+2| sin x|,x∈[0,2π]的图象与直线y=k有且仅有两个不同的交点,求k的取值范围.
解:f(x)=
作出图象,如图.
∵f(x)图象与直线y=k有且仅有两个不同交点.由图象可得k的取值范围为(1,3).
【母题探究】
(变条件,变设问)将本例变为“求方程lg x= sin x的实数解的个
数”应如何求解.
解:作出y=lg x,y= sin x在同一坐标系内的图象,则方程根的个数
即为两函数图象交点的个数,由图象知方程有三个实根.
通性通法
  数形结合是重要的数学思想,它能把抽象的数学式转化为形象直
观的图形.利用正弦函数图象可解决许多问题,如特殊方程根的问
题,通常可转化为函数图象交点个数问题.
【跟踪训练】
判断方程 sin x=- ,x∈[0,2π]根的个数.
解:画出y= sin x和y=- 在区间[0,2π]上的图象,如图所示.由图象可知两图象有2个交点,因此原方程有2个实数根.
1. 用“五点法”作y=2 sin x的图象时,首先描出的五个点的横坐标
是(  )
C. 0,π,2π,3π,4π
解析: y=2 sin x与y= sin x对应五点的横坐标相同,则用“五
点法”作图时,对应五点的横坐标为0, ,π, ,2π.故选A.
2. 函数y=1- sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(  )
解析: 当x=0时,y=1;当x= 时,y=0;当x=2π时,y
=1.结合正弦函数的图象可知B正确.
3. 根据函数y= sin x的图象,可得方程 sin x=0的解为(  )
A. x=2kπ(k∈Z) B. x=kπ(k∈Z)
解析: 由题意和正弦函数y= sin x的图象可知,由 sin x=0可
得x=kπ(k∈Z).故选B.
4. 方程x2= sin x的实数解的个数为 .
解析:作函数y= sin x与y=x2的图象,如图所
示,由图象可知原方程有2个实数解.
2 
5. 在[0,2π]内,用五点法作出函数y=2 sin x-1的图象.
解:(1)列表:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2 sin x-1 -1 1 -1 -3 -1
(2)描点:在平面直角坐标系中描出下列五个点:
(0,-1), ,(π,-1), ,(2π,-1).
(3)连线:用光滑的曲线将描出的五个点顺次连接起来,得函数y=2 sin x-1,x∈[0,2π]的图象,如图所示.
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 在同一平面直角坐标系内,函数y= sin x,x∈[0,2π]与y= sin
x,x∈[2π,4π]的图象(  )
A. 重合
B. 形状相同,位置不同
C. 关于y轴对称
D. 形状不同,位置不同
解析: 根据正弦曲线的作法可知函数y= sin x,x∈[0,2π]与
y= sin x,x∈[2π,4π]的图象只是位置不同,形状相同.
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2. 用五点法画y= sin x,x∈[0,2π]的图象时,下列不是关键点的是
(  )
C. (π,0) D. (2π,0)
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3. 若点( ,b)在函数y= sin x+1的图象上,则b=(  )
C. 2 D. 3
解析: 由题意知b= sin +1=2.
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4. 函数y=1+ sin x,x∈[0,2π]的大致图象是(  )
解析: 函数y=1+ sin x的图象是由y= sin x图象向上平移1个
单位长度得到的,因此只有A项是正确的.
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5. 不等式 sin x>0,x∈[0,2π]的解集为(  )
A. [0,π] B. (0,π)
解析: 由y= sin x在[0,2π]的图象(图略)可得选B.
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6. (多选)对于正弦函数y= sin x的图象,下列说法正确的是(  )
A. 向左、右无限延展
B. 与y=- sin x的图象形状相同,只是位置不同
C. 与x轴有无数个交点
D. 关于y轴对称
解析:y= sin x为奇函数,关于原点对称,故D错误.A、B、C正确.
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7. 函数y= sin x,x∈ 的图象与函数y=x的图象交点个数
是 .
解析:在同一坐标系内画出图象,由图象知交点个数为1.
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8. y=1+ sin x,x∈[0,2π]的图象与直线y= 的交点个数为 .
解析:在同一坐标系中作出函数y=1+ sin x,x∈[0,2π]和y=
的图象(图略),可得有两个交点.
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9. 已知 sin x=m-1且x∈R,则m的取值范围是 .
解析:由y= sin x,x∈R的图象知,-1≤ sin x≤1,即-1≤m-
1≤1,所以0≤m≤2.
[0,2] 
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10. 用五点法作函数y=2+ sin x,x∈[0,2π]的图象.
解:列表如下:
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
2 2 2
描点作图,如图所示:
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11. 函数y=x sin x的部分图象是(  )
解析:函数y=x sin x的定义域为R,令f(x)=x sin x,则f(-x)=(-x)· sin (-x)=x sin x=f(x),知f(x)为偶函数,排除B、D;当x∈ 时,f(x)>0,故排除C,选A.
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12. 若函数y= sin x,x∈[ , ]的图象与直线y=1围成一个封
闭图形,则这个封闭图形的面积是(  )
A. 2 B. 4
C. 2π D. 4π
解析: 如图,由正弦函数图象
的对称性知,所围成平面图形的面
积是长为 - =2π,宽为1的矩形
的面积,∴S=2π.故选C.
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13. 函数f(x)=则不等式f(x)> 的解集
是 .
解析:在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)和y= 的图象
(图略),由图象易得:- <x<0或 +2kπ<x< π+2kπ,
k∈N.
{x|- <x<0或 +2kπ<x< π+2kπ,k∈N} 
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14. 判断方程x+ sin x=0的解的个数.
解:设f(x)=-x,g(x)= sin x.
在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象,如图.
由图知f(x)和g(x)的图象仅有一个交点,即方程x+ sin x=0仅有一个根.
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15. 若集合M={θ| sin θ≥ ,0≤θ≤π},当x∈M时,y=| sin
x|+ sin x的值域是 .
解析:作出y= sin x在
[0,π]内的函数图象如图,∴M={θ|
≤θ≤ π},
又∵y=| sin x|+ sin x=
且当x∈M时, ≤ sin x≤1,1≤2 sin x≤2,
∴函数y=| sin x|+ sin x的值域为[1,2].
[1,2] 
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16. 若方程 sin x= 在x∈ 上有两个实数根,求a的取值范围.
解:在同一直角坐标系中作出y= sin x,x∈ 的图象,y
= 的图象,由图象可知,当 ≤ <1,即-1<a≤1-
时,y= sin x,x∈ 的图象与y= 的图象有两个交点,
即方程 sin x= 在x∈ 上有两个实根,
所以a的取值范围为(-1,1- ].
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