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(共56张PPT)
6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
理解y＝ sin ωx中ω对图象的影响；掌握y＝ sin x与y＝
sin ωx图象间的变换关系 数学抽象、
直观想象
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　前面我们学习了“五点法”作正、余弦函数的图象，请用“五点
法”在同一平面直角坐标系下画出y＝ sin x，y＝ sin x，y＝ sin 2x
的图象.
【问题】　你能说出它们之间的关系吗？




知识点　ω对y＝ sin ωx的图象的影响
1. 对于ω＞0，有 sin ωx＝ sin （ωx＋2π）＝ sin ω .
根据周期函数的定义，T＝ 是函数y＝ sin ωx的最小正周期.
通常称周期的倒数 ＝ 为 .
　
频率　
2. 函数y＝ sin ωx的图象是将函数y＝ sin x图象上所有点的横坐
标 到原来的 （当ω＞1时）或 （当0＜ω＜1时）
到原来的 倍（纵坐标不变）得到的.
缩短　
伸长　
　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝ sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来
的2倍，得到图象的解析式为y＝ sin x. （　√　）
（2）ω的大小与函数的周期有关. （　√　）
√
√
2. 要得到y＝ sin 2x的图象，只需把y＝ sin x的图象上的所有点（　）
A. 横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
C. 纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
解析：　ω从 变为2，三角函数周期变为原来的 ，故y＝ sin x
图象上所有点的横坐标缩短到原来的 ，纵坐标不变得到y＝ sin
2x的图象，故选B.
3. 函数y＝ sin 3x的最小正周期为 　 .
解析：由正弦函数的周期公式得T＝ ，所以函数y＝ sin 3x的最
小正周期为 .
　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 “五点法”作图
【例1】　用“五点法”作函数y＝ sin 2x的简图，并指出这个函数的
周期，频率.
解：（1）列表：
x 0 π
2x 0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0）， ， ，
，（π，0）.
（3）连线：将所得五点用光滑曲线连起来，如图.
（4）这样就得到函数y＝ sin 2x在一个周期内的图象.周期T＝π.频
率 ＝ .
通性通法
“五点法”作函数图象的策略
（1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，
分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大
致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凹凸方向；
（2）五个关键点的确定：使函数中ωx取0， ，π， ，2π，然后求
出相应的y值，再作出图象.
【跟踪训练】
用“五点法”作函数y＝ sin x的简图，并指出这个函数的周期和
频率.
解：（1）列表：
X 0 3 6
0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0）， ，（3，0），
，（6，0）；
（3）连线：用平滑曲线顺次连接，所得图象如图所示.
周期T＝6，频率 ＝ .
题型二 图象周期变换
【例2】　（1）函数y＝ cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变
为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝ cos ωx，则ω的值为（　B　）
A. 2
C. 4
解析：由题意知 ＝2，即ω＝ .
B
（2）将函数y＝ sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 （纵坐
标不变）而得到的函数解析式为 .
解析：设所得到的函数解析式为y＝ sin ωx（ω＞0），则
＝ ，即ω＝4，故所求函数解析式为y＝ sin 4x.
y＝ sin 4x　
通性通法
参数ω对y＝ sin ωx图象与性质的影响
（1）ω（ω＞0）影响函数y＝ sin ωx的周期；
（2）y＝ sin ωx（ω≠1）与y＝ sin x的图象形状不同，此变换称为横
向伸缩变换.即y＝ sin x的图象 y＝
sin ωx的图象.
【跟踪训练】
1. 把y＝ sin x图象的周期变为原来的 倍得到的函数的解析式是
.
y＝ sin x　
解析：由题意得所求为y＝ sin ＝ sin x.
2. 将函数y＝ cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标
不变）而得到的函数解析式为 .
解析：由题意得所求为y＝ cos ＝ cos x.
y＝ cos x　
题型三 三角函数y＝ sin ωx（ω＞0）的性质
角度1　函数y＝ sin ωx的周期性、奇偶性和对称性
【例3】　（1）函数y＝ sin 2x的图象的对称轴方程为
，对称中心为 ，奇偶性为 ；
x＝ π＋
（k∈Z）　
（k∈Z）　
奇函数
解析：由2x＝ ＋kπ（k∈Z）得x＝ ＋ π（k∈Z），∴函数
y＝ sin 2x的对称轴方程为x＝ ＋ π（k∈Z）.由2x＝kπ
（k∈Z），得x＝ π，∴函数y＝ sin 2x的对称中心为
（k∈Z）.∵ sin （－2x）＝－ sin 2x，∴函数y＝ sin 2x为奇
函数.
解：①函数y＝ sin x的周期T＝ ＝16π.
②函数y＝ cos x的周期T＝ ＝6.
（2）求下列函数的周期：
①y＝ sin x；②y＝ cos x.
角度2　函数y＝ sin ωx的单调性、最值
【例4】　（1）求函数y＝ sin x的单调区间；
解：由2kπ－ ≤ x≤2kπ＋ ，
得4kπ－π≤x≤4kπ＋π（k∈Z），
由2kπ＋ ≤ x≤2kπ＋ ，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π（k∈Z），
故y＝ sin 的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]（k∈Z），
单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]（k∈Z）.
（2）求函数y＝ sin x取得最大值时对应的x的集合.
解：当 x＝2kπ＋ ，即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymax＝1，
故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}.
通性通法
关于函数y＝ sin ωx的性质
（1）周期T＝ ；
（2）解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体
法，令u＝ωx，结合该函数的性质求解；
（3）奇偶性，利用定义f（－x）＝ sin （－ωx）＝－ sin ωx＝－f
（x），则f（x）为奇函数.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝ sin x.
（1）求f（x）的周期，频率；
解：T＝ ＝4. ＝ .
（2）求f（x）的单调递增区间；
解：令2kπ－ ≤ x≤2kπ＋ ，得4k－1≤x≤4k＋1，
∴单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z.
（3）求f（x）的对称轴.
解：令 x＝kπ＋ ，得x＝2k＋1，
∴对称轴为x＝2k＋1，k∈Z.
1. 为了得到函数y＝ sin 的图象，需将函数y＝ sin 的
图象（　　）
A. 纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B. 横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
解析：　将函数y＝ sin 的图象横坐标变为原来的 倍，纵
坐标不变，即可得到函数y＝ sin 的图象，故选C.
2. 函数y＝ sin 6x是（　　）
B. 最小正周期为π的偶函数
D. 最小正周期为π的奇函数
解析：　f（x）＝ sin 6x，f（－x）＝ sin （－6x）＝－ sin
6x，故f（x）为奇函数，最小正周期T＝ ＝ ，故选C.
3. 利用“五点法”作函数y＝ sin 3x，x∈[0，2π]的图象时，所取的
五点的横坐标分别为 .
0， ， ， ， 　
解析：∵－1≤ sin 3x≤1，∴0≤ sin 3x＋1≤2，即函数y＝ sin 3x
＋1的值域为[0，2]，由－ ＋2kπ≤3x≤ ＋2kπ，得－ ＋
kπ≤x≤ ＋ kπ，∴函数y＝ sin 3x＋1的单调递增区间为［－
＋ kπ， ＋ kπ］，k∈Z.
4. 函数y＝ sin 3x＋1的值域为 ，单调递增区间为 .
[0，2]　
，k∈Z　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 函数y＝ sin x，x∈[－π，3π]的图象是（　　）
解析：　由函数y＝ sin x的图象过原点，排除C、D，又当x＝
－π时，y＝－1＜0，故选A.
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2. 函数f（x）＝ sin x的图象可以看成是由g（x）＝ sin 3x的图象按
下列哪种变换得到（　　）
A. 纵坐标不变，横坐标伸长原来的3倍
C. 横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍
解析：　函数g（x）＝ sin 3x的纵坐标不变，横坐标伸长为原来
的3倍，可得到f（x）＝ sin x的图象.
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3. 函数y＝ sin 的频率是（　　）
A. 6 C. －6
解析：　由题意得T＝ ＝6，∴频率为 ＝ ，故选B.
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4. 若函数y＝ sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－ ， ）上只有一条
对称轴，则ω的取值范围为（　　）
C. 3≤ω＜4
解析：　因为函数y＝ sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－ ， ）
上只有一条对称轴，所以函数的对称轴只能是ωx＝－ ，因此有
解得 ＜ω≤3，故选B.
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5. 函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为 ，则ω＝（　　）
A. 4 B. 2 C. 1
解析：　因为函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）的最小正周期为 ，
又T＝ ，所以ω＝ ＝ ＝4，故选A.
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6. （多选）函数f（x）＝ sin （2x－ ）（x∈R）的图象的一条对
称轴可以是（　　）
解析：　令2x－ ＝ ＋kπ，k∈Z，解得x＝ ＋ ，k∈Z，
当k＝0时，x＝ ，故C选项正确；当k＝－1时，x＝－ ，故D
选项正确.故选C、D.
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7. 若x∈ ，则函数y＝3 sin 2x的最大值为 ，此时x的值
为 .
解析：当 sin 2x＝1时，ymax＝3，由 sin 2x＝1，x∈ 知2x
＝ ，x＝ .
3　
　
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8. 设函数f（x）＝x3 cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝ .
解析：因为f（a）＝a3 cos a＋1＝11，所以a3 cos a＝10，所以f
（－a）＝－a3 cos （－a）＋1＝－a3 cos a＋1＝－9.
－9
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9. 已知f（n）＝ sin （n∈Z），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2
025）＝ .
解析：f（1）＋f（2）＋…＋f（8）＝0，f（9）＋f（10）＋…
＋f（16）＝0，依此循环，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝0
＋f（2 025）＝f（1）＝
　
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10. 求函数y＝ sin x的周期，怎样由y＝ sin x的图象得到y＝ sin x的
图象？
解：周期T＝ ＝ ，把y＝ sin x图象上所有点的横坐标伸长到
原来的 倍，纵坐标不变就得到y＝ sin x的图象.
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11. 将函数y＝ sin （x＋ ）的图象上各点的横坐标缩短为原来的 倍
（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的单调递增区间为（　）
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解析：　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝ sin （2x
＋ ）的图象.令2kπ－ ≤2x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），解得kπ
－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），则函数y＝ sin （2x＋ ）的单调递
增区间为［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0
时，函数y＝ sin （2x＋ ）在区间（－ ， ）上单调递增.
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12. （多选）函数f（x）＝ cos ，下列说法正确的是（　　）
A. y＝f（x）是奇函数
B. y＝f（x）的周期为π
D. y＝f（x）的最大值为1
解析：由f（x）＝ cos ＝－ sin 2x，由函数性质知A、B、D正确.
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13. 已知函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0），满足f ＝f ，且在
内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω＝ .
解析：由题意及正弦函数的图象及性质，可得函数f（x）＝ sin
ωx（ω＞0）的最小正周期为 ，即T＝ ＝ ，可得ω＝4.
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14. 已知函数f（x）＝ sin 2x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
解：令2kπ－ ≤2x≤2kπ＋ ，
∴kπ－ ≤x≤kπ＋ .
故单调递增区间为 ，k∈Z.
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（2）求函数f（x）在区间 上的最值.
解：令μ＝2x，∵x∈ ，
∴－ ≤μ≤π，∴－ ≤ sin μ≤1，
∴f（x）max＝1，f（x）min＝－ .
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15. 若函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单调递减，
则ω的取值范围是（　　）
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解析：　法一　∵f（x）＝ sin ωx（x＞0）在［ ， ］上单
调递减，∴解得 ＋6k≤ω≤3＋4k，k∈Z，
∵ ＋6k≤3＋4k，即k≤ ，又ω＞0，∴取k＝0，则 ≤ω≤3.
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法二　令 ＋2kπ≤ωx≤ ＋2kπ（k∈Z），得 ＋ ≤x≤ ＋
（k∈Z）.∵函数f（x）＝ sin ωx（ω＞0）在区间［ ， ］上单
调递减，可令解得 ≤ω≤4k＋3，k∈Z，
∵ ≤4k＋3，得k≤ ，又ω＞0，
∴取k＝0，∴ ≤ 且 ≥ ，∴ ≤ω≤3.
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16. 已知函数f（x）＝2 sin （2x＋ ）＋1.
（1）当x＝ 时，求f（x）的值；
解：当x＝ 时，f（x）＝2 sin （2× ＋ ）＋1＝
2 sin 3π＋1＝2 sin π＋1＝1.
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解：f（x）＝0 sin （2x＋ ）＝－ x＝kπ－ ，k∈Z或x＝kπ－ π，k∈Z，
即函数f（x）的零点间隔依次为 和 .
故若y＝f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，
则b－a的最小值为2× ＋3× ＝ .
（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b），使得y＝f
（x）在区间[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件
的区间[a，b]中，求b－a的最小值.
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谢 谢 观 看！6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
1.函数y＝sin x，x∈[－π，3π]的图象是（　　）
2.函数f（x）＝sin x的图象可以看成是由g（x）＝sin 3x的图象按下列哪种变换得到（　　）
A.纵坐标不变，横坐标伸长原来的3倍
B.纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
C.横坐标不变，纵坐标变为原来的3倍
D.横坐标不变，纵坐标变为原来的倍
3.函数y＝sin的频率是（　　）
A.6　　　B.　　　C.－6　　　D.－
4.若函数y＝sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－，）上只有一条对称轴，则ω的取值范围为（　　）
A.1＜ω≤ B.＜ω≤3
C.3≤ω＜4 D.≤ω＜
5.函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，则ω＝（　　）
A.4 B.2 C.1 D.
6.（多选）函数f（x）＝sin（2x－）（x∈R）的图象的一条对称轴可以是（　　）
A.x＝ B.x＝
C.x＝ D.x＝－
7.若x∈，则函数y＝3sin 2x的最大值为　　　　，此时x的值为　　　　.
8.设函数f（x）＝x3cos x＋1，若f（a）＝11，则f（－a）＝　　　　.
9.已知f（n）＝sin（n∈Z），则f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝　　　　.
10.求函数y＝sin x的周期，怎样由y＝sin x的图象得到y＝sin x的图象？
11.将函数y＝sin（x＋）的图象上各点的横坐标缩短为原来的倍（纵坐标不变），则所得图象对应的函数的单调递增区间为（　　）
A.（－，） B.（－，）
C.（－，） D.（－，）
12.（多选）函数f（x）＝cos，下列说法正确的是（　　）
A.y＝f（x）是奇函数
B.y＝f（x）的周期为π
C.y＝f（x）的图象关于直线x＝对称
D.y＝f（x）的最大值为1
13.已知函数f（x）＝sin ωx（ω＞0），满足f＝f，且在内恰有一个最大值点和一个最小值点，则ω＝　　　　.
14.已知函数f（x）＝sin 2x.
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最值.
15.若函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A.0≤ω≤ B.0≤ω≤
C.≤ω≤3 D.≤ω≤3
16.已知函数f（x）＝2sin（2x＋）＋1.
（1）当x＝时，求f（x）的值；
（2）若存在区间[a，b]（a，b∈R，且a＜b），使得y＝f（x）在区间[a，b]上至少含有6个零点，在满足上述条件的区间[a，b]中，求b－a的最小值.
6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
1.A　由函数y＝sin x的图象过原点，排除C、D，又当x＝－π时，y＝－1＜0，故选A.
2.A　函数g（x）＝sin 3x的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的3倍，可得到f（x）＝sin x的图象.
3.B　由题意得T＝＝6，∴频率为＝，故选B.
4.B　因为函数y＝sin ωx（ω＞0）的图象在区间（－，）上只有一条对称轴，所以函数的对称轴只能是ωx＝－，因此有解得＜ω≤3，故选B.
5.A　因为函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，又T＝，所以ω＝＝＝4，故选A.
6.CD　令2x－＝＋kπ，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z，当k＝0时，x＝，故C选项正确；当k＝－1时，x＝－，故D选项正确.故选C、D.
7.3　　解析：当sin 2x＝1时，ymax＝3，由sin 2x＝1，x∈知2x＝，x＝.
8.－9　解析：因为f（a）＝a3cos a＋1＝11，
所以a3cos a＝10，
所以f（－a）＝－a3cos（－a）＋1＝－a3cos a＋1＝－9.
9.　解析：f（1）＋f（2）＋…＋f（8）＝0，f（9）＋f（10）＋…＋f（16）＝0，依此循环，f（1）＋f（2）＋…＋f（2 025）＝0＋f（2 025）＝f（1）＝.
10.解：周期T＝＝，把y＝sin x图象上所有点的横坐标伸长到原来的倍，纵坐标不变就得到y＝sin x的图象.
11.A　依题意，原函数经图象变换后，得到函数y＝sin（2x＋）的图象.令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋（k∈Z），解得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），则函数y＝sin（2x＋）的单调递增区间为［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.结合选项可知，当k＝0时，函数y＝sin（2x＋）在区间（－，）上单调递增.
12.ABD　由f（x）＝cos＝－sin 2x，由函数性质知A、B、D正确.
13.4　解析：由题意及正弦函数的图象及性质，可得函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）的最小正周期为，即T＝＝，可得ω＝4.
14.解：（1）令2kπ－≤2x≤2kπ＋，
∴kπ－≤x≤kπ＋.
故单调递增区间为，k∈Z.
（2）令μ＝2x，∵x∈，
∴－≤μ≤π，∴－≤sin μ≤1，
∴f（x）max＝1，f（x）min＝－.
15.D　法一　∵f（x）＝sin ωx（x＞0）在［，］上单调递减，
∴解得＋6k≤ω≤3＋4k，k∈Z，∵＋6k≤3＋4k，即k≤，又ω＞0，∴取k＝0，则≤ω≤3.
法二　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ（k∈Z），得＋≤x≤＋（k∈Z）.∵函数f（x）＝sin ωx（ω＞0）在区间［，］上单调递减，可令解得≤ω≤4k＋3，k∈Z，∵≤4k＋3，得k≤，又ω＞0，∴取k＝0，∴≤且≥，∴≤ω≤3.
16.解：（1）当x＝时，f（x）＝2sin（2×＋）＋1＝2sin 3π＋1＝2sin π＋1＝1.
（2）f（x）＝0 sin（2x＋）＝－ x＝kπ－，k∈Z或x＝kπ－π，k∈Z，
即函数f（x）的零点间隔依次为和.
故若y＝f（x）在[a，b]上至少含有6个零点，则b－a的最小值为2×＋3×＝.
2 / 26.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
理解y＝sin ωx中ω对图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin ωx图象间的变换关系 数学抽象、直观想象
　　前面我们学习了“五点法”作正、余弦函数的图象，请用“五点法”在同一平面直角坐标系下画出y＝sin x，y＝sin x，y＝sin 2x的图象.
【问题】　你能说出它们之间的关系吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　ω对y＝sin ωx的图象的影响
1.对于ω＞0，有sin ωx＝sin（ωx＋2π）＝sin ω.
根据周期函数的定义，T＝　　　　是函数y＝sin ωx的最小正周期.
通常称周期的倒数＝为　　　　.
2.函数y＝sin ωx的图象是将函数y＝sin x图象上所有点的横坐标　　　　　　到原来的
（当ω＞1时）或　　　　（当0＜ω＜1时）到原来的　　　　倍（纵坐标不变）得到的.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）函数y＝sin x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝sin x.（　　）
（2）ω的大小与函数的周期有关.（　　）
2.要得到y＝sin 2x的图象，只需把y＝sinx的图象上的所有点（　　）
A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变
B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变
D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变
3.函数y＝sin 3x的最小正周期为　　　　.
题型一 “五点法”作图
【例1】　用“五点法”作函数y＝sin 2x的简图，并指出这个函数的周期，频率.
尝试解答
通性通法
“五点法”作函数图象的策略
（1）“五点法”作图的实质是选取函数的一个周期，将其四等分，分别找出图象的最高点、最低点等五个关键点，由这五个点大致确定图象的位置和形状.连线要保持光滑，注意凹凸方向；
（2）五个关键点的确定：使函数中ωx取0，，π，，2π，然后求出相应的y值，再作出图象.
【跟踪训练】
用“五点法”作函数y＝sin x的简图，并指出这个函数的周期和频率.
题型二 图象周期变换
【例2】　（1）函数y＝cos x图象上各点的纵坐标不变，把横坐标变为原来的2倍，得到图象的解析式为y＝cos ωx，则ω的值为（　　）
A.2　　　　　　　　 B.
C.4 D.
（2）将函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）而得到的函数解析式为　　　　.
尝试解答
通性通法
　　参数ω对y＝sin ωx图象与性质的影响
（1）ω（ω＞0）影响函数y＝sin ωx的周期；
（2）y＝sin ωx（ω≠1）与y＝sin x的图象形状不同，此变换称为横向伸缩变换.即y＝sin x的图象y＝sin ωx的图象.
【跟踪训练】
1.把y＝sin x图象的周期变为原来的倍得到的函数的解析式是　　　　.
2.将函数y＝cos x图象上所有点的横坐标伸长到原来的4倍（纵坐标不变）而得到的函数解析式为　　　　.
题型三 三角函数y＝sin ωx（ω＞0）的性质
角度1　函数y＝sin ωx的周期性、奇偶性和对称性
【例3】　（1）函数y＝sin 2x的图象的对称轴方程为　　　　，对称中心为　　　　，奇偶性为　　　　；
（2）求下列函数的周期：
①y＝sin x；②y＝cos x.
尝试解答
角度2　函数y＝sin ωx的单调性、最值
【例4】　（1）求函数y＝sin x的单调区间；
（2）求函数y＝sin x取得最大值时对应的x的集合.
尝试解答
通性通法
关于函数y＝sin ωx的性质
（1）周期T＝；
（2）解决单调性、最值、对称轴和对称中心等问题时，可利用整体法，令u＝ωx，结合该函数的性质求解；
（3）奇偶性，利用定义f（－x）＝sin（－ωx）＝－sin ωx＝－f（x），则f（x）为奇函数.
【跟踪训练】
已知函数f（x）＝sin x.
（1）求f（x）的周期，频率；
（2）求f（x）的单调递增区间；
（3）求f（x）的对称轴.
1.为了得到函数y＝sin的图象，需将函数y＝sin的图象（　　）
A.纵坐标变为原来的3倍，横坐标不变
B.横坐标变为原来的3倍，纵坐标不变
C.横坐标变为原来的，纵坐标不变
D.纵坐标变为原来的，横坐标不变
2.函数y＝sin 6x是（　　）
A.最小正周期为的偶函数
B.最小正周期为π的偶函数
C.最小正周期为的奇函数
D.最小正周期为π的奇函数
3.利用“五点法”作函数y＝sin 3x，x∈[0，2π]的图象时，所取的五点的横坐标分别为　　　　.
4.函数y＝sin 3x＋1的值域为　　　　，单调递增区间为　　　　.
6.1　探究ω对y＝sin ωx的图象的影响
【基础知识·重落实】
知识点
1.　频率　2.缩短　伸长　
自我诊断
1.（1）√　（2）√
2.B　ω从变为2，三角函数周期变为原来的，故y＝sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到y＝sin 2x的图象，故选B.
3.　解析：由正弦函数的周期公式得T＝，所以函数y＝sin 3x的最小正周期为.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）列表：
x 0 π
2x 0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，，，（π，0）.
（3）连线：将所得五点用光滑曲线连起来，如图.
（4）这样就得到函数y＝sin 2x在一个周期内的图象.
周期T＝π.频率＝.
跟踪训练
　解：（1）列表：
x 0 3 6
x 0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点（0，0），，（3，0），，（6，0）；
（3）连线：用平滑曲线顺次连接，所得图象如图所示.
周期T＝6，频率＝.
【例2】　（1）B　（2）y＝sin 4x
解析：（1）由题意知＝2，
即ω＝.
（2）设所得到的函数解析式为y＝sin ωx（ω＞0），则＝，即ω＝4，故所求函数解析式为y＝sin 4x.
跟踪训练
1.y＝sin x　解析：由题意得所求为y＝sin＝sin x.
2.y＝cos x　解析：由题意得所求为y＝cos＝cos x.
【例3】　（1）x＝π＋（k∈Z）　（k∈Z）　奇函数
解析：由2x＝＋kπ（k∈Z）得x＝＋π（k∈Z），∴函数y＝sin 2x的对称轴方程为x＝＋π（k∈Z）.由2x＝kπ（k∈Z），得x＝π，∴函数y＝sin 2x的对称中心为（k∈Z）.∵sin（－2x）＝－sin 2x，∴函数y＝sin 2x为奇函数.
（2）解：①函数y＝sin x的周期T＝＝16π.
②函数y＝cos x的周期T＝＝6.
【例4】　解：（1）由2kπ－≤x≤2kπ＋，
得4kπ－π≤x≤4kπ＋π（k∈Z），
由2kπ＋≤x≤2kπ＋，
得4kπ＋π≤x≤4kπ＋3π（k∈Z），
故y＝sin 的单调递增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]（k∈Z），单调递减区间为[4kπ＋π，4kπ＋3π]（k∈Z）.
（2）当x＝2kπ＋，即x＝4kπ＋π，k∈Z时，ymax＝1，
故x的集合为{x｜x＝4kπ＋π，k∈Z}.
跟踪训练
　解：（1）T＝＝4.＝.
（2）令2kπ－≤x≤2kπ＋，得4k－1≤x≤4k＋1，
∴单调递增区间为[4k－1，4k＋1]，k∈Z.
（3）令x＝kπ＋，得x＝2k＋1，
∴对称轴为x＝2k＋1，k∈Z.
随堂检测
1.C　将函数y＝sin的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数y＝sin的图象，故选C.
2.C　f（x）＝sin 6x，f（－x）＝sin（－6x）＝－sin 6x，故f（x）为奇函数，最小正周期T＝＝，故选C.
3.0，，，，
4.[0，2]　［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z
解析：∵－1≤sin 3x≤1，∴0≤sin 3x＋1≤2，即函数y＝sin 3x＋1的值域为[0，2]，由－＋2kπ≤3x≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，∴函数y＝sin 3x＋1的单调递增区间为［－＋kπ，＋kπ］，k∈Z.
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