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人教九上数学单元测试（三） 旋转
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，如图所示的四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
A
2.如图,五角星围绕中心 旋转,旋转下列角度后不能与自身重合的是( )
A. B. C. D.
A
3.如图，是等边三角形内的一点，若将绕点旋转到，则 的度数是( )
A. B. C. D.
B
4.如图， 是一块长方形纸板.试画一条直线，将它的面积分成相等的两部分，那么这种直线能画( )
A. 2条 B. 4条 C. 8条 D. 无数条
D
5.在平面直角坐标系中,将点关于原点对称得到点，再将点向左平移2个单位长度得到点,则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
D
6.如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点 旋转 后可以和自身重合.若五个叶片的总面积为20， ，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
B
7.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，，
由旋转而成，点的对应点是，点 的对应点是，则旋转中心 的坐标为( )
A. B. C. D.
A
8.如图，将等边三角形绕点 顺时针旋转 得到，连接，, .则下列结论：；； .其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
D
9.如图，在中， ， ，，绕点 顺时针旋转得，当点落在边上时，连接，取 的中点，连接，则 的长是( )
A. B. C. 3 D.
A
10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点在轴上，直角顶点，将 以点为旋转中心，顺时针每秒旋转 ，77秒后，点的坐标为( )
B
A. B. C. D.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在平面直角坐标系中，与点 关于原点对称的点的坐标
是________.
12.如图，在中，对角线，相交于点 ，则图中成中心对
称的三角形共有___对.
4
13.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗， 与地面的夹角为 ， ，小贤同学将它绕点 旋转扶起平放在地上（如图2），则灰斗柄绕点 转动的角度为______.
14.如图，点在正方形的边上，将绕点 顺时针旋转 得到.如果正方形的边长是5，那么四边形 的面积是____.
25
15.如图所示，在中， ，， ，将绕点逆时针旋转 得到，连接， ，并延长交于点，则的度数是_____， 的长为____
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）已知六边形是以 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形 的全部图形，并写出作法.
解：如图，连接并延长到点，使得 ，连接并延长到点，使得，连接，， ，六边形 即为所求.
17.（6分）已知平面直角坐标系第二象限内的点 与另一点关于原点对称，试求 的值.
解：由题意，得
解得,, .
当时， ；
当时， （不合题意，舍去）.
.
18.（6分）如图,在中, ,以 为边向外作等边三角形,把绕点按顺时针方向旋转 到的位置,在的延长线上.若,,求的度数和 的长.
解：由旋转的性质,得 ,
,, ,
.
点,, 在一条直线上,
.
在等边三角形中， ，
.
.
为等边三角形.
， .
19.（8分）如图，在中， ， ，，将绕点 按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边 上，连接 .
（1）试说明： 为等边三角形.
解：绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在
边 上，
，，, .
又 ， 为等边三角形.
（2）求 的周长.
解： 为等边三角形，
， .
， ， .
， .
， ，
为等边三角形. .
的周长为
.
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度， 三个顶点的坐标分别为，， .
（1）请画出关于原点对称的 ，并写出点，， 的坐标.
解：如图， 即为所求，
，， .
解：如图， 即为所求，
，， .
（2）请画出绕点逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标.
解：如图， 即为所求，
.
21.（8分）下列网格图都是由相同的小正方形组成的，每个网格图中都有5个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，根据下列要求涂上阴影.
（1）在图1中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为轴对称图形，且只有1条对称轴（画一种情况即可）.
解：如图1所示（答案不唯一）.
（2）在图2中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为中心对称图形，但不是轴对称图形.
解：如图2所示.
（3）在图3中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为既是中心对称图形又是轴对称图形.
解：如图3所示.
22.（10分）如图，在正方形中，点， 分别在和上，，.将 绕点顺时针旋转，当点落在边 上时，得到 .
（1）求证： .
解：证明： 四边形 是正方形，
， .
， .
将绕点顺时针旋转，得到 ，
.
在和中，
∴ "△" "≌" "△" ( ) .
∴ = ,∠ =∠ .
（2）求， 两点之间的距离.
解：连接 .
由（1）得， ，
， .
.
是等腰直角三角形.
， ，
. .
.
,两点之间的距离为 .
23.（11分）若 为△ 所在平面内一点，且∠ =∠ =∠ = ，则点 叫做△ 的费马点.当三角形的最大角小于 时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”，即 + + 最小.如图，向△ 外作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， 相交于点 ，连接 .求证：
（1）点是 的费马点.
证明：过点作于点， 于点
，设与相交于点 .
， 都是等边三角形，
，， .
.
.
，， .
， ，
.
.
， .
.
.
点是 的费马点.
（2） .
[答案] 在线段上取一点，使得 ，连接 .
， ，
是等边三角形.
， .
， .
又， .
.
.
.
.
.
24.（12分）【问题情境】小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以 为边长向外作正方形，将正方形绕点 逆时针旋转.
【特例感知】
（1）如图1，当在边上时，连接，相交于点 ，小红发现恰好为 的中点.针对小红发现的结论，请给出证明.
解：证明：延长交于点 .
四边形和四边形 是正方形，
，，， ，
.
， .
， ，
.
，即 .
是 的中点.
（2）如图2，小红继续连接并延长与 相交，发现交点恰好也是的中点 .
①请说明理由.
证明：延长交的延长线于点，设和 交于
点 .
四边形和四边形 是正方形，
， ，
，，， .
， .
.
.
.
.
是的中点，即点和点 重合.
②根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由.
[答案] 是等腰直角三角形.理由如下：
， .
是等腰直角三角形.
【规律探究】
（3）如图3，将正方形绕点逆时针旋转 ，连接，是 的中
点，连接，，，则 的形状是否发生改变？请说明理由.
解： 的形状不发生改变.理由如下：
延长至点，使，连接， ，延长
，相交于点 .
为的中点， .
， ,
.
， .
.
四边形和四边形 是正方形，
， ，
， .
， .
.
， .
.
.， .
是等腰直角三角形.
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人教九上数学单元测试（三） 旋转
（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个个馆藏文物鲜活起来，如图所示的四幅图是我国一些博物馆的标志，其中是中心对称图形的是( )
2.如图,五角星围绕中心 旋转,旋转下列角度后不能与自身重合的是( )
A. B. C. D.
A
3.如图，是等边三角形内的一点，若将绕点旋转到，则 的度数是( )
A. B. C. D.
4.如图， 是一块长方形纸板.试画一条直线，将它的面积分成相等的两部分，那么这种直线能画( )
A. 2条 B. 4条 C. 8条 D. 无数条
5.在平面直角坐标系中,将点关于原点对称得到点，再将点向左平移2个单位长度得到点,则点 的坐标是( )
A. B. C. D.
6.如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点 旋转 后可以和自身重合.若五个叶片的总面积为20， ，则图中阴影部分的面积之和为( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
7.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点坐标分别为，，，
由旋转而成，点的对应点是，点 的对应点是，则旋转中心 的坐标为( )
A. B. C. D.
8.如图，将等边三角形绕点 顺时针旋转 得到，连接，, .则下列结论：；； .其中正确的个数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
9.如图，在中， ， ，，绕点 顺时针旋转得，当点落在边上时，连接，取 的中点，连接，则 的长是( )
A. B. C. 3 D.
10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形 的顶点在轴上，直角顶点，将 以点为旋转中心，顺时针每秒旋转 ，77秒后，点的坐标为( )
A. B. C. D.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在平面直角坐标系中，与点 关于原点对称的点的坐标
是________.
12.如图，在中，对角线，相交于点 ，则图中成中心对
称的三角形共有___对.
13.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗， 与地面的夹角为 ， ，小贤同学将它绕点 旋转扶起平放在地上（如图2），则灰斗柄绕点 转动的角度为______.
14.如图，点在正方形的边上，将绕点 顺时针旋转 得到.如果正方形的边长是5，那么四边形 的面积是____.
15.如图所示，在中， ，， ，将绕点逆时针旋转 得到，连接， ，并延长交于点，则的度数是_____， 的长为____
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
16.（6分）已知六边形是以 为中心的中心对称图形（如图），画出六边形 的全部图形，并写出作法.
解：如图，连接并延长到点，使得 ，连接并延长到点，使得，连接，， ，六边形 即为所求.
17.（6分）已知平面直角坐标系第二象限内的点 与另一点关于原点对称，试求 的值.
解：由题意，得
解得,, .
当时， ；
当时， （不合题意，舍去）.
.
18.（6分）如图,在中, ,以 为边向外作等边三角形,把绕点按顺时针方向旋转 到的位置,在的延长线上.若,,求的度数和 的长.
解：由旋转的性质,得 ,
,, ,
.
点,, 在一条直线上,
.
在等边三角形中， ，
.
.
为等边三角形.
， .
19.（8分）如图，在中， ， ，，将绕点 按逆时针方向旋转得到，此时点恰好在边 上，连接 .
（1）试说明： 为等边三角形.
解：绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在
边 上，
，，, .
又 ， 为等边三角形.
（2）求 的周长.
解： 为等边三角形，
， .
， ， .
， .
， ，
为等边三角形. .
的周长为
.
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方形网格的边长为1个单位长度， 三个顶点的坐标分别为，， .
（1）请画出关于原点对称的 ，并写出点，， 的坐标.
解：如图， 即为所求，
，， .
解：如图， 即为所求，
，， .
（2）请画出绕点逆时针旋转 后得到的 ，并写出点 的坐标.
解：如图， 即为所求，
.
21.（8分）下列网格图都是由相同的小正方形组成的，每个网格图中都有5个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，根据下列要求涂上阴影.
（1）在图1中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为轴对称图形，且只有1条对称轴（画一种情况即可）.
解：如图1所示（答案不唯一）.
（2）在图2中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为中心对称图形，但不是轴对称图形.
解：如图2所示.
（3）在图3中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为既是中心对称图形又是轴对称图形.
解：如图3所示.
22.（10分）如图，在正方形中，点， 分别在和上，，.将 绕点顺时针旋转，当点落在边 上时，得到 .
（1）求证： .
， .
， .
将绕点顺时针旋转，得到 ，
.
在和中，
∴ "△" "≌" "△" ( ) .
∴ = ,∠ =∠ .
（2）求， 两点之间的距离.
解：连接 .
由（1）得， ，
， .
.
是等腰直角三角形.
， ，
. .
.
,两点之间的距离为 .
23.（11分）若 为△ 所在平面内一点，且∠ =∠ =∠ = ，则点 叫做△ 的费马点.当三角形的最大角小于 时，可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距离之和最小的点”，即 + + 最小.如图，向△ 外作等边三角形 和等边三角形 ，连接 ， 相交于点 ，连接 .求证：
（1）点是 的费马点.
证明：过点作于点， 于点
，设与相交于点 .
， 都是等边三角形，
，， .
.
.
，， .
， ，
.
.
， .
.
.
点是 的费马点.
（2） .
[答案] 在线段上取一点，使得 ，连接 .
， ，
是等边三角形.
， .
， .
又， .
.
.
.
.
.
24.（12分）【问题情境】小红同学在学习了正方形的知识后，进一步进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以 为边长向外作正方形，将正方形绕点 逆时针旋转.
【特例感知】
（1）如图1，当在边上时，连接，相交于点 ，小红发现恰好为 的中点.针对小红发现的结论，请给出证明.
解：证明：延长交于点 .
四边形和四边形 是正方形，
，，， ，
.
， .
， ，
.
，即 .
是 的中点.
（2）如图2，小红继续连接并延长与 相交，发现交点恰好也是的中点 .
①请说明理由.
证明：延长交的延长线于点，设和 交于
点 .
四边形和四边形 是正方形，
， ，
，，， .
， .
.
.
.
.
是的中点，即点和点 重合.
②根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由.
[答案] 是等腰直角三角形.理由如下：
， .
是等腰直角三角形.
【规律探究】
（3）如图3，将正方形绕点逆时针旋转 ，连接，是 的中
点，连接，，，则 的形状是否发生改变？请说明理由.
解： 的形状不发生改变.理由如下：
延长至点，使，连接， ，延长
，相交于点 .
为的中点， .
， ,
.
， .
.
四边形和四边形 是正方形，
， ，
， .
， .
.
， .
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.， .
是等腰直角三角形.
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（时间：120分钟 满分：120分）
一、选择题（共10题，每题3分，共30分.在每题给出的四个选项中，
只有一项符合题目要求）
1.《国家宝藏》节目立足于中华文化宝库资源，通过对文物的梳理与
总结，演绎文物背后的故事与历史让更多的观众走进博物馆，让一个
个馆藏文物鲜活起来，如图所示的四幅图是我国一些博物馆的标志，
其中是中心对称图形的是( )
A
A. B. C. D.
第2题图
2.如图,五角星围绕中心 旋转,旋转下列角度后不能与自
身重合的是( )
A
A. B. C. D.
第3题图
3.如图，是等边三角形内的一点，若将
绕点旋转到，则 的度数是( )
B
A. B. C. D.
第4题图
4.如图， 是一块长方形纸板.试画一条直线，
将它的面积分成相等的两部分，那么这种直线能
画( )
D
A. 2条 B. 4条 C. 8条 D. 无数条
5.在平面直角坐标系中,将点关于原点对称得到点，再将点
向左平移2个单位长度得到点,则点 的坐标是( )
D
A. B. C. D.
第6题图
6.如图，图案由五个相同叶片组成，且其绕点 旋转
后可以和自身重合.若五个叶片的总面积为20，
，则图中阴影部分的面积之和为( )
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
第7题图
7.如图，在平面直角坐标系中， 的顶点
坐标分别为，，，
由旋转而成，点的对应点是，点 的
对应点是，则旋转中心 的坐标为( )
A
A. B. C. D.
第8题图
8.如图，将等边三角形绕点 顺时针旋转
得到，连接，, .则下列结
论：；； .其中
正确的个数是( )
D
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
第9题图
9.如图，在中， ，
，，绕点 顺时针旋转得
，当点落在边上时，连接，取
的中点，连接，则 的长是( )
A
A. B. C. 3 D.
第10题图
10.如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形
的顶点在轴上，直角顶点，将 以
点为旋转中心，顺时针每秒旋转 ，77秒后，点
的坐标为( )
B
A. B. C. D.
二、填空题（共5题，每题3分，共15分）
11.在平面直角坐标系中，与点 关于原点对称的点的坐标
是________.
12.如图，在中，对角线，相交于点 ，则图中成中心对
称的三角形共有___对.
4
第12题图
13.如图，教室里有一只倒地的装垃圾的灰斗， 与地面的夹角为
， ，小贤同学将它绕点 旋转扶起平放在地上
（如图2），则灰斗柄绕点 转动的角度为______.
第13题图
14.如图，点在正方形的边上，将绕点 顺时针旋转
得到.如果正方形的边长是5，那么四边形 的面
积是____.
25
第14题图
15.如图所示，在中， ，， ，将
绕点逆时针旋转 得到，连接， ，并延长
交于点，则的度数是_____， 的长为____
第15题图
三、解答题（共9题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算
步骤）
16.（6分）已知六边形是以 为中心的中心对
称图形（如图），画出六边形 的全部图形，并
写出作法.
解：如图，连接并延长到点，使得 ，连接
并延长到点，使得，连接，， ，
六边形 即为所求.
17.（6分）已知平面直角坐标系第二象限内的点 与另一
点关于原点对称，试求 的值.
解：由题意，得
解得,, .
当时， ；
当时， （不合题意，舍去）.
.
18.（6分）如图,在中, ,以 为边向外作等边三角
形,把绕点按顺时针方向旋转 到的位置,在
的延长线上.若,,求的度数和 的长.
解：由旋转的性质,得 ,
,, ,
.
点,, 在一条直线上,
.
在等边三角形中， ，
.
.
为等边三角形.
， .
19.（8分）如图，在中， ，
，，将绕点 按逆时针方向
旋转得到，此时点恰好在边 上，连接
.
（1）试说明： 为等边三角形.
解：绕点按逆时针方向旋转得到，此时点 恰好在
边 上，
，，, .
又 ， 为等边三角形.
（2）求 的周长.
解： 为等边三角形，
， .
， ， .
， .
， ，
为等边三角形. .
的周长为
.
20.（8分）如图，在平面直角坐标系中，小正方
形网格的边长为1个单位长度， 三个顶点
的坐标分别为，， .
（1）请画出关于原点对称的 ，
并写出点，， 的坐标.
解：如图， 即为所求，
，， .
（2）请画出绕点逆时针旋转 后得到的 ，并写
出点 的坐标.
解：如图， 即为所求，
.
21.（8分）下列网格图都是由相同的小正方形组成的，每个网格图中
都有5个小正方形已涂上阴影，请在余下的空白小正方形中，根据下列
要求涂上阴影.
（1）在图1中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为轴对称图形，且只
有1条对称轴（画一种情况即可）.
解：如图1所示（答案不唯一）.
（2）在图2中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为中心对称图形，但
不是轴对称图形.
解：如图2所示.
（3）在图3中选取1个小正方形涂上阴影，使之成为既是中心对称图形
又是轴对称图形.
解：如图3所示.
22.（10分）如图，在正方形中，点， 分别
在和上，，.将 绕
点顺时针旋转，当点落在边 上时，得到
.
（1）求证： .
解：证明： 四边形 是正方形，
， .
， .
将绕点顺时针旋转，得到 ，
.
在和中，
.
, .
（2）求， 两点之间的距离.
解：连接 .
由（1）得， ，
， .
.
是等腰直角三角形.
， ，
. .
.
,两点之间的距离为 .
23.（11分）若为 所在平面内一点，且
，则点 叫做
的费马点.当三角形的最大角小于 时，
可以证明费马点就是“到三角形的三个顶点的距
离之和最小的点”，即最小.如图，向 外作等边三
角形和等边三角形，连接，相交于点，连接 .求证：
（1）点是 的费马点.
证明：过点作于点， 于点
，设与相交于点 .
， 都是等边三角形，
，， .
.
.
，， .
， ，
.
.
， .
.
.
点是 的费马点.
（2） .
[答案] 在线段上取一点，使得 ，连
接 .
， ，
是等边三角形.
， .
， .
又， .
.
.
.
24.（12分）【问题情境】小红同学在学习了正方形的知识后，进一步
进行以下探究活动：在正方形的边上任意取一点，以 为
边长向外作正方形，将正方形绕点 逆时针旋转.
【特例感知】
（1）如图1，当在边上时，连接，相交于点 ，小红发现
恰好为 的中点.针对小红发现的结论，请给出证明.
解：证明：延长交于点 .
四边形和四边形 是正方形，
，，， ，
.
， .
， ，
.
，即 .
是 的中点.
（2）如图2，小红继续连接并延长与 相交，发现交点恰好也是
的中点 .
①请说明理由.
证明：延长交的延长线于点，设和 交于
点 .
四边形和四边形 是正方形，
， ，
，，， .
， .
.
.
.
.
是的中点，即点和点 重合.
②根据小红发现的结论，请判断 的形状，并说明理由.
[答案] 是等腰直角三角形.理由如下：
， .
是等腰直角三角形.
【规律探究】
（3）如图3，将正方形绕点逆时针旋转 ，连接，是 的中
点，连接，，，则 的形状是否发生改变？请说明理由.
解： 的形状不发生改变.理由如下：
延长至点，使，连接， ，延长
，相交于点 .
为的中点， .
， ,
.
， .
.
四边形和四边形 是正方形，
， ，
， .
， .
.
， .
.
.， .
是等腰直角三角形.
Thanks!
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