资源简介

(共27张PPT)
5.3.1 组合
学习目标
1.通过解决实际的计数问题，掌握组合的相关概念，体现逻辑推理能力（重点）
2.能利用定义判断组合问题，知道组合问题与排列问题的区别和联系，体现数学抽象能力（难点）
新课导入
上节课我们学习了关于排列的计算公式，在实际问题中，只有排列一种计算方法吗？思考下面的问题：
2025武汉马拉松于3月23日鸣枪开跑，4万名跑者踏上一条串联历史与诗意、自然与繁华的赛道，感受这座“每天不一样”的城市的蓬勃心跳.本次赛事设置全程马拉松、半程马拉松和13公里跑3个项目，社会各界踊跃参加志愿服务，现有甲、乙等5名大学生志愿者拟安排在三个项目进行志愿者活动，若将这5人分配到三个比赛项目，每个比赛项目至少安排1人，有多少种不同的分配方案
这个问题可以用排列来解决吗？如果不能，还有什么方法呢？
新课学习
问题1：某个城市有3座大型体育场A,B,C,需要选择2座体育场承办一次运动会，共有多少种选择方案？
思考下面的问题：
分析：利用列举法，我们把所有可能都列出来,共有3种,分别是AB,AC,BC.因此,从3座大型体育场A,B,C中选择2座体育场承办一次运动会,共有3种选择方案.
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问题2：从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？
方法1：利用列举法，我们把所有可能都列出来,共有6种,分别是ab,ac,ad,bc,bd,cd.因此,从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有6种可能.
方法2：从排列问题分析.
从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤：
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问题2：从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有多少种可能？
第1步，从 a，b，c，d这4个不同元素中取出2个元素，设其取法总数为x；
第2步，将取出的 2 个元素进行排列，排列数为
根据分步乘法计数原理， =x· ，从而x=
所以从a,b,c,d这4个元素中取出2个元素，共有6种可能.
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问题3：某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？
方法1：用a,b,c,d,e这5个字母代表5名候选人，把所有可能都列出来,共有10种，分别是
abc,abd,abe,acd,ace,ade,bcd,bce,bde,cde.
因此,要从5名候选人中选出3名担任代表,共有10种方案.
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问题3：某次团代会，要从5名候选人中选出3名担任代表，共有多少种方案？
方法2：从排列问题分析.
从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素的排列问题可以分解成以下2个步骤：
第1步，从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素，设其取法总数为x；
第2步，将取出的3个元素进行排列，排列数为 .
根据分步乘法计数原理， x· ，从而x
所以从a,b,c,d,e这5个不同元素中取出3个元素，共有10种方案.
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组合的概念
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
举个例子：
在上面讨论的3个问题中，问题1是从3个不同元素中取出2个元素的组合问题，问题2是从4个不同元素中取出2个元素的组合问题，问题3是从5个不同元素中取出3个元素的组合问题.
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拓展：组合概念的相关辨析
1.两个要点：(1)要求n个元素是不同的，且要从中取出元素，（2）“只取不排”，即取出m个元素与顺序无关，无序是组合的特征性质.
2.两个组合相同：只要两个组合中的元素相同，不论元素的顺序如何，都是相同的组合.两个组合中的元素不完全相同，就是不同的组合.
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思考一下：排列与组合的区别？
排列 组合
定义 一般地，从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象，按照一定顺序排成一列. 一般地，从n个不同对象中，取出m(m≤n)个对象，并成一组.
相同点 不同点
从n个不同对象中，任取m(m≤n)个对象
与对象的顺序有关
(先选后排)
与对象的顺序无关
(只选不排)
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练一练：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
（1）若集合A={a,b,c,d}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个？
（2）某铁路线上有4个车站，则这条铁路线上需准备多少种车票？
（3）从7本不同的书中取出5本给某同学；
（4）三个人去做5种不同的工作，每人做1种，有多少种分工方法？
（5）把3本相同的书分给5个学生，每人最多得一本，有多少种分配方法？
新课学习
练一练：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
（1）因为集合A的任一个含3个元素的子集与元素顺序都无关，所以它是组合问题.
（2）因为车票与起点、终点顺序有关，例如“甲→乙”与“乙→甲”的车票不同，所以它是排列问题.
（3）因为从7本不同的书中取出5本给某同学，取出的5本书并不考虑书的顺序，所以它是组合问题.
新课学习
练一练：判断下列问题是组合问题还是排列问题.
（4）因为从5种不同的工作中选出3种，按一定顺序分给三个人去做，所以它是排列问题.
（5）因为3本书是相同的，把3本书无论分给哪三个人都不需要考虑顺序，所以它是组合问题.
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练一练：用列举法写出下列组合：
1.从4个不同元素中任取3个元素的所有组合;
设4个不同元素分别是a,b,c,d,任取3个元素的所有组合：abc,abd,acd,bcd.
2.从5个不同元素中任取2个元素的所有组合.
设5个不同元素分别是a,b,c,d,e,任取2个元素的所有组合：ab,ac,ad,ae,bc,bd,be,cd,ce,de.
课堂巩固
B
课堂巩固
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B
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C
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
AD
课堂巩固
课堂总结
组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素为一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.有关求组合的个数的问题叫作组合问题.
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