5.3.2 组合数及其性质 课件(共31张PPT) 高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

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5.3.2 组合数及其性质 课件(共31张PPT) 高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

资源简介

(共31张PPT)
5.3.2 组合数及其性质
学习目标
1.理解组合数的概念,能利用计数原理推导组合数公式,体现逻辑推理能力(重点)
2.能运用组合数公式进行简单计算,体现逻辑推理能力(重点)
3.通过对实际问题的分析,掌握组合数的两个性质,体现数学计算能力(难点)
新课导入
上一节课我们学习了通过列举法计算组合,或者用排列来计算组合的问题,那么根据排列数的学习,组合数还有计算公式吗?如果有,是什么?排列数的计算公式与组合数的计算公式有什么区别和联系吗?
让我们这节课学习一下.
新课学习
组合数的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的所有组合的个数,叫作从n个不同元素中取出m(m≤n且m,n∈N+)个元素的一个组合数.记作 .
举个例子:
从3个不同元素中取出2个元素的组合数表示为
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思考一下:对于一般的组合问题,如何计算所有组合的个数呢?
下面我们通过分解排列数的计算步骤来计算组合数的方法.
对于上面的问题2,从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素的排列问题可以分解成一下两个步骤:
第1步,从a,b,c,d这4个不同元素中取出2个元素,共有 种取法;
第2步,将取出的2个元素进行排列,共有 种排法.
因此,根据分步乘法计数原理, 从而
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思考一下:把“从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素进行排列”这件事,要怎么做?
第1步,从n个不同元素中取出m个元素,共有 种取法;
第2步,将取出的m个元素进行排列,共有 种排法.
因此,根据分步乘法计数原理,我们得到“从n个不同元素中取出m(m≤n,
且m,n∈N+)个元素进行排列”共有 种排法,即 .
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组合数公式的概念
从n个不同元素中取出m(m≤n,且m,n∈N+)个元素的组合数为
上述这个公式叫作组合数公式.
规定:
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例1:计算:(1) ;(2) .
(1)
(2)
新课学习
例 2: 已知平面内有 12 个点, 任何 3 个点均不在同一直线上, 以每 3 个点为顶点画一个三角形,一共可以画多少个三角形?
分析: 已知"任何 3 个点均不在同一直线上", 所以在 12 个点中任取 3 个点都可以构成一个三角形, 且这 3 个点不必考虑顺序, 如△ABC,△ACB,△BAC,△BCA,△CAB,△CBA都表示同一个三角形. 因此, 这是一个从12个不同元素中取出3个元素的组合问题.
新课学习
例 2: 已知平面内有12个点, 任何3个点均不在同一直线上, 以每3个点为顶点画一个三角形,一共可以画多少个三角形?
依题意知以平面内12个点中的每3个点为顶点画三角形,可画的三角形的个数,就是从12个不同元素中取出3个元素的组合数, 即
因此,一共可以画220个三角形.
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思考下面的问题:
问题4:分别计算“从10人中选出6人参加比赛”与“从10人中选出4人不参加比赛”的方法数.
分析:“从10人中选出6人参加比赛”相当于“从10人中选出4人不参加比赛”,
因此,从10人中选出6人参加比赛的方法数和从10人中选出4人不参加比赛的方法数是相同的, 即
新课学习
思考一下:根据上面的计算式子,你可以发现什么结论?
1.两个组合数的下标相同;
2.两个上标的和等于下标.
所以,组合数有下面的性质
新课学习
证明上面的性质:
因此
新课学习
问题5:从10名普通战士和1名班长中选出5名参加军事比武大赛,共有多少种方案?
分析:一方面,从11名中选出5名参加军事比武大赛,共有 种方案.
另一方面,选出的5名可以分成以下2类:
第1类,含有班长,共有 种方案;
第2类,不含班长,共有 种方案.
因此,根据分类加法计数原理, 共有 种方案.
由此,我们得到:
课堂巩固
思考一下:根据问题5,你可以发现什么结论?
通过构造下面的情境来说明猜想.
猜想的左边表示:从(n+1)个不同的小球中取出m个小球的组合数.
现将这(n+1)个小球看成n个红球和1个黑球,从中取出m个球.所有取法可以分成以下2类:
第1类,不取黑球,从n个红球中,取出m个球,方法数为 ;
课堂巩固
通过构造下面的情境来说明猜想.
第2类,取出1个黑球和(m-1)个红球,因此,取出的方法数相当于从n个红球中,取出(m-1)个球,方法数为 .
由此,我们得到:
因此,根据分类加法计数原理,共有 种取法.
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组合数的性质
性质1:
性质2:
课堂巩固
B
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
D
课堂巩固
课堂巩固
A
课堂巩固
课堂巩固
C
课堂巩固
课堂巩固
70
课堂巩固
课堂总结
1.组合数公式
2.组合数性质
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