资源简介

(共64张PPT)
6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，了解φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的
影响；掌握y＝ sin x与y＝ sin （x＋φ）图象间的
关系 数学抽象、逻辑
推理
2.掌握函数y＝ sin （x＋φ）的有关性质及应用 数学运算、逻辑
推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　上一节课我们研究了ω对函数y＝ sin ωx（ω＞0）图象和性质的
影响.
【问题】　你知道参数φ对函数y＝ sin （ωx＋φ）的图象和性质有什
么影响吗？请借助函数y＝ sin x，y＝ sin 和y＝ sin 的
图象加以说明？




知识点　φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响
1. φ对y＝ sin （x＋φ）的图象的影响
函数y＝ sin （x＋φ）与函数y＝ sin x的周期相同，由x＋φ＝0，
得x＝－φ，即函数y＝ sin x图象上的点（0，0）平移到了
点 .
函数y＝ sin （x＋φ）的图象，可以看作将函数y＝ sin x图象上的
所有点 （φ＞0）或 （φ＜0）平移 个单
位长度得到的.
（－φ，0）　
向左　
向右　
｜φ｜　
2. 函数y＝ sin （x＋φ）的性质
（1）周期T＝2π；
（2）研究y＝ sin （x＋φ）的单调性、最值和对称性时，令u＝x
＋φ，然后按y＝ sin u的性质来求解，这是“整体代换”思想
的运用.
3. φ对y＝ sin （ωx＋φ）的图象的影响
（1）函数y＝ sin （ωx＋φ）与函数y＝ sin ωx有相同的周期，由
ωx＋φ＝0，得x＝－ ，即函数y＝ sin ωx图象上的点（0，
0）平移到点 .函数y＝ sin （ωx＋φ）的图
象，可以看作将函数y＝ sin ωx图象上的所有点 （φ
＞0）或 （φ＜0）平移 个单位长度得到的；
（2）在函数y＝ sin （ωx＋φ）中，φ决定了x＝0时的函数值，通
常称 为初相， 为相位.
　
向左　
向右　
φ　
ωx＋φ　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）将函数y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度，得到函数y＝
cos x的图象. （　√　）
（2）函数y＝ sin 的初相为 ，相位为x＋ . （　√　）
√
√
（4）要得到y＝ sin 的图象，只须把y＝ sin 2x的图象向
左平移 个单位长度得到. （　×　）
（3）函数y＝ sin 的图象是由y＝ sin x的图象向右平移 个
单位长度得到的. （　√　）
√
×
2. 为了得到函数y＝ cos 的图象，只需把余弦曲线上所有的点
（　　）
解析：　y＝ cos x y＝ cos （x＋ ）.
3. 函数y＝ sin 的周期和初相分别是T＝ 和φ＝ .
解析：由题意得周期T＝ ＝2π，φ＝－ .
2π　
－
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 “五点法”作图
【例1】　用“五点法”作函数y＝ sin 的简图，并指出这个
函数的周期、频率和初相.
解：（1）列表：
x
0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点 ， ， ，
， .
（3）连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示.
（4）这样就得到了函数y＝ sin 在一个周期内的图象，再将
这部分图象向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度，得函数y＝ sin
的图象.
此函数周期为4π，频率为 ，初相为－ .
通性通法
　　“五点法”作图的关键是列表，一般有下面两种列表方法：
（1）分别令ωx＋φ＝0， ，π， ，2π，再求出对应的x，这体现了
整体换元的思想；
（2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－ ，再把x0作为五点中第一个点的横坐
标，依次递加一个周期的 ，就可得到其余四个点的横坐标.
【跟踪训练】
已知函数y＝ sin .利用“五点法”作出它在长度为一个周期
的闭区间上的简图.
解：下面用“五点法”画函数y＝ sin 在一个周期T＝4π内的
图象.
令X＝ x＋ ，则x＝2X－ .
X 0 π 2π
x
y 0 1 0 －1 0
先列表，后描点并画图.
题型二 图象平移变换
【例2】　函数y＝ sin 的图象，可以看作是由y＝ sin x的图象
经过怎样的变换而得到的？
解：函数y＝ sin 的图象，可以看作是把函数y＝ sin x图象上
所有的点向右平移 个单位长度而得到的.
通性通法
　　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同
名函数.再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移
的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为
个单位长度.
【跟踪训练】
要得到函数y＝ sin 的图象，只要将函数y＝ sin 2x的图象
（　　）
解析：　因为y＝ sin ＝ sin ，
所以将函数y＝ sin 2x的图象向左平移 个单位长度，就可得到函数y
＝ sin ＝ sin （2x＋ ）的图象.
题型三 函数y＝ sin （ωx＋φ）的性质与图象的应用
【例3】　设函数f（x）＝ sin （2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f
（x）图象的一条对称轴是直线x＝ .
（1）求此函数的解析式；
解：因为x＝ 是函数y＝f（x）的图象的对称轴，所以 sin ＝±1，所以 ＋φ＝kπ＋ （k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以φ＝－ .因此y＝ sin .
（2）求函数y＝f（x）的单调递增区间.
解：由（1）知y＝ sin .
由题意得2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），
即kπ＋ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
所以函数y＝ sin 的单调递增区间为［kπ＋ ，kπ＋
］（k∈Z）.
通性通法
函数y＝ sin （ωx＋φ）单调性问题的解题策略
　　求y＝ sin （ωx＋φ）的单调区间时，首先把x的系数ω化为正
值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自
变量x的范围.
【跟踪训练】
函数y＝ sin （ωx＋φ） 在x∈（0，7π）内只取
到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时最大值为1，当x＝6π时，
最小值为－1.
（1）求此函数的解析式；
解：由题意得 T＝5π，所以T＝10π，
所以ω＝ ＝ ，则y＝ sin .
因为点（π，1）在此函数图象上，则 sin ＝1，
又因为0≤φ≤ ，有φ＝ － ＝ ，
所以y＝ sin .
（2）求此函数的单调递增区间.
解：当－ ＋2kπ≤ x＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，即－4π＋
10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，函数y＝ sin 单调递增.
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]
（k∈Z）.
1. 函数y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后得到的图象所对应
的函数解析式是（　　）
解析：　函数y＝ sin 2x的图象向右平移 个单位长度后，所得的
图象的函数解析式是y＝ sin 2 ＝ sin .故选D.
2. 函数y＝ sin 在区间 上的简图是（　　）
解析：　当x＝0时，y＝ sin ＝－ ＜0，排除B、D. 当x
＝ 时，y＝ sin ＝ sin 0＝0，排除C. 故选A.
3. 若将函数y＝2 sin 2x的图象向左平移 个单位长度，则平移后图
象的对称轴为（　　）
解析：　将函数y＝2 sin 2x的图象向左平移 个单位长度，得到
函数y＝2 sin ＝2 sin 的图象.由2x＋ ＝kπ＋
（k∈Z），得x＝ ＋ （k∈Z），即平移后图象的对称轴为x
＝ ＋ （k∈Z）.
4. 若函数y＝ sin （ x－φ）（0≤φ≤π）是定义在R上的偶函数，则
φ的值是（　　）
A. 0 D. π
解析：　由题意，得 sin （－φ）＝±1，即 sin φ＝±1.因为
φ∈[0，π]，所以φ＝ .故选C.
5. 已知函数y＝ sin ，则该函数的最小正周期、初相分别
是 ， .
解析：由函数y＝ sin 的解析式知，最小正周期为T＝
＝10π，初相为 .
10π　
　
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 将函数y＝ sin x的图象上所有的点向右平移 个单位长度，再把各
点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解
析式是（　　）
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解析：　将y＝ sin x的图象向右平移 个单位长度得到y＝ sin
的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵
坐标不变）得到y＝ sin 的图象.
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2. 函数y＝2 sin 的频率和初相分别为（　　）
解析：　函数y＝2 sin 的周期T＝ ＝π，频率为 ＝
，初相是 ，故选A.
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3. 为了得到y＝ sin 2x，x∈R的图象，只需把y＝ cos 2x，x∈R图
象上所有的点（　　）
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解析：　由诱导公式可得y＝ cos 2x＝ sin ＝ sin 2 ，所以将函数图象上的点向右平移 个单位长度，即可得到y＝
sin 2x的图象.故选B.
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4. 如果函数f（x）＝ sin （ω＞0）的相邻两个零点之间的距
离为 ，则ω的值为（　　）
A. 3 B. 6
C. 12 D. 24
解析：　相邻两个零点之间的距离为 ，则周期为T＝2× ＝
，于是ω＝ ＝6.
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5. （多选）要得到函数y＝ sin x的图象，只需将y＝ sin 的图
象（　　）
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解析：　y＝ sin ＝ sin 2 向右平移 个单位长
度，得y＝ sin 2x，再将横坐标扩大2倍得到y＝ sin x，故A正确，
B错误；y＝ sin 横坐标扩大2倍，得到 sin ，再向
右平移 个单位长度得到y＝ sin x，故C正确，D错误.故选A、C.
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6. （多选）已知函数f（x）＝ sin 上一点P的横坐标为0，
将y＝f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图
象也过点P，那么下列选项中，t可能取的值为（　　）
B. π
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解析：　由题可知P ，由f（x）的图象向左平移t（t＞
0）个单位长度得到的函数g（x）＝ sin ，因为函数
g（x）＝ sin 的图象也过点P ，所以 sin ＝ ，对A， sin ＝1，错误；对B， sin
＝ ，正确；对C， sin ＝ ，正确；对D， sin ＝－1，错误.故选B、C.
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7. 已知函数f（x）＝ cos ，则f（x）的最小正周期
是 ；f（x）的对称中心是 .
解析：由f（x）＝ cos ，得T＝ ＝4π；令 ＋ ＝kπ＋
，k∈Z，求得x＝2kπ＋ ，k∈Z，可得f（x）的对称中心是
，k∈Z.
4π　
，k∈Z　
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8. 函数y＝2 sin （ －2x）＋1的单调递增区间为 .
解析：y＝2 sin （ －2x）＋1＝－2 sin （2x－ ）＋1，求它的单
调递增区间，即求函数y＝ sin （2x－ ）的单调递减区间.由2kπ
＋ ≤2x－ ≤2kπ＋ ，k∈Z，得kπ＋ ≤x≤kπ＋ ，k∈Z. 故所求函数的单调递增区间为［kπ＋ ，kπ＋ ］，k∈Z.
［kπ＋ ，kπ＋ ］，k∈Z　
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9. 若将函数f（x）＝ sin 的图象向右平移φ个单位长度，所
得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是 .
　
解析：法一　f（x）＝ sin 的图象向右平移φ个单位长度
得到函数y＝ sin 的图象，由函数y＝ sin （2x＋ －
2φ）的图象关于y轴对称可知 sin ＝±1，即 sin
＝±1，故2φ－ ＝kπ＋ ，k∈Z，即φ＝ ＋ ，k∈Z，又φ＞
0，所以φmin＝ .
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法二　由f（x）＝ sin ＝ cos 的图象向右平移φ个单
位长度所得图象关于y轴对称可知2φ＋ ＝kπ，k∈Z，故φ＝ －
，又φ＞0，故φmin＝ .
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10. 设函数f（x）＝ sin ，x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
解：最小正周期T＝ ＝π，
由2kπ－ ≤2x－ ≤2kπ＋ （k∈Z），
得kπ－ ≤x≤kπ＋ （k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间是
［kπ－ ，kπ＋ ］（k∈Z）.
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（2）求函数f（x）在区间 上的最小值和最大值，并求出
取最值时x的值.
解：令t＝2x－ ，
则由 ≤x≤ 可得0≤t≤ ，
所以当t＝ ，
即x＝ 时，ymin＝－ ，
当t＝ ，即x＝ 时，ymax＝1.
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11. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周期为π，
将y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，所得图象对应的
函数为偶函数，则φ的一个值是（　　）
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解析：　∵函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）（ω＞0）的最小正周
期为π，∴ ＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝ sin （2x＋ ），∴将
y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，得到的图象对应的
函数解析式为y＝ sin ［2（x＋｜φ｜）＋ ］＝ sin （2x＋2｜
φ｜＋ ）.∵所得函数为偶函数，∴2｜φ｜＋ ＝kπ＋
（k∈Z），解得｜φ｜＝ ＋ （k∈Z），∴当k＝0时，｜φ｜
＝ .故φ的一个值是 .
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12. 已知ω＞0，函数f（x）＝ sin 在 上单调递减，则
ω的取值范围是（　　）
B. （0，2]
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解析：　∵函数f（x）＝ sin （ω＞0）在 上单
调递减，∴周期T＝ ≥π，解得0＜ω≤2.∵f（x）＝ sin
的单调递减区间满足 ＋2kπ≤ωx＋ ≤ ＋2kπ，k∈Z，即
＋ ≤x≤ ＋ ，k∈Z，∴存在k∈Z，使 ＋
≤ ， ＋ ≥π均成立.此时 ＋4k≤ω≤ ＋2k，k∈Z，∴
≤ω≤ ，即ω的取值范围是 ，故选C.
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13. 已知函数y＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0）在一个周期内，当x＝ 时
有最大值1，当x＝ 时有最小值－1，则ω＝ .
解析：由题意知T＝2× ＝π，所以ω＝ ＝2.
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14. 已知函数f（x）＝ sin （ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶
函数，其图象关于点M 对称，且在区间 上是单调
函数，求φ和ω的值.
解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x），
即函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x＝0时取得最值.即 sin φ＝±1，
又0≤φ≤π，∴φ＝ ，
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由f（x）的图象关于点M对称，
可知 sin ＝0，解得ω＝ － ，k∈Z.
又∵f（x）在 上是单调函数，
∴T≥π，即 ≥π，∴0＜ω≤2.
∴当k＝1时，ω＝ ，当k＝2时，ω＝2，
综上，可知φ＝ ，ω＝ 或2.
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15. （多选）将函数f（x）＝ sin 的图象向右平移 个单位
长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　）
A. 函数g（x）的图象关于y轴对称
B. 函数g（x）的最小正周期为2π
D. 直线x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴
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解析：　由题意g（x）＝ sin ＝ sin
＝－ cos 2x，g（－x）＝－ cos （－2x）＝－ cos 2x＝g
（x），是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；最小正周期是T
＝ ＝π，B错；x∈ 时，2x∈（0，π），y＝ cos 2x单调
递减，g（x）单调递增，C错；g（π）＝－ cos 2π＝－1，x＝π
是函数g（x）图象的一条对称轴，D正确.故选A、D.
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16. 将函数f（x）＝ sin （ωx＋φ） 图象上每一
点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移 个单
位长度得到y＝ sin x的图象.
（1）求函数f（x）的解析式；
解：将y＝ sin x的图象向左平移 个单位长度可得y＝ sin 的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝ sin 的图象，故f（x）＝ sin .
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（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的
取值范围.
解：令2kπ＋ ≤ x＋ ≤2kπ＋ （k∈Z），则4kπ＋ ≤x≤4kπ＋ （k∈Z），又x∈[0，3π]，所以x∈ ，f（x）单调递增，x∈ ，f（x）单调递减，x∈ ，f（x）单调递增，所以f（x）max＝1，f（x）min＝－1，当x＝0时，y＝ ，当x＝3π时，y＝－ .故使方程f（x）＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈ ∪{－1，1}.
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谢 谢 观 看！6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
1.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（　　）
A.y＝sin　　　 B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
2.函数y＝2sin的频率和初相分别为（　　）
A.， B.，
C.， D.，－
3.为了得到y＝sin 2x，x∈R的图象，只需把y＝cos 2x，x∈R图象上所有的点（　　）
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.如果函数f（x）＝sin（ω＞0）的相邻两个零点之间的距离为，则ω的值为（　　）
A.3　　　　B.6　　　　C.12　　　D.24
5.（多选）要得到函数y＝sin x的图象，只需将y＝sin的图象（　　）
A.先将图象向右平移，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
B.先将图象向右平移，再将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍
C.先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移
D.先将图象上各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再将图象向右平移
6.（多选）已知函数f（x）＝sin上一点P的横坐标为0，将y＝f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数图象也过点P，那么下列选项中，t可能取的值为（　　）
A.　　　 　B.π　　　 C.　　　D.
7.已知函数f（x）＝cos，则f（x）的最小正周期是　　　　；f（x）的对称中心是　　　　.
8.函数y＝2sin（－2x）＋1的单调递增区间为　　　　.
9.若将函数f（x）＝sin的图象向右平移φ个单位长度，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是　　　　.
10.设函数f（x）＝sin，x∈R.
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间上的最小值和最大值，并求出取最值时x的值.
11.已知函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，将y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数，则φ的一个值是（　　）
A.　　　　　　　　　B.
C. D.
12.已知ω＞0，函数f（x）＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是（　　）
A. B.（0，2]
C. D.
13.已知函数y＝sin（ωx＋φ）（ω＞0）在一个周期内，当x＝时有最大值1，当x＝时有最小值－1，则ω＝　　　　.
14.已知函数f（x）＝sin（ωx＋φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图象关于点M对称，且在区间上是单调函数，求φ和ω的值.
15.（多选）将函数f（x）＝sin的图象向右平移个单位长度，得到函数g（x）的图象，则下列说法中正确的是（　　）
A.函数g（x）的图象关于y轴对称
B.函数g（x）的最小正周期为2π
C.函数g（x）在上单调递减
D.直线x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴
16.将函数f（x）＝sin（ωx＋φ）图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到y＝sin x的图象.
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）当x∈[0，3π]时，方程f（x）＝m有唯一实数根，求m的取值范围.
6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
1.C　将y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到y＝sin的图象，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到y＝sin的图象.
2.A　函数y＝2sin的周期T＝＝π，频率为＝，初相是，故选A.
3.B　由诱导公式可得y＝cos 2x＝sin＝sin 2，所以将函数图象上的点向右平移个单位长度，即可得到y＝sin 2x的图象.故选B.
4.B　相邻两个零点之间的距离为，则周期为T＝2×＝，于是ω＝＝6.
5.AC　y＝sin＝sin 2向右平移个单位长度，得y＝sin 2x，再将横坐标扩大2倍得到y＝sin x，故A正确，B错误；y＝sin横坐标扩大2倍，得到sin，再向右平移个单位长度得到y＝sin x，故C正确，D错误.故选A、C.
6.BC　由题可知P，由f（x）的图象向左平移t（t＞0）个单位长度得到的函数g（x）＝sin，因为函数g（x）＝sin的图象也过点P，所以sin＝，对A，sin＝1，错误；对B，sin＝，正确；对C，sin＝，正确；对D，sin＝－1，错误.故选B、C.
7.4π　，k∈Z
解析：由f（x）＝cos，得T＝＝4π；令＋＝kπ＋，k∈Z，求得x＝2kπ＋，k∈Z，可得f（x）的对称中心是，k∈Z.
8.［kπ＋，kπ＋］，k∈Z
解析：y＝2sin（－2x）＋1＝－2sin（2x－）＋1，求它的单调递增区间，即求函数y＝sin（2x－）的单调递减区间.由2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z.故所求函数的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］，k∈Z.
9.　解析：法一　f（x）＝sin的图象向右平移φ个单位长度得到函数y＝sin的图象，由函数y＝sin（2x＋－2φ）的图象关于y轴对称可知sin＝±1，即sin＝±1，故2φ－＝kπ＋，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ＞0，所以φmin＝.
法二　由f（x）＝sin＝cos的图象向右平移φ个单位长度所得图象关于y轴对称可知2φ＋＝kπ，k∈Z，故φ＝－，又φ＞0，故φmin＝.
10.解：（1）最小正周期T＝＝π，
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
得kπ－≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数f（x）的单调递增区间是
［kπ－，kπ＋］（k∈Z）.
（2）令t＝2x－，
则由≤x≤可得0≤t≤，
所以当t＝，即x＝时，ymin＝－，当t＝，即x＝时，ymax＝1.
11.D　∵函数f（x）＝sin（ωx＋）（ω＞0）的最小正周期为π，∴＝π，解得ω＝2，∴f（x）＝sin（2x＋），∴将y＝f（x）的图象向左平移｜φ｜个单位长度，得到的图象对应的函数解析式为y＝sin［2（x＋｜φ｜）＋］＝sin（2x＋2｜φ｜＋）.∵所得函数为偶函数，∴2｜φ｜＋＝kπ＋（k∈Z），解得｜φ｜＝＋（k∈Z），∴当k＝0时，｜φ｜＝.故φ的一个值是.
12.C　∵函数f（x）＝sin（ω＞0）在上单调递减，∴周期T＝≥π，解得0＜ω≤2.∵f（x）＝sin的单调递减区间满足＋2kπ≤ωx＋≤＋2kπ，k∈Z，即＋≤x≤＋，k∈Z，∴存在k∈Z，使＋≤，＋≥π均成立.此时＋4k≤ω≤＋2k，k∈Z，∴≤ω≤，即ω的取值范围是，故选C.
13.2　解析：由题意知T＝2×＝π，所以ω＝＝2.
14.解：由f（x）是偶函数，得f（－x）＝f（x），
即函数f（x）的图象关于y轴对称，
∴f（x）在x＝0时取得最值.即sin φ＝±1，
又0≤φ≤π，∴φ＝，
由f（x）的图象关于点M对称，可知sin＝0，解得ω＝－，k∈Z.又∵f（x）在上是单调函数，
∴T≥π，即≥π，∴0＜ω≤2.
∴当k＝1时，ω＝，当k＝2时，ω＝2，综上，可知φ＝，ω＝或2.
15.AD　由题意g（x）＝sin＝sin＝－cos 2x，g（－x）＝－cos（－2x）＝－cos 2x＝g（x），是偶函数，图象关于y轴对称，A正确；最小正周期是T＝＝π，B错；x∈时，2x∈（0，π），y＝cos 2x单调递减，g（x）单调递增，C错；g（π）＝－cos 2π＝－1，x＝π是函数g（x）图象的一条对称轴，D正确.故选A、D.
16.解：（1）将y＝sin x的图象向左平移个单位长度可得y＝sin的图象，保持纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，可得y＝sin的图象，故f（x）＝sin.
（2）令2kπ＋≤x＋≤2kπ＋（k∈Z），则4kπ＋≤x≤4kπ＋（k∈Z），又x∈[0，3π]，所以x∈，f（x）单调递增，x∈，f（x）单调递减，x∈，f（x）单调递增，所以f（x）max＝1，f（x）min＝－1，当x＝0时，y＝，当x＝3π时，y＝－.故使方程f（x）＝m有唯一实数根的m的取值范围为m∈∪{－1，1}.
2 / 26.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
新课程标准解读 核心素养
1.结合实例，了解φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响；掌握y＝sin x与y＝sin（x＋φ）图象间的关系 数学抽象、逻辑推理
2.掌握函数y＝sin（x＋φ）的有关性质及应用 数学运算、逻辑推理
　　上一节课我们研究了ω对函数y＝sin ωx（ω＞0）图象和性质的影响.
【问题】　你知道参数φ对函数y＝sin（ωx＋φ）的图象和性质有什么影响吗？请借助函数y＝sin x，y＝sin和y＝sin的图象加以说明？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点　φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
1.φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
函数y＝sin（x＋φ）与函数y＝sin x的周期相同，由x＋φ＝0，得x＝－φ，即函数y＝sin x图象上的点（0，0）平移到了点　　　　.
函数y＝sin（x＋φ）的图象，可以看作将函数y＝sin x图象上的所有点　　　　（φ＞0）或　　　　（φ＜0）平移　　　个单位长度得到的.
2.函数y＝sin（x＋φ）的性质
（1）周期T＝2π；
（2）研究y＝sin（x＋φ）的单调性、最值和对称性时，令u＝x＋φ，然后按y＝sin u的性质来求解，这是“整体代换”思想的运用.
3.φ对y＝sin（ωx＋φ）的图象的影响
（1）函数y＝sin（ωx＋φ）与函数y＝sin ωx有相同的周期，由ωx＋φ＝0，得x＝－，即函数y＝sin ωx图象上的点（0，0）平移到点　　　　.函数y＝sin（ωx＋φ）的图象，可以看作将函数y＝sin ωx图象上的所有点
　　　　（φ＞0）或　　　　（φ＜0）平移个单位长度得到的；
（2）在函数y＝sin（ωx＋φ）中，φ决定了x＝0时的函数值，通常称　　　为初相，　　　为相位.
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）将函数y＝sin x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝cos x的图象.（　　）
（2）函数y＝sin的初相为，相位为x＋.（　　）
（3）函数y＝sin的图象是由y＝sin x的图象向右平移个单位长度得到的.（　　）
（4）要得到y＝sin的图象，只须把y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度得到.（　　）
2.为了得到函数y＝cos的图象，只需把余弦曲线上所有的点（　　）
A.向左平行移动个单位长度
B.向右平行移动个单位长度
C.向左平行移动个单位长度
D.向右平行移动个单位长度
3.函数y＝sin的周期和初相分别是T＝　　　　和φ＝　　　　.
题型一 “五点法”作图
【例1】　用“五点法”作函数y＝sin的简图，并指出这个函数的周期、频率和初相.
尝试解答
通性通法
　　“五点法”作图的关键是列表，一般有下面两种列表方法：
（1）分别令ωx＋φ＝0，，π，，2π，再求出对应的x，这体现了整体换元的思想；
（2）取ωx0＋φ＝0，得x0＝－，再把x0作为五点中第一个点的横坐标，依次递加一个周期的，就可得到其余四个点的横坐标.
【跟踪训练】
已知函数y＝sin.利用“五点法”作出它在长度为一个周期的闭区间上的简图.
题型二 图象平移变换
【例2】　函数y＝sin的图象，可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？
尝试解答
通性通法
　　对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同则先化为同名函数.再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为个单位长度.
【跟踪训练】
　要得到函数y＝sin的图象，只要将函数y＝sin 2x的图象（　　）
A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度
题型三 函数y＝sin（ωx＋φ）的性质与图象的应用
【例3】　设函数f（x）＝sin（2x＋φ）（－π＜φ＜0），y＝f（x）图象的一条对称轴是直线x＝.
（1）求此函数的解析式；
（2）求函数y＝f（x）的单调递增区间.
尝试解答
通性通法
函数y＝sin（ωx＋φ）单调性问题的解题策略
　　求y＝sin（ωx＋φ）的单调区间时，首先把x的系数ω化为正值，然后利用整体代换，把ωx＋φ代入相应不等式中，求出相应的自变量x的范围.
【跟踪训练】
函数y＝sin（ωx＋φ）在x∈（0，7π）内只取到一个最大值和一个最小值，且当x＝π时最大值为1，当x＝6π时，最小值为－1.
（1）求此函数的解析式；
（2）求此函数的单调递增区间.
1.函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后得到的图象所对应的函数解析式是（　　）
A.y＝sin　　B.y＝sin
C.y＝sin D.y＝sin
2.函数y＝sin在区间上的简图是（　　）
3.若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（　　）
A.x＝－（k∈Z）
B.x＝＋（k∈Z）
C.x＝－（k∈Z）
D.x＝＋（k∈Z）
4.若函数y＝sin（x－φ）（0≤φ≤π）是定义在R上的偶函数，则φ的值是（　　）
A.0 B.
C. D.π
5.已知函数y＝sin，则该函数的最小正周期、初相分别是　　　　，　　　　.
6.2　探究φ对y＝sin（x＋φ）的图象的影响
【基础知识·重落实】
知识点
1.（－φ，0）　向左　向右　｜φ｜
3.（1）　向左　向右　（2）φ　ωx＋φ
自我诊断
1.（1）√　 （2）√　（3）√　（4）×
2.C　y＝cos xy＝cos（x＋）.
3.2π　－　解析：由题意得周期T＝＝2π，φ＝－.
【典型例题·精研析】
【例1】　解：（1）列表：
x
x－ 0 π 2π
y 0 1 0 －1 0
（2）描点：在直角坐标系中描出点，，，，.
（3）连线：将所得五点用光滑的曲线连起来，如图所示.
（4）这样就得到了函数y＝sin在一个周期内的图象，再将这部分图象向左、向右平移4kπ（k∈Z）个单位长度，得函数y＝sin的图象.
此函数周期为4π，频率为，初相为－.
跟踪训练
　解：下面用“五点法”画函数y＝sin在一个周期T＝4π内的图象.
令X＝x＋，则x＝2X－.
先列表，后描点并画图.
X 0 π 2π
x －
y 0 1 0 －1 0
【例2】　解：函数y＝sin的图象，可以看作是把函数y＝sin x图象上所有的点向右平移个单位长度而得到的.
跟踪训练
　C　因为y＝sin＝sin，所以将函数y＝sin 2x的图象向左平移个单位长度，就可得到函数y＝sin＝sin（2x＋）的图象.
【例3】　解：（1）因为x＝是函数y＝f（x）的图象的对称轴，所以sin＝±1，所以＋φ＝kπ＋（k∈Z），因为－π＜φ＜0，所以φ＝－.因此y＝sin.
（2）由（1）知y＝sin.
由题意得2kπ－≤2x－≤2kπ＋（k∈Z），
即kπ＋≤x≤kπ＋（k∈Z），
所以函数y＝sin的单调递增区间为［kπ＋，kπ＋］（k∈Z）.
跟踪训练
　解：（1）由题意得T＝5π，所以T＝10π，
所以ω＝＝，则y＝sin.
因为点（π，1）在此函数图象上，
则sin＝1，
又因为0≤φ≤，有φ＝－＝，
所以y＝sin.
（2）当－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，k∈Z，即－4π＋10kπ≤x≤π＋10kπ，k∈Z时，函数y＝sin单调递增.
所以此函数的单调递增区间为[－4π＋10kπ，π＋10kπ]（k∈Z）.
随堂检测
1.D　函数y＝sin 2x的图象向右平移个单位长度后，所得的图象的函数解析式是y＝sin 2＝sin.故选D.
2.A　当x＝0时，y＝sin＝－＜0，排除B、D.当x＝时，y＝sin＝sin 0＝0，排除C.故选A.
3.B　将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象.由2x＋＝kπ＋（k∈Z），得x＝＋（k∈Z），即平移后图象的对称轴为x＝＋（k∈Z）.
4.C　由题意，得sin（－φ）＝±1，即sin φ＝±1.因为φ∈[0，π]，所以φ＝.故选C.
5.10π　　解析：由函数y＝sin的解析式知，最小正周期为T＝＝10π，初相为.
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