第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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第一章 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
1.若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则的值是(  )
A.           B.-
C.- D.
2.tan(-1 560°)=(  )
A.- B.
C.- D.
3.已知a=sin,b=tan,c=log4,则(  )
A.a>b>c B.b>a>c
C.b>c>a D.a>c>b
4.已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是(  )
A.- B.-
C.± D.±
5.cos2x=(  )
A.tan x B.sin x
C.cos x D.
6.(多选)下列各函数值,其中符号为正的是(  )
A.sin(- 1 000°) B.cos(-2 200°)
C.tan(-10°) D.
7.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α=    ,cos α=    ,tan α=    .
8.tan=    .
9.tan 405°-sin 450°+cos 750°=    .
10.已知tan (3π+α)=2,
求的值.
11.已知角α的终边过点(m,-2),若tan(π+α)=,则m=(  )
A. B.-10
C.10 D.-
12.已知tan (π-α)=-,则=(  )
A. B.
C. D.1
13.已知cos(α+β)=-1,且tan α=2,则tan β=    .
14.已知sin(α+β)=1,试求tan(2α+β)+tan β的值.
15.(多选)下列说法中正确的有(  )
A.正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零
B.若tan α≥0,则kπ≤α≤+kπ(k∈Z)
C.tan(-945°)=-1
D.对任意角α,都有|tan α+|=|tan α|+
16.已知①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan(-α)=;③3sin α+4cos α=0.在这三个条件中任选一个,求的值.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
1.C 依题意得=tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-,∴=-,故选C.
2.D tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°=.故选D.
3.B 因为<<<<,所以<sin<1,tan>1,又log4=,所以b>a>c.故选B.
4.A 因为角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),所以tan α=,所以tan(180°-α)=-tan α=-.
5.D (tan x+)cos2x=(+)cos2x==.
6.ABD sin(-1 000°)=sin(-3×360°+80°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos 2 200°=cos(6×360°+40°)=cos 40°>0;tan(-10°)=-tan 10°<0;sin >0,cos π=-1<0,tan =tan <0,故>0.
7.-  - 解析:因为x=5,y=-12,所以r==13,则sin α==-,cos α==,tan α==-.
8. 解析:tan=-tan
=-tan=-tan =tan =.
9. 解析:tan 405°-sin 450°+cos 750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+=.
10.解:因为tan(3π+α)=tan α=2,所以原式=
====2.
11.B 因为tan(π+α)=tan α=,角α的终边过点(m,-2),得tan α==,解得m=-10.故选B.
12.B 由tan (π-α)=-得,tan α=.
∴=
==.
13.-2 解析:由cos(α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),∴β=2kπ+π-α(k∈Z).∴tan β=tan (2kπ+π-α)=tan (π-α)=-tan α=-2.
14.解:因为sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+(k∈Z),
所以α=2kπ+-β(k∈Z).
故tan(2α+β)+tan β
=tan+tan β
=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β
=tan(4kπ+π-β)+tan β
=tan(π-β)+tan β
=-tan β+tan β=0.
15.CD 正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负,故A错误;若tan α≥0,则kπ≤α<+kπ(k∈Z),故B错误;tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1,故C正确;因为tan α,的符号相同,所以=|tan α|+,故D正确.
16.解:
=.
选①:由题意得,tan α==-,
∴原式===-.
选②:由tan(-α)==,得tan α=,
∴原式===-.
选③:由3sin α+4cos α=0,得tan α=-,
∴原式===
1 / 27.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值 数学抽象、数学运算
2.理解并熟记正切函数的诱导公式 逻辑推理
3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题 逻辑推理、数学运算
  在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究.
【问题】 那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是怎样的呢?
                      
                      
知识点一 正切函数的定义
1.定义:根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为        .
2.结论:若角α的终边上任取一点Q(x0,y0)(x0≠0),则tan α=    .
3.正切值在各象限中的符号
由正切函数的定义知:当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为   ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为   .
提醒 (1)若x=+kπ(k∈Z),则角x的终边落在y轴上,此时cos x=0,比值无意义,因此正切函数的定义域为;(2)三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.
知识点二 正切函数的诱导公式
 tan(x+kπ)=    (k∈Z);tan (-x)=    ;tan(π-x)=-tan x;tan=-;tan=.
其中的x是使等式两边都有意义的任意实数.
提醒 (1)正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”;(2)利用诱导公式求任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为上的正切函数再求值”,即由未知转化为已知的化归思想;(3)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)tan=tan α当且仅当k=2时成立.(  )
(2)tan(π-α)=-tan α.(  )
2.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则tan α的值为(  )
A.-  B.-  C.-  D.-
3.已知点P(2,3)是角α终边上一点,则tan(π+α)=    .
题型一 正切函数定义的应用
【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求tan α的值.
尝试解答
通性通法
利用正切函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sin α=,余弦值cos α=,正切值tan α=;
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.
【跟踪训练】
 若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α=(  )
A.-  B.  C.  D.-
题型二 利用正切函数诱导公式求值
【例2】 求下列各式的值:
(1)tan ;
(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).
尝试解答
通性通法
利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法
(1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值,即“给角求值”,关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值,通常是特殊角的正切函数值;
(2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.
【跟踪训练】
计算:tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°).
题型三 利用正切函数的诱导公式化简与证明
【例3】 求证:=-tan α.
尝试解答
通性通法
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少;
(2)“大化小”,角尽可能化小.
【跟踪训练】
化简:.
  
1.tan 660°的值为(  )
A.- B.
C.- D.
2.下列各式成立的是(  )
A.tan(π+α)=-tan α
B.tan(π-α)=tan α
C.tan(-α)=-tan α
D.tan(2π-α)=tan α
3.若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α=(  )
A.- B.
C.- D.
4.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)=       .
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
【基础知识·重落实】
知识点一
1. 2. 
3.正 负
知识点二
tan x -tan x
自我诊断
1.(1)× (2)√
2.A tan α==-.
3. 解析:由题意知tan α==,
∴tan(π+α)=tan α=.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:r==5|a|,
若a>0,r=5a,角α在第二象限,
sin α===,cos α===-,
tan α===-;
若a<0,r=-5a,角α在第四象限,
sin α=-,cos α=,tan α=-.
跟踪训练
 D cos α==,解得y=±4,又y<0,所以y=-4,故tan α=-.
【例2】 解:(1)tan =-tan
=-tan =-tan
=tan =.
(2)原式=tan 10°+tan (180°-10°)+sin 1 866°-sin(-606°)=tan 10°-tan 10°+sin(5×360°+66°)-sin [(-2)×360°+114°]=sin 66°-sin(180°-66°)=sin 66°-sin 66°=0.
跟踪训练
 解:原式=tan(-5×180°+30°)·tan(5×180°+30°)+tan(-8×180°+60°)·tan(-4×180°+30°)
=tan 30°·tan 30°+tan 60°·tan 30°
=()2+×=+1=.
【例3】 证明:左边

===-tan α=右边.故原式得证.
跟踪训练
 解:原式===.
随堂检测
1.C tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan 60°=-.
2.C tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α.故选C.
3.C 因为角α的终边经过点P(-2,3),所以tan α==-.故选C.
4.- 解析:由tan(π-x)=知,tan x=-,故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=-.
3 / 3(共47张PPT)
7.1 正切函数的定义
7.2 正切函数的诱导公式
新课程标准解读 核心素养
1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求
正切值 数学抽象、数学
运算
2.理解并熟记正切函数的诱导公式 逻辑推理
3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、
比较大小等问题 逻辑推理、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一
个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的
比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问
题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函
数的诱导公式进行了深入探究.
【问题】 那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是
怎样的呢?




知识点一 正切函数的定义
1. 定义:根据函数的定义,比值 是x的函数,称为x的正切函
数,记作y=tan x,其中定义域为 .

 
 
由正切函数的定义知:当角α的终边在第一和第三象限时,正切值
为 ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为 .
提醒 (1)若x= +kπ(k∈Z),则角x的终边落在y轴上,此
时 cos x=0,比值 无意义,因此正切函数的定义域为
;(2)三角函数值的符号变化规律
可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限各三
角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值
为正,第四象限只有余弦值为正.
正 
负 
3. 正切值在各象限中的符号
知识点二 正切函数的诱导公式
tan(x+kπ)= (k∈Z);tan (-x)= ;
tan(π-x)=-tan x;tan =- ;tan = .
其中的x是使等式两边都有意义的任意实数.
tan x 
-tan x 
提醒 (1)正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一
样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”;(2)利用诱导公
式求任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、
余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为
上的正切函数再求值”,即由未知转化为已知的化归思想;(3)诱
导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改
变以及正负号的选取.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)tan =tan α当且仅当k=2时成立. ( × )
(2)tan(π-α)=-tan α. ( √ )
×

2. 已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点
,则tan α的值为(  )
解析: tan α= =- .
3. 已知点P(2,3)是角α终边上一点,则tan(π+α)= .
解析:由题意知tan α= = ,∴tan(π+α)=tan α= .
 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正切函数定义的应用
【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求tan
α的值.
解:r= =5|a|,
若a>0,r=5a,角α在第二象限,
sin α= = = , cos α= = =- ,
tan α= = =- ;
若a<0,r=-5a,角α在第四象限,
sin α=- , cos α= ,tan α=- .
通性通法
利用正切函数的定义求值的策略
(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方
法有以下两种:
①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函
数的定义求出相应的正切函数值;
②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线
上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α= ,
余弦值 cos α= ,正切值tan α= .
(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的
实际情况对参数进行分类讨论.
【跟踪训练】
若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0, cos α= ,
则tan α=(  )
解析:  cos α= = ,解得y=±4,又y<0,所以y=-
4,故tan α=- .
题型二 利用正切函数诱导公式求值
【例2】 求下列各式的值:
(1)tan ;
解:tan =-tan
=-tan =-tan
=tan = .
(2)tan 10°+tan 170°+ sin 1 866°- sin (-606°).
解:原式=tan 10°+tan (180°-10°)+ sin 1 866°
- sin (-606°)=tan 10°-tan 10°+ sin (5×360°+
66°)- sin [(-2)×360°+114°]= sin 66°- sin
(180°-66°)= sin 66°- sin 66°=0.
通性通法
利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法
(1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值,即“给角求
值”,关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为
上的正切函数值,通常是特殊角的正切函数值;
(2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关
系,选择恰当的诱导公式求值.
【跟踪训练】
计算:tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°).
解:原式=tan(-5×180°+30°)·tan(5×180°+30°)+tan
(-8×180°+60°)·tan(-4×180°+30°)
=tan 30°·tan 30°+tan 60°·tan 30°
=( )2+ × = +1= .
题型三 利用正切函数的诱导公式化简与证明
【例3】 求证: =-tan α.
证明:左边= = =
=-tan α=右边.故原式得证.
通性通法
用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则
(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少;
(2)“大化小”,角尽可能化小.
【跟踪训练】
化简: .
解:原式= = = .
1. tan 660°的值为(  )
解析: tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan
60°=- .
2. 下列各式成立的是(  )
A. tan(π+α)=-tan α B. tan(π-α)=tan α
C. tan(-α)=-tan α D. tan(2π-α)=tan α
解析: tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;
tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan
α.故选C.
3. 若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α=(  )
解析: 因为角α的终边经过点P(-2,3),所以tan α= =
- .故选C.
4. 已知tan(π-x)= ,则tan(x-3π)=  -  .
解析:由tan(π-x)= 知,tan x=- ,
故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=- .
-  
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则 的值
是(  )
解析: 依题意得 =tan 330°,又tan 330°=tan(360°-
30°)=-tan 30°=- ,∴ =- ,故选C.
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2. tan(-1 560°)=(  )
解析: tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+
120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°= .故
选D.
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3. 已知a= sin ,b=tan ,c=log4 ,则(  )
A. a>b>c B. b>a>c
C. b>c>a D. a>c>b
解析: 因为 < < < < ,所以 < sin <1,tan >
1,又log4 = ,所以b>a>c.故选B.
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4. 已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-
α)的值是(  )
解析: 因为角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),所以
tan α= ,所以tan(180°-α)=-tan α=- .
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5. cos 2x=(  )
A. tan x B. sin x
C. cos x
解析: (tan x+ ) cos 2x=( + ) cos 2x=
= .
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6. (多选)下列各函数值,其中符号为正的是(  )
A. sin (- 1 000°) B. cos (-2 200°)
C. tan(-10°)
解析:  sin (-1 000°)= sin (-3×360°+80°)=
sin 80°>0; cos (-2 200°)= cos 2 200°= cos (6×360°+
40°)= cos 40°>0;tan(-10°)=-tan 10°<0; sin >
0, cos π=-1<0,tan =tan <0,故 >0.
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7. 若角α的终边经过点P(5,-12),则 sin α= , cos α
=     ,tan α=  -  .
解析:因为x=5,y=-12,所以r= =13,则 sin
α= =- , cos α= = ,tan α= =- .
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8. tan =    .
解析:tan =-tan =-tan =-tan =tan =
.
 
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9. tan 405°- sin 450°+ cos 750°= .
解析:tan 405°- sin 450°+ cos 750°=tan(360°+45°)-
sin (360°+90°)+ cos (720°+30°)=tan 45°- sin 90°
+ cos 30°=1-1+ = .
 
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10. 已知tan (3π+α)=2,
求 的值.
解:因为tan(3π+α)=tan α=2,所以原式=
= = = =2.
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11. 已知角α的终边过点(m,-2),若tan(π+α)= ,则m=
(  )
B. -10 C. 10
解析: 因为tan(π+α)=tan α= ,角α的终边过点(m,
-2),得tan α= = ,解得m=-10.故选B.
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12. 已知tan (π-α)=- ,则 =(  )
D. 1
解析: 由tan (π-α)=- 得,tan α= .
∴ =
= = .
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13. 已知 cos (α+β)=-1,且tan α=2,则tan β= .
解析:由 cos (α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),
∴β=2kπ+π-α(k∈Z).∴tan β=tan (2kπ+π-α)=tan
(π-α)=-tan α=-2.
-2 
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14. 已知 sin (α+β)=1,试求tan(2α+β)+tan β的值.
解:因为 sin (α+β)=1,所以α+β=2kπ+ (k∈Z),
所以α=2kπ+ -β(k∈Z).故tan(2α+β)+tan β
=tan +tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+
tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-
tan β+tan β=0.
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15. (多选)下列说法中正确的有(  )
A. 正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零
C. tan(-945°)=-1
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解析: 正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负,故A错
误;若tan α≥0,则kπ≤α< +kπ(k∈Z),故B错误;tan
(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan
225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1,故C正确;因
为tan α, 的符号相同,所以 =|tan α|+
,故D正确.
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16. 已知①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan(
-α)= ;③3 sin α+4 cos α=0.在这三个条件中任选一个,
求 的值.
注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.
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解:
= .
选①:由题意得,tan α= =- ,
∴原式= = =- .
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选②:由tan( -α)= = ,
得tan α= ,
∴原式= = =- .
选③:由3 sin α+4 cos α=0,得tan α=- ,
∴原式= = = .
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