资源简介 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式1.若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则的值是( )A. B.-C.- D.2.tan(-1 560°)=( )A.- B.C.- D.3.已知a=sin,b=tan,c=log4,则( )A.a>b>c B.b>a>cC.b>c>a D.a>c>b4.已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是( )A.- B.-C.± D.±5.cos2x=( )A.tan x B.sin xC.cos x D.6.(多选)下列各函数值,其中符号为正的是( )A.sin(- 1 000°) B.cos(-2 200°)C.tan(-10°) D.7.若角α的终边经过点P(5,-12),则sin α= ,cos α= ,tan α= .8.tan= .9.tan 405°-sin 450°+cos 750°= .10.已知tan (3π+α)=2,求的值.11.已知角α的终边过点(m,-2),若tan(π+α)=,则m=( )A. B.-10C.10 D.-12.已知tan (π-α)=-,则=( )A. B.C. D.113.已知cos(α+β)=-1,且tan α=2,则tan β= .14.已知sin(α+β)=1,试求tan(2α+β)+tan β的值.15.(多选)下列说法中正确的有( )A.正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零B.若tan α≥0,则kπ≤α≤+kπ(k∈Z)C.tan(-945°)=-1D.对任意角α,都有|tan α+|=|tan α|+16.已知①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan(-α)=;③3sin α+4cos α=0.在这三个条件中任选一个,求的值.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的诱导公式1.C 依题意得=tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=-,∴=-,故选C.2.D tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°=.故选D.3.B 因为<<<<,所以<sin<1,tan>1,又log4=,所以b>a>c.故选B.4.A 因为角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),所以tan α=,所以tan(180°-α)=-tan α=-.5.D (tan x+)cos2x=(+)cos2x==.6.ABD sin(-1 000°)=sin(-3×360°+80°)=sin 80°>0;cos(-2 200°)=cos 2 200°=cos(6×360°+40°)=cos 40°>0;tan(-10°)=-tan 10°<0;sin >0,cos π=-1<0,tan =tan <0,故>0.7.- - 解析:因为x=5,y=-12,所以r==13,则sin α==-,cos α==,tan α==-.8. 解析:tan=-tan=-tan=-tan =tan =.9. 解析:tan 405°-sin 450°+cos 750°=tan(360°+45°)-sin(360°+90°)+cos(720°+30°)=tan 45°-sin 90°+cos 30°=1-1+=.10.解:因为tan(3π+α)=tan α=2,所以原式=====2.11.B 因为tan(π+α)=tan α=,角α的终边过点(m,-2),得tan α==,解得m=-10.故选B.12.B 由tan (π-α)=-得,tan α=.∴===.13.-2 解析:由cos(α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),∴β=2kπ+π-α(k∈Z).∴tan β=tan (2kπ+π-α)=tan (π-α)=-tan α=-2.14.解:因为sin(α+β)=1,所以α+β=2kπ+(k∈Z),所以α=2kπ+-β(k∈Z).故tan(2α+β)+tan β=tan+tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.15.CD 正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负,故A错误;若tan α≥0,则kπ≤α<+kπ(k∈Z),故B错误;tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan 225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1,故C正确;因为tan α,的符号相同,所以=|tan α|+,故D正确.16.解:=.选①:由题意得,tan α==-,∴原式===-.选②:由tan(-α)==,得tan α=,∴原式===-.选③:由3sin α+4cos α=0,得tan α=-,∴原式===1 / 27.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式新课程标准解读 核心素养1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值 数学抽象、数学运算2.理解并熟记正切函数的诱导公式 逻辑推理3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题 逻辑推理、数学运算 在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究.【问题】 那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是怎样的呢? 知识点一 正切函数的定义1.定义:根据函数的定义,比值是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为 .2.结论:若角α的终边上任取一点Q(x0,y0)(x0≠0),则tan α= .3.正切值在各象限中的符号由正切函数的定义知:当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为 ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为 .提醒 (1)若x=+kπ(k∈Z),则角x的终边落在y轴上,此时cos x=0,比值无意义,因此正切函数的定义域为;(2)三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.知识点二 正切函数的诱导公式 tan(x+kπ)= (k∈Z);tan (-x)= ;tan(π-x)=-tan x;tan=-;tan=.其中的x是使等式两边都有意义的任意实数.提醒 (1)正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”;(2)利用诱导公式求任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为上的正切函数再求值”,即由未知转化为已知的化归思想;(3)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)tan=tan α当且仅当k=2时成立.( )(2)tan(π-α)=-tan α.( )2.已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则tan α的值为( )A.- B.- C.- D.-3.已知点P(2,3)是角α终边上一点,则tan(π+α)= .题型一 正切函数定义的应用【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求tan α的值.尝试解答通性通法利用正切函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值sin α=,余弦值cos α=,正切值tan α=;(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【跟踪训练】 若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0,cos α=,则tan α=( )A.- B. C. D.-题型二 利用正切函数诱导公式求值【例2】 求下列各式的值:(1)tan ;(2)tan 10°+tan 170°+sin 1 866°-sin(-606°).尝试解答通性通法利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法(1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值,即“给角求值”,关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值,通常是特殊角的正切函数值;(2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.【跟踪训练】计算:tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°).题型三 利用正切函数的诱导公式化简与证明【例3】 求证:=-tan α.尝试解答通性通法用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少;(2)“大化小”,角尽可能化小.【跟踪训练】化简:. 1.tan 660°的值为( )A.- B.C.- D.2.下列各式成立的是( )A.tan(π+α)=-tan αB.tan(π-α)=tan αC.tan(-α)=-tan αD.tan(2π-α)=tan α3.若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α=( )A.- B.C.- D.4.已知tan(π-x)=,则tan(x-3π)= .7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的诱导公式【基础知识·重落实】知识点一1. 2. 3.正 负知识点二tan x -tan x自我诊断1.(1)× (2)√2.A tan α==-.3. 解析:由题意知tan α==,∴tan(π+α)=tan α=.【典型例题·精研析】【例1】 解:r==5|a|,若a>0,r=5a,角α在第二象限,sin α===,cos α===-,tan α===-;若a<0,r=-5a,角α在第四象限,sin α=-,cos α=,tan α=-.跟踪训练 D cos α==,解得y=±4,又y<0,所以y=-4,故tan α=-.【例2】 解:(1)tan =-tan=-tan =-tan=tan =.(2)原式=tan 10°+tan (180°-10°)+sin 1 866°-sin(-606°)=tan 10°-tan 10°+sin(5×360°+66°)-sin [(-2)×360°+114°]=sin 66°-sin(180°-66°)=sin 66°-sin 66°=0.跟踪训练 解:原式=tan(-5×180°+30°)·tan(5×180°+30°)+tan(-8×180°+60°)·tan(-4×180°+30°)=tan 30°·tan 30°+tan 60°·tan 30°=()2+×=+1=.【例3】 证明:左边====-tan α=右边.故原式得证.跟踪训练 解:原式===.随堂检测1.C tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan 60°=-.2.C tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tan α.故选C.3.C 因为角α的终边经过点P(-2,3),所以tan α==-.故选C.4.- 解析:由tan(π-x)=知,tan x=-,故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=-.3 / 3(共47张PPT)7.1 正切函数的定义7.2 正切函数的诱导公式新课程标准解读 核心素养1.理解正切函数的定义,会用正切函数的定义求正切值 数学抽象、数学运算2.理解并熟记正切函数的诱导公式 逻辑推理3.能运用正切函数的诱导公式解决求值、化简、比较大小等问题 逻辑推理、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 在初中阶段,我们就已经知道,在一个直角三角形中,我们将一个角的正弦、余弦和正切分别定义为对边与斜边的比、邻边与斜边的比和对边与邻边的比.在前面的课程中,我们又讨论了正弦和余弦问题,给出了正弦函数和余弦函数的定义,同时也对正弦函数和余弦函数的诱导公式进行了深入探究.【问题】 那么正切函数是如何定义的呢?正切函数的诱导公式又是怎样的呢? 知识点一 正切函数的定义1. 定义:根据函数的定义,比值 是x的函数,称为x的正切函数,记作y=tan x,其中定义域为 . 由正切函数的定义知:当角α的终边在第一和第三象限时,正切值为 ;当角α的终边在第二和第四象限时,正切值为 .提醒 (1)若x= +kπ(k∈Z),则角x的终边落在y轴上,此时 cos x=0,比值 无意义,因此正切函数的定义域为;(2)三角函数值的符号变化规律可概括为“一全正,二正弦,三正切,四余弦”,即第一象限各三角函数值均为正,第二象限只有正弦值为正,第三象限只有正切值为正,第四象限只有余弦值为正.正 负 3. 正切值在各象限中的符号知识点二 正切函数的诱导公式tan(x+kπ)= (k∈Z);tan (-x)= ;tan(π-x)=-tan x;tan =- ;tan = .其中的x是使等式两边都有意义的任意实数.tan x -tan x 提醒 (1)正切函数的诱导公式可以用与正、余弦函数诱导公式一样的方法记忆,即“奇变偶不变,符号看象限”;(2)利用诱导公式求任意实数x的正切函数值的步骤与求任意实数x的正弦函数值、余弦函数值的步骤相同,都是依据“负化正,大化小,化为上的正切函数再求值”,即由未知转化为已知的化归思想;(3)诱导公式用角度制和弧度制表示都可,运用时应注意函数名称是否要改变以及正负号的选取.1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)tan =tan α当且仅当k=2时成立. ( × )(2)tan(π-α)=-tan α. ( √ )×√2. 已知角α的顶点在原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边过点,则tan α的值为( )解析: tan α= =- .3. 已知点P(2,3)是角α终边上一点,则tan(π+α)= .解析:由题意知tan α= = ,∴tan(π+α)=tan α= . 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 正切函数定义的应用【例1】 已知角α的终边经过点P(-4a,3a)(a≠0),求tanα的值.解:r= =5|a|,若a>0,r=5a,角α在第二象限,sin α= = = , cos α= = =- ,tan α= = =- ;若a<0,r=-5a,角α在第四象限,sin α=- , cos α= ,tan α=- .通性通法利用正切函数的定义求值的策略(1)已知角α的终边在直线上求α的正切函数值时,常用的解题方法有以下两种:①先利用直线与单位圆相交,求出交点坐标,然后利用正切函数的定义求出相应的正切函数值;②注意到角的终边为射线,所以应分两种情况来处理,取射线上任一点坐标(a,b),则对应角的正弦值 sin α= ,余弦值 cos α= ,正切值tan α= .(2)当角的终边上的点的坐标以参数的形式给出时,要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论.【跟踪训练】若点P(3,y)是角α终边上的一点,且满足y<0, cos α= ,则tan α=( )解析: cos α= = ,解得y=±4,又y<0,所以y=-4,故tan α=- .题型二 利用正切函数诱导公式求值【例2】 求下列各式的值:(1)tan ;解:tan =-tan=-tan =-tan=tan = .(2)tan 10°+tan 170°+ sin 1 866°- sin (-606°).解:原式=tan 10°+tan (180°-10°)+ sin 1 866°- sin (-606°)=tan 10°-tan 10°+ sin (5×360°+66°)- sin [(-2)×360°+114°]= sin 66°- sin(180°-66°)= sin 66°- sin 66°=0.通性通法利用正切函数的诱导公式求值问题的处理方法(1)正切函数的诱导公式通常结合已知实数x求值,即“给角求值”,关键是利用诱导公式将任意实数x的正切函数值转化为上的正切函数值,通常是特殊角的正切函数值;(2)“给值求值”时,要注意分析已知角与未知角之间的内在关系,选择恰当的诱导公式求值.【跟踪训练】计算:tan(-870°)·tan 930°+tan(-1 380°)·tan(-690°).解:原式=tan(-5×180°+30°)·tan(5×180°+30°)+tan(-8×180°+60°)·tan(-4×180°+30°)=tan 30°·tan 30°+tan 60°·tan 30°=( )2+ × = +1= .题型三 利用正切函数的诱导公式化简与证明【例3】 求证: =-tan α.证明:左边= = ==-tan α=右边.故原式得证.通性通法用正切函数诱导公式化简、证明的总体原则(1)“切化弦”,函数名称尽可能化少;(2)“大化小”,角尽可能化小.【跟踪训练】化简: .解:原式= = = .1. tan 660°的值为( )解析: tan 660°=tan(180°×3+120°)=tan 120°=-tan60°=- .2. 下列各式成立的是( )A. tan(π+α)=-tan α B. tan(π-α)=tan αC. tan(-α)=-tan α D. tan(2π-α)=tan α解析: tan(π+α)=tan α;tan(π-α)=-tan α;tan(-α)=-tan α;tan(2π-α)=tan(-α)=-tanα.故选C.3. 若角α的终边经过点P(-2,3),则tan α=( )解析: 因为角α的终边经过点P(-2,3),所以tan α= =- .故选C.4. 已知tan(π-x)= ,则tan(x-3π)= - .解析:由tan(π-x)= 知,tan x=- ,故tan(x-3π)=-tan(3π-x)=tan x=- .- 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 若点P(x,y)是330°角终边上异于原点的任意一点,则 的值是( )解析: 依题意得 =tan 330°,又tan 330°=tan(360°-30°)=-tan 30°=- ,∴ =- ,故选C.123456789101112131415162. tan(-1 560°)=( )解析: tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°= .故选D.123456789101112131415163. 已知a= sin ,b=tan ,c=log4 ,则( )A. a>b>c B. b>a>cC. b>c>a D. a>c>b解析: 因为 < < < < ,所以 < sin <1,tan >1,又log4 = ,所以b>a>c.故选B.123456789101112131415164. 已知角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),则tan(180°-α)的值是( )解析: 因为角α终边上有一点P(5n,4n)(n≠0),所以tan α= ,所以tan(180°-α)=-tan α=- .123456789101112131415165. cos 2x=( )A. tan x B. sin xC. cos x解析: (tan x+ ) cos 2x=( + ) cos 2x== .123456789101112131415166. (多选)下列各函数值,其中符号为正的是( )A. sin (- 1 000°) B. cos (-2 200°)C. tan(-10°)解析: sin (-1 000°)= sin (-3×360°+80°)=sin 80°>0; cos (-2 200°)= cos 2 200°= cos (6×360°+40°)= cos 40°>0;tan(-10°)=-tan 10°<0; sin >0, cos π=-1<0,tan =tan <0,故 >0.123456789101112131415167. 若角α的终边经过点P(5,-12),则 sin α= , cos α= ,tan α= - .解析:因为x=5,y=-12,所以r= =13,则 sinα= =- , cos α= = ,tan α= =- .- - 123456789101112131415168. tan = .解析:tan =-tan =-tan =-tan =tan =. 123456789101112131415169. tan 405°- sin 450°+ cos 750°= .解析:tan 405°- sin 450°+ cos 750°=tan(360°+45°)-sin (360°+90°)+ cos (720°+30°)=tan 45°- sin 90°+ cos 30°=1-1+ = . 1234567891011121314151610. 已知tan (3π+α)=2,求 的值.解:因为tan(3π+α)=tan α=2,所以原式== = = =2.1234567891011121314151611. 已知角α的终边过点(m,-2),若tan(π+α)= ,则m=( )B. -10 C. 10解析: 因为tan(π+α)=tan α= ,角α的终边过点(m,-2),得tan α= = ,解得m=-10.故选B.1234567891011121314151612. 已知tan (π-α)=- ,则 =( )D. 1解析: 由tan (π-α)=- 得,tan α= .∴ == = .1234567891011121314151613. 已知 cos (α+β)=-1,且tan α=2,则tan β= .解析:由 cos (α+β)=-1,知α+β=2kπ+π(k∈Z),∴β=2kπ+π-α(k∈Z).∴tan β=tan (2kπ+π-α)=tan(π-α)=-tan α=-2.-2 1234567891011121314151614. 已知 sin (α+β)=1,试求tan(2α+β)+tan β的值.解:因为 sin (α+β)=1,所以α+β=2kπ+ (k∈Z),所以α=2kπ+ -β(k∈Z).故tan(2α+β)+tan β=tan +tan β=tan(4kπ+π-2β+β)+tan β=tan(4kπ+π-β)+tan β=tan(π-β)+tan β=-tan β+tan β=0.1234567891011121314151615. (多选)下列说法中正确的有( )A. 正角的正弦值是正的,负角的余弦值是负的,零角的正切值是零C. tan(-945°)=-112345678910111213141516解析: 正角和负角的正弦值和余弦值都可正、可负,故A错误;若tan α≥0,则kπ≤α< +kπ(k∈Z),故B错误;tan(-945°)=-tan 945°=-tan(225°+2×360°)=-tan225°=-tan(180°+45°)=-tan 45°=-1,故C正确;因为tan α, 的符号相同,所以 =|tan α|+,故D正确.1234567891011121314151616. 已知①角α的终边经过点P(4m,-3m)(m≠0);②tan(-α)= ;③3 sin α+4 cos α=0.在这三个条件中任选一个,求 的值.注:如果选择多个条件分别解答,则按第一个解答计分.12345678910111213141516解:= .选①:由题意得,tan α= =- ,∴原式= = =- .12345678910111213141516选②:由tan( -α)= = ,得tan α= ,∴原式= = =- .选③:由3 sin α+4 cos α=0,得tan α=- ,∴原式= = = .12345678910111213141516谢 谢 观 看! 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式(练习,含解析).docx 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式.docx 7.1 正切函数的定义 7.2 正切函数的诱导公式.pptx