资源简介 7.3 正切函数的图象与性质1.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|,在x∈内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是( )A.①②③④ B.①③④②C.③②④① D.①②④③2.函数f(x)=|tan 2x|是( )A.周期为π的奇函数B.周期为π的偶函数C.周期为的奇函数D.周期为的偶函数3.函数f(x)=tan的单调递增区间是( )A.,k∈ZB.(kπ,kπ+π),k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z4.函数y=tan的一个对称中心是( )A.(0,0) B.C. D.(π,0)5.(多选)函数y=tan的性质有( )A.在上单调递增B.为奇函数C.以π为最小正周期D.定义域为6.(多选)与函数y=tan的图象不相交的直线是( )A.x= B.x=-C.x= D.x=-7.已知函数f(x)=tan x+,若f(a)=5,则f(-a)= .8.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f= .9.比较大小:tan 211° tan 392°.10.设函数f(x)=tan.(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.11.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为( )12.(多选)关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法,其中正确的是( )A.对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数B.f(x)的图象关于对称C.f(x)的图象关于(π-φ,0)对称D.f(x)是以π为最小正周期的周期函数13.当x∈时,k+tan的值总不大于零,则实数k的取值范围是 .14.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.15.已知函数f(x)=2tan ωx,ω>0,若f(x)在区间[0,]上的最大值是2,则ω= ;若f(x)在区间[0,]上单调递增,则ω的取值范围是 .16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.7.3 正切函数的图象与性质1.D y=tan(-x)=-tan x在上是单调递减的,只有图象d符合,即d对应③.故选D.2.D f(-x)=|tan (-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T=.3.C 由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间是,k∈Z.4.C 令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.令k=2,可得函数的一个对称中心为.5.AB 令x∈,则∈,所以y=tan 在上单调递增,所以A正确;tan=-tan ,故y=tan 为奇函数,所以B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得函数的定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.6.AD 令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以直线x=+,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,所以令k=-1,x=-;k=0,x=.7.-5 解析:易知函数f(x)为奇函数,故f(a)+f(-a)=0,则f(-a)=-f(a)=-5.8.0 解析:由题意,可知T=,所以ω==4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan π=0.9.< 解析:tan 211°=tan (180°+31°)=tan 31°.tan 392°=tan (360°+32°)=tan 32°,因为tan 31°<tan 32°,所以tan 211°<tan 392°.10.解:(1)∵ω=,∴最小正周期T===2π.令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),∴f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).(2)令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示.11.C ∵f(-x)=2(-x)-tan (-x)=-2x+tan x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A、B.又∵f=2×-tan =->0,∴排除D,选C.12.BCD 若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,故A错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于(k∈Z)对称,令x+φ=得x=-φ,分别令k=1,2知B、C正确,D显然正确.13.(-∞,0] 解析:∵x∈,∴0≤2x-≤,∴0≤tan≤.∵对任意的x∈,都有tan≥k,∴≥k,∴k≤0.14.解:(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-.∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,∴当x=时,f(x)min=-;当x=-1时,f(x)max=.(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,即tan θ≤-或tan θ≥1,∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,故θ的取值范围是(-+kπ,-+kπ]∪,k∈Z.15.1 (0,) 解析:因为x∈[0,],且在此区间上的最大值是2,所以0≤ωx≤<.因为f(x)max=2tan=2,所以tan=,即ω=1.由kπ-<ωx<kπ+,k∈Z,得-<x<+,k∈Z,令k=0,得-<x<,即f(x)在区间(-,)上单调递增.又因为f(x)在区间[0,]上单调递增,所以<,即0<ω<.所以ω的取值范围是(0,).16.解:y=tan=tan,因为y=tan x在区间(k∈Z)上单调递增,所以a<0,又x∈,所以-ax∈,所以-ax∈,所以解得--≤a≤6-8k(k∈Z).由--=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.所以a=-2<0,所以存在a=-2∈Z,满足题意.2 / 27.3 正切函数的图象与性质新课程标准解读 核心素养1.能够正确画出正切函数的图象 数学抽象2.会通过正切函数的图象研究其性质 逻辑推理3.能运用正切函数图象与性质解决问题 数学运算 正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.【问题】 你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函数的图象和性质吗? 知识点 正切函数的图象与性质1.正切函数的图象(1)正切函数y=tan x的图象:(2)正切函数的图象称作 ;(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.2.正切函数的性质函数 y=tan x定义域 值域 奇偶性 函数单调性 单调递增区间: ; 单调递减区间: 周期性 周期是kπ,k∈Z,k≠0,最小正周期是 对称 中心 (k∈Z)提醒 (1)正切函数在定义域上不具备单调性,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,无单调递减区间,没有最大值和最小值;(2)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指,(0,0),,“两线”是指x=-和x=,大致画出正切函数在上的简图后向左、右平移即得正切曲线.1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )(2)正切函数在R上是增函数.( )(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.( )(4)正切函数的最小正周期为π.( )2.函数y=tan x的对称中心坐标可统一表示为( )A.(kπ,0)(k∈Z) B.(k∈Z)C.(k∈Z) D.(2kπ,0)(k∈Z)3.函数y=tan x,x∈的值域是 .题型一 正切函数的定义域及值域【例1】 (1)函数y=3tan的定义域为 ;(2)函数y=tan2x-2tan x的值域为 .尝试解答通性通法1.求与正切函数有关的函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解;(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.2.求与正切函数有关的函数值域的方法(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.【跟踪训练】1.函数y=的定义域为 .2.函数y=3tan(π+x),-<x≤的值域为 .题型二 正切函数的图象及应用【例2】 解不等式tan x≥-1.尝试解答通性通法利用正切函数图象解不等式问题的方法 解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.【跟踪训练】 (1)求满足-<tan x≤1的x的集合;(2)求不等式tan≥-1的解集.题型三 正切函数的单调性及应用【例3】 (1)比较大小:tan和tan;(2)求函数y=tan的单调区间.尝试解答通性通法1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范围即可;(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2.运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内;(2)运用正切函数单调性比较大小关系.【跟踪训练】 (1)比较tan与tan的大小;(2)求函数y=3tan的单调区间.题型四 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例4】 (1)若f(x)=tan ωx(ω>0)的周期为1,则f的值为( )A.- B.- C. D.(2)函数f(x)=的奇偶性是( )A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,也不是偶函数尝试解答通性通法正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=,常常利用此公式来求周期;(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.【跟踪训练】1.已知函数f(x)=3tan(ω>0)的最小正周期为,则正数ω=( )A.4 B.3C.2 D.12.判断函数f(x)=lg的奇偶性.1.当x∈时,函数y=tan|x|的图象( )A.关于原点对称 B.关于y轴对称C.关于x轴对称 D.无法确定2.函数y=tan x(-≤x≤)的值域是( )A.[-1,1]B.(-∞,-1]∪[1,+∞)C.(-∞,1]D.[-1,+∞)3.函数y=3tan的最小正周期是( )A. B.C.π D.34.函数y=tan的定义域为( )A.B.C.D.5.若函数y=tan ωx在内单调递减,则ω的取值范围为 .7.3 正切函数的图象与性质【基础知识·重落实】知识点1.(2)正切曲线 (3)x=+kπ(k∈Z) 2.{x∈R|x≠+kπ,k∈Z} R 奇 (k∈Z) 无 π自我诊断1.(1)× (2)× (3)√ (4)√2.C y=tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y=tan x无意义的点都是对称中心.3.[0,1] 解析:函数y=tan x在上单调递增,所以ymax=tan =1,ymin=tan 0=0.【典型例题·精研析】【例1】 (1)(2)[-1,3+2]解析:(1)由-≠+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z,即函数的定义域为.(2)令u=tan x,∵|x|≤,∴由正切函数的图象知u∈[-,],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2,∴原函数的值域为[-1,3+2].跟踪训练1.解析:依题意有tan x-1≠0,所以tan x≠1.所以x≠kπ+,k∈Z.又x≠kπ+,k∈Z,故函数定义域为x|x≠kπ+,且x≠kπ+,k∈Z.2.(-3,] 解析:函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在上单调递增,所以-3<y≤,所以值域为(-3,].【例2】 解:作出y=tan x一个周期的图象,如图所示.令y=-1,得x=-,所以在中满足不等式tan x≥-1的x的取值范围为.由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为(k∈Z).跟踪训练 解:(1)根据正切函数的图象可知,在上,满足-<tan x≤1的x的取值范围是,而正切函数的周期是kπ,k∈Z.故满足-<tan x≤1的x的集合是{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}.(2)由正切函数的图象,可知-+kπ≤2x+<+kπ,k∈Z,解得-+≤x<+,k∈Z,所以原不等式的解集为{x|-+≤x<+,k∈Z}.【例3】 解:(1)∵tan=-tan=tan ,tan=-tan=tan .又0<<<,y=tan x在内单调递增,∴tan <tan ,即tan>tan.(2)y=tan=-tan,由kπ-<x-<kπ+(k∈Z),得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),∴函数y=tan的单调递减区间是(k∈Z),无单调递增区间.跟踪训练 解:(1)tan=tan=-tan,tan=tan=-tan.因为0<<<,且y=tan x在区间上单调递增,所以tan>tan,所以-tan<-tan,即tan<tan.(2)y=3tan=-3tan,由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得-+<x<+(k∈Z),所以函数y=3tan的单调递减区间为(k∈Z),无单调递增区间.【例4】 (1)D (2)A 解析:(1)依题意T==1,ω=π,所以f(x)=tan πx.所以f=tan =.故选D.(2)要使函数f(x)有意义 ,必须满足即x≠kπ+,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=是奇函数.跟踪训练1.C 因为ω>0,所以T==,所以ω=2,故选C.2.解:由>0,得tan x>1或tan x<-1,∴函数f(x)的定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z),关于原点对称.又f(-x)+f(x)=lg+lg=lg(·)=lg 1=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.随堂检测1.B 函数y=tan|x|,x∈是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B.2.A 函数y=tan x在区间[-,]上单调递增,且tan(-)=-1,tan=1,即值域为[-1,1].故选A.3.A 由解析式及正切函数的性质,最小正周期T=.故选A.4.A 由x-≠+kπ(k∈Z) x≠+kπ(k∈Z).故选A.5.[-1,0) 解析:由题意知其周期T≥π,即≥π.∴|ω|≤1,又函数单调递减,∴ω<0.故-1≤ω<0.4 / 4(共66张PPT)7.3 正切函数的图象与性质新课程标准解读 核心素养1.能够正确画出正切函数的图象 数学抽象2.会通过正切函数的图象研究其性质 逻辑推理3.能运用正切函数图象与性质解决问题 数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理 正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.【问题】 你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函数的图象和性质吗? 知识点 正切函数的图象与性质1. 正切函数的图象(1)正切函数y=tan x的图象:(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线 所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.(2)正切函数的图象称作 ;正切曲线 x= +kπ(k∈Z) 2. 正切函数的性质函数 y=tan x定义域 值域 奇偶性 函数单调性 单调递增区间: ;单调递减区间: 周期性 周期是kπ,k∈Z,k≠0,最小正周期是 对称中心{x∈R|x≠ +kπ,k∈Z}R奇 (k∈Z) 无 π 提醒 (1)正切函数在定义域上不具备单调性,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,无单调递减区间,没有最大值和最小值;(2)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指 ,(0,0), ,“两线”是指x=- 和x= ,大致画出正切函数在 上的简图后向左、右平移即得正切曲线.1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( × )(2)正切函数在R上是增函数. ( × )(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. ( √ )(4)正切函数的最小正周期为π. ( √ )××√√2. 函数y=tan x的对称中心坐标可统一表示为( )A. (kπ,0)(k∈Z)D. (2kπ,0)(k∈Z)解析: y=tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y=tan x无意义的点都是对称中心.3. 函数y=tan x,x∈ 的值域是 .解析:函数y=tan x在 上单调递增,所以ymax=tan =1,ymin=tan 0=0.[0,1] 典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 正切函数的定义域及值域【例1】 (1)函数y=3tan 的定义域为 ;解析:由 - ≠ +kπ,k∈Z,得x≠- -4kπ,k∈Z,即函数的定义域为 .(2)函数y=tan2x-2tan x 的值域为 .解析:令u=tan x,∵|x|≤ ,∴由正切函数的图象知u∈[- , ],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[- ,],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2 ,∴原函数的值域为[-1,3+2 ].[-1,3+2 ] 通性通法1. 求与正切函数有关的函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +kπ,k∈Z. 而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解;(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+ ,k∈Z,解得x.2. 求与正切函数有关的函数值域的方法(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.【跟踪训练】1. 函数y= 的定义域为 .解析:依题意有tan x-1≠0,所以tan x≠1.所以x≠kπ+ ,k∈Z. 又x≠kπ+ ,k∈Z,故函数定义域为 .2. 函数y=3tan(π+x),- <x≤ 的值域为 .解析:函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在上单调递增,所以-3<y≤ ,所以值域为(-3, ].(-3, ] 题型二 正切函数的图象及应用【例2】 解不等式tan x≥-1.解:作出y=tan x一个周期的图象,如图所示.令y=-1,得x=- ,所以在 中满足不等式tan x≥-1的x的取值范围为 .由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为(k∈Z).通性通法利用正切函数图象解不等式问题的方法 解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.【跟踪训练】 (1)求满足- <tan x≤1的x的集合;解:根据正切函数的图象可知,在 上,满足- <tan x≤1的x的取值范围是 ,而正切函数的周期是kπ,k∈Z.故满足- <tan x≤1的x的集合是{x|kπ- <x≤kπ+ ,k∈Z}.(2)求不等式tan ≥-1的解集.解:由正切函数的图象,可知- +kπ≤2x+ < +kπ,k∈Z,解得- + ≤x< + ,k∈Z,所以原不等式的解集为{x|- + ≤x< + ,k∈Z}.题型三 正切函数的单调性及应用【例3】 (1)比较大小:tan 和tan ;解:∵tan =-tan =tan ,tan =-tan =tan .又0< < < ,y=tan x在 内单调递增,∴tan <tan ,即tan >tan .(2)求函数y=tan 的单调区间.解:y=tan =-tan ,由kπ- < x- <kπ+ (k∈Z),得2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z),∴函数y=tan 的单调递减区间是(k∈Z),无单调递增区间.通性通法1. 求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范围即可;(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.2. 运用正切函数单调性比较大小的方法(1)运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内;(2)运用正切函数单调性比较大小关系.【跟踪训练】 (1)比较tan 与tan 的大小;解:tan =tan =-tan ,tan =tan =-tan .因为0< < < ,且y=tan x在区间 上单调递增,所以tan >tan ,所以-tan <-tan ,即tan <tan .(2)求函数y=3tan 的单调区间.解:y=3tan =-3tan ,由- +kπ<2x- < +kπ(k∈Z),得- + <x<+ (k∈Z),所以函数y=3tan 的单调递减区间为(k∈Z),无单调递增区间.题型四 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题【例4】 (1)若f(x)=tan ωx(ω>0)的周期为1,则f 的值为( )解析:依题意T= =1,ω=π,所以f(x)=tan πx.所以f =tan = .故选D.(2)函数f(x)= 的奇偶性是( )A. 奇函数B. 偶函数C. 既是奇函数,又是偶函数D. 既不是奇函数,也不是偶函数解析:要使函数f(x)有意义 ,必须满足即x≠kπ+ ,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)= =- =-f(x),所以f(x)= 是奇函数.通性通法正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T= ,常常利用此公式来求周期;(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.【跟踪训练】1. 已知函数f(x)=3tan (ω>0)的最小正周期为 ,则正数ω=( )A. 4 B. 3 C. 2 D. 1解析: 因为ω>0,所以T= = ,所以ω=2,故选C.2. 判断函数f(x)=lg 的奇偶性.解:由 >0,得tan x>1或tan x<-1,∴函数f(x)的定义域为(kπ- ,kπ- )∪(kπ+ ,kπ+)(k∈Z),关于原点对称.又f(-x)+f(x)=lg +lg=lg( · )=lg 1=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.1. 当x∈ 时,函数y=tan|x|的图象( )A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称C. 关于x轴对称 D. 无法确定解析: 函数y=tan|x|,x∈ 是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B.2. 函数y=tan x(- ≤x≤ )的值域是( )A. [-1,1] B. (-∞,-1]∪[1,+∞)C. (-∞,1] D. [-1,+∞)解析: 函数y=tan x在区间[- , ]上单调递增,且tan(- )=-1,tan =1,即值域为[-1,1].故选A.3. 函数y=3tan 的最小正周期是( )C. π D. 3解析: 由解析式及正切函数的性质,最小正周期T= .故选A.4. 函数y=tan 的定义域为( )解析:由x- ≠ +kπ(k∈Z) x≠ +kπ(k∈Z).故选A.5. 若函数y=tan ωx在 内单调递减,则ω的取值范围为 .解析:由题意知其周期T≥π,即 ≥π.∴|ω|≤1,又函数单调递减,∴ω<0.故-1≤ω<0.[-1,0) 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|,在x∈ 内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是( )A. ①②③④ B. ①③④②C. ③②④① D. ①②④③12345678910111213141516解析: y=tan(-x)=-tan x在 上是单调递减的,只有图象d符合,即d对应③.故选D.2. 函数f(x)=|tan 2x|是( )A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数解析: f(-x)=|tan (-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T= .123456789101112131415163. 函数f(x)=tan 的单调递增区间是( )B. (kπ,kπ+π),k∈Z12345678910111213141516解析: 由- +kπ<x+ < +kπ,k∈Z,得- +kπ<x< +kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间是 ,k∈Z.123456789101112131415164. 函数y=tan 的一个对称中心是( )A. (0,0)D. (π,0)解析: 令x+ = ,k∈Z,得x= - ,k∈Z,所以函数y=tan 的对称中心是 ,k∈Z. 令k=2,可得函数的一个对称中心为 .123456789101112131415165. (多选)函数y=tan 的性质有( )B. 为奇函数C. 以π为最小正周期12345678910111213141516解析: 令x∈ ,则 ∈ ,所以y=tan 在上单调递增,所以A正确;tan =-tan ,故y=tan 为奇函数,所以B正确;T= =2π,所以C不正确;由≠ +kπ,k∈Z,得函数的定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.123456789101112131415166. (多选)与函数y=tan 的图象不相交的直线是( )解析: 令2x- = +kπ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,所以直线x= + ,k∈Z与函数y=tan 的图象不相交,所以令k=-1,x=- ;k=0,x= .123456789101112131415167. 已知函数f(x)=tan x+ ,若f(a)=5,则f(-a)= .解析:易知函数f(x)为奇函数,故f(a)+f(-a)=0,则f(-a)=-f(a)=-5.-5 123456789101112131415168. 已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为 ,则f = .解析:由题意,可知T= ,所以ω= =4,即f(x)=tan 4x,所以f =tan π=0.0 123456789101112131415169. 比较大小:tan 211° tan 392°.解析:tan 211°=tan (180°+31°)=tan 31°.tan 392°=tan(360°+32°)=tan 32°,因为tan 31°<tan 32°,所以tan211°<tan 392°.< 1234567891011121314151610. 设函数f(x)=tan .(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;解:∵ω= ,∴最小正周期T= = =2π.令 - = (k∈Z),得x=kπ+ (k∈Z),∴f(x)的图象的对称中心是 (k∈Z).12345678910111213141516(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.解:令 - =0,得x= ;令 - = ,得x=;令 - =- ,得x=- .∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是 ,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=- ,x= ,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示.1234567891011121314151611. 函数f(x)=2x-tan x在 上的图象大致为( )解析: ∵f(-x)=2(-x)-tan (-x)=-2x+tan x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A、B. 又∵f =2× -tan = - >0,∴排除D,选C.1234567891011121314151612. (多选)关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法,其中正确的是( )A. 对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数C. f(x)的图象关于(π-φ,0)对称D. f(x)是以π为最小正周期的周期函数12345678910111213141516解析: 若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,故A错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于 (k∈Z)对称,令x+φ= 得x= -φ,分别令k=1,2知B、C正确,D显然正确.1234567891011121314151613. 当x∈ 时,k+tan 的值总不大于零,则实数k的取值范围是 .解析:∵x∈ ,∴0≤2x- ≤ ,∴0≤tan≤ .∵对任意的x∈ ,都有tan ≥k,∴ ≥k,∴k≤0.(-∞,0] 1234567891011121314151614. 已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠ +kπ,k∈Z.(1)当θ=- ,x∈[-1, ]时,求函数f(x)的最大值与最小值;解:当θ=- 时,f(x)=x2- x-1= - .∵x∈[-1, ],且f(x)的图象开口向上,∴当x= 时,f(x)min=- ;当x=-1时,f(x)max= .12345678910111213141516(2)若函数g(x)= 为奇函数,求θ的值;解:由题可知g(x)=x- +2tan θ,∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x- +2tan θ=4tan θ,∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.12345678910111213141516(3)求使y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数的θ的取值范围.解:函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.∵f(x)在区间[-1, ]上是单调函数,∴-tan θ≥ 或-tan θ≤-1,即tan θ≤- 或tan θ≥1,∴- +kπ<θ≤- +kπ或 +kπ≤θ< +kπ,k∈Z,故θ的取值范围是 ∪ ,k∈Z.1234567891011121314151615. 已知函数f(x)=2tan ωx,ω>0,若f(x)在区间[0, ]上的最大值是2 ,则ω= ;若f(x)在区间[0, ]上单调递增,则ω的取值范围是 .1 (0, ) 12345678910111213141516解析:因为x∈[0, ],且在此区间上的最大值是2 ,所以0≤ωx≤ < .因为f(x)max=2tan =2 ,所以tan =,即ω=1.由kπ- <ωx<kπ+ ,k∈Z,得 - <x<+ ,k∈Z,令k=0,得- <x< ,即f(x)在区间(- , )上单调递增.又因为f(x)在区间[0, ]上单调递增,所以 < ,即0<ω< .所以ω的取值范围是(0, ).1234567891011121314151616. 是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan 在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.解:y=tan =tan ,因为y=tan x在区间 (k∈Z)上单调递增,所以a<0,又x∈ ,所以-ax∈ ,12345678910111213141516所以 -ax∈ ,所以解得- - ≤a≤6-8k(k∈Z).由- - =6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.所以a=-2<0,所以存在a=-2∈Z,满足题意.12345678910111213141516谢 谢 观 看! 展开更多...... 收起↑ 资源列表 7.3 正切函数的图象与性质.docx 7.3 正切函数的图象与性质.pptx 7.3 正切函数的图象与性质(练习,含解析).docx