第一章 7.3 正切函数的图象与性质(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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第一章 7.3 正切函数的图象与性质(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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7.3 正切函数的图象与性质
1.下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);④y=tan|x|,在x∈内的大致图象,那么由a到d对应的函数关系式应是(  )
A.①②③④       B.①③④②
C.③②④① D.①②④③
2.函数f(x)=|tan 2x|是(  )
A.周期为π的奇函数
B.周期为π的偶函数
C.周期为的奇函数
D.周期为的偶函数
3.函数f(x)=tan的单调递增区间是(  )
A.,k∈Z
B.(kπ,kπ+π),k∈Z
C.,k∈Z
D.,k∈Z
4.函数y=tan的一个对称中心是(  )
A.(0,0) B.
C. D.(π,0)
5.(多选)函数y=tan的性质有(  )
A.在上单调递增
B.为奇函数
C.以π为最小正周期
D.定义域为
6.(多选)与函数y=tan的图象不相交的直线是(  )
A.x= B.x=-
C.x= D.x=-
7.已知函数f(x)=tan x+,若f(a)=5,则f(-a)=    .
8.已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=所得线段长为,则f=    .
9.比较大小:tan 211°    tan 392°.
10.设函数f(x)=tan.
(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;
(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
11.函数f(x)=2x-tan x在上的图象大致为(  )
12.(多选)关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法,其中正确的是(  )
A.对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
B.f(x)的图象关于对称
C.f(x)的图象关于(π-φ,0)对称
D.f(x)是以π为最小正周期的周期函数
13.当x∈时,k+tan的值总不大于零,则实数k的取值范围是    .
14.已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠+kπ,k∈Z.
(1)当θ=-,x∈[-1,]时,求函数f(x)的最大值与最小值;
(2)若函数g(x)=为奇函数,求θ的值;
(3)求使y=f(x)在区间[-1,]上是单调函数的θ的取值范围.
15.已知函数f(x)=2tan ωx,ω>0,若f(x)在区间[0,]上的最大值是2,则ω=    ;若f(x)在区间[0,]上单调递增,则ω的取值范围是    .
16.是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan在区间上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,请说明理由.
7.3 正切函数的图象与性质
1.D y=tan(-x)=-tan x在上是单调递减的,只有图象d符合,即d对应③.故选D.
2.D f(-x)=|tan (-2x)|=|tan 2x|=f(x)为偶函数,T=.
3.C 由-+kπ<x+<+kπ,k∈Z,得-+kπ<x<+kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间是,k∈Z.
4.C 令x+=,k∈Z,得x=-,k∈Z,所以函数y=tan的对称中心是,k∈Z.令k=2,可得函数的一个对称中心为.
5.AB 令x∈,则∈,所以y=tan 在上单调递增,所以A正确;tan=-tan ,故y=tan 为奇函数,所以B正确;T==2π,所以C不正确;由≠+kπ,k∈Z,得函数的定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},所以D不正确.
6.AD 令2x-=+kπ,k∈Z,得x=+,k∈Z,所以直线x=+,k∈Z与函数y=tan的图象不相交,所以令k=-1,x=-;k=0,x=.
7.-5 解析:易知函数f(x)为奇函数,故f(a)+f(-a)=0,则f(-a)=-f(a)=-5.
8.0 解析:由题意,可知T=,所以ω==4,即f(x)=tan 4x,所以f=tan π=0.
9.< 解析:tan 211°=tan (180°+31°)=tan 31°.tan 392°=tan (360°+32°)=tan 32°,因为tan 31°<tan 32°,所以tan 211°<tan 392°.
10.解:(1)∵ω=,∴最小正周期T===2π.
令-=(k∈Z),得x=kπ+(k∈Z),
∴f(x)的图象的对称中心是(k∈Z).
(2)令-=0,得x=;令-=,得x=;令-=-,得x=-.
∴函数f(x)=tan的图象与x轴的一个交点坐标是,在这个交点左、右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=-,x=,从而得到函数y=f(x)在一个周期内的简图,如图所示.
11.C ∵f(-x)=2(-x)-tan (-x)=-2x+tan x=-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A、B.又∵f=2×-tan =->0,∴排除D,选C.
12.BCD 若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,故A错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于(k∈Z)对称,令x+φ=得x=-φ,分别令k=1,2知B、C正确,D显然正确.
13.(-∞,0] 解析:∵x∈,∴0≤2x-≤,∴0≤tan≤.
∵对任意的x∈,都有tan≥k,
∴≥k,∴k≤0.
14.解:(1)当θ=-时,f(x)=x2-x-1=-.
∵x∈[-1,],且f(x)的图象开口向上,
∴当x=时,f(x)min=-;
当x=-1时,f(x)max=.
(2)由题可知g(x)=x-+2tan θ,
∵g(x)为奇函数,
∴0=g(-x)+g(x)=-x++2tan θ+x-+2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,
∴θ=kπ,k∈Z.
(3)函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1,]上是单调函数,
∴-tan θ≥或-tan θ≤-1,
即tan θ≤-或tan θ≥1,
∴-+kπ<θ≤-+kπ或+kπ≤θ<+kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是(-+kπ,-+kπ]∪,k∈Z.
15.1 (0,) 解析:因为x∈[0,],且在此区间上的最大值是2,所以0≤ωx≤<.因为f(x)max=2tan=2,所以tan=,即ω=1.由kπ-<ωx<kπ+,k∈Z,得-<x<+,k∈Z,令k=0,得-<x<,即f(x)在区间(-,)上单调递增.又因为f(x)在区间[0,]上单调递增,所以<,即0<ω<.所以ω的取值范围是(0,).
16.解:y=tan=tan,
因为y=tan x在区间(k∈Z)上单调递增,所以a<0,又x∈,
所以-ax∈,
所以-ax∈,
所以
解得--≤a≤6-8k(k∈Z).
由--=6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.所以a=-2<0,
所以存在a=-2∈Z,满足题意.
2 / 27.3 正切函数的图象与性质
新课程标准解读 核心素养
1.能够正确画出正切函数的图象 数学抽象
2.会通过正切函数的图象研究其性质 逻辑推理
3.能运用正切函数图象与性质解决问题 数学运算
  正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.
【问题】 你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函数的图象和性质吗?
                      
                      
知识点 正切函数的图象与性质
1.正切函数的图象
(1)正切函数y=tan x的图象:
(2)正切函数的图象称作      ;
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线         所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直线称作正切曲线各支的渐近线.
2.正切函数的性质
函数 y=tan x
定义域          
值域   
奇偶性    函数
单调性 单调递增区间:        ; 单调递减区间:       
周期性 周期是kπ,k∈Z,k≠0,最小正周期是 
对称 中心 (k∈Z)
提醒 (1)正切函数在定义域上不具备单调性,在每一个单调区间内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,无单调递减区间,没有最大值和最小值;(2)画正切函数图象常用三点两线法:“三点”是指,(0,0),,“两线”是指x=-和x=,大致画出正切函数在上的简图后向左、右平移即得正切曲线.
1.判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R.(  )
(2)正切函数在R上是增函数.(  )
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心.(  )
(4)正切函数的最小正周期为π.(  )
2.函数y=tan x的对称中心坐标可统一表示为(  )
A.(kπ,0)(k∈Z)   B.(k∈Z)
C.(k∈Z) D.(2kπ,0)(k∈Z)
3.函数y=tan x,x∈的值域是       .
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 (1)函数y=3tan的定义域为    ;
(2)函数y=tan2x-2tan x的值域为   .
尝试解答
通性通法
1.求与正切函数有关的函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠+kπ,k∈Z.而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图象求解;
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+,k∈Z,解得x.
2.求与正切函数有关的函数值域的方法
(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,结合图象,利用单调性求值域;
(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用配方法求值域.
【跟踪训练】
1.函数y=的定义域为    .
2.函数y=3tan(π+x),-<x≤的值域为    .
题型二 正切函数的图象及应用
【例2】 解不等式tan x≥-1.
尝试解答
通性通法
利用正切函数图象解不等式问题的方法
  解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周期为π.
【跟踪训练】
 (1)求满足-<tan x≤1的x的集合;
(2)求不等式tan≥-1的解集.
题型三 正切函数的单调性及应用
【例3】 (1)比较大小:tan和tan;
(2)求函数y=tan的单调区间.
尝试解答
通性通法
1.求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增,故可用“整体代换”的思想,令kπ-<ωx+φ<kπ+(k∈Z),求得x的范围即可;
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围即可.
2.运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内;
(2)运用正切函数单调性比较大小关系.
【跟踪训练】
 (1)比较tan与tan的大小;
(2)求函数y=3tan的单调区间.
题型四 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
【例4】 (1)若f(x)=tan ωx(ω>0)的周期为1,则f的值为(  )
A.-  B.-  C.  D.
(2)函数f(x)=的奇偶性是(  )
A.奇函数
B.偶函数
C.既是奇函数,又是偶函数
D.既不是奇函数,也不是偶函数
尝试解答
通性通法
正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T=,常常利用此公式来求周期;
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)与f(x)的关系.
【跟踪训练】
1.已知函数f(x)=3tan(ω>0)的最小正周期为,则正数ω=(  )
A.4          B.3
C.2 D.1
2.判断函数f(x)=lg的奇偶性.
1.当x∈时,函数y=tan|x|的图象(  )
A.关于原点对称 B.关于y轴对称
C.关于x轴对称 D.无法确定
2.函数y=tan x(-≤x≤)的值域是(  )
A.[-1,1]
B.(-∞,-1]∪[1,+∞)
C.(-∞,1]
D.[-1,+∞)
3.函数y=3tan的最小正周期是(  )
A. B.
C.π D.3
4.函数y=tan的定义域为(  )
A.
B.
C.
D.
5.若函数y=tan ωx在内单调递减,则ω的取值范围为    .
7.3 正切函数的图象与性质
【基础知识·重落实】
知识点
1.(2)正切曲线 (3)x=+kπ(k∈Z) 
2.{x∈R|x≠+kπ,k∈Z} R 奇 (k∈Z) 无 π
自我诊断
1.(1)× (2)× (3)√ (4)√
2.C y=tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y=tan x无意义的点都是对称中心.
3.[0,1] 解析:函数y=tan x在上单调递增,所以ymax=tan =1,ymin=tan 0=0.
【典型例题·精研析】
【例1】 (1)
(2)[-1,3+2]
解析:(1)由-≠+kπ,k∈Z,得x≠--4kπ,k∈Z,即函数的定义域为.
(2)令u=tan x,∵|x|≤,∴由正切函数的图象知u∈[-,],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[-,],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-时,ymax=3+2,∴原函数的值域为[-1,3+2].
跟踪训练
1.
解析:依题意有tan x-1≠0,所以tan x≠1.
所以x≠kπ+,k∈Z.又x≠kπ+,k∈Z,故函数定义域为x|x≠kπ+,且x≠kπ+,k∈Z.
2.(-3,] 解析:函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在上单调递增,所以-3<y≤,所以值域为(-3,].
【例2】 解:作出y=tan x一个周期的图象,如图所示.
令y=-1,得x=-,
所以在中满足不等式tan x≥-1的x的取值范围为.
由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为(k∈Z).
跟踪训练
 解:(1)根据正切函数的图象可知,
在上,满足-<tan x≤1的x的取值范围是,
而正切函数的周期是kπ,k∈Z.
故满足-<tan x≤1的x的集合是
{x|kπ-<x≤kπ+,k∈Z}.
(2)由正切函数的图象,可知-+kπ≤2x+<+kπ,k∈Z,解得-+≤x<+,k∈Z,
所以原不等式的解集为{x|-+≤x<+,k∈Z}.
【例3】 解:(1)∵tan
=-tan=tan ,
tan=-tan=tan .
又0<<<,y=tan x在内单调递增,
∴tan <tan ,
即tan>tan.
(2)y=tan
=-tan,
由kπ-<x-<kπ+(k∈Z),
得2kπ-<x<2kπ+(k∈Z),
∴函数y=tan的单调递减区间是(k∈Z),无单调递增区间.
跟踪训练
 解:(1)tan=tan=-tan,tan=tan=-tan.
因为0<<<,且y=tan x在区间上单调递增,所以tan>tan,
所以-tan<-tan,即tan<tan.
(2)y=3tan=-3tan,
由-+kπ<2x-<+kπ(k∈Z),得-+<x<+(k∈Z),
所以函数y=3tan的单调递减区间为(k∈Z),无单调递增区间.
【例4】 (1)D (2)A 解析:(1)依题意T==1,ω=π,所以f(x)=tan πx.所以f=tan =.故选D.
(2)要使函数f(x)有意义 ,必须满足即x≠kπ+,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)的定义域关于原点对称,又f(-x)==-=-f(x),所以f(x)=是奇函数.
跟踪训练
1.C 因为ω>0,所以T==,所以ω=2,故选C.
2.解:由>0,
得tan x>1或tan x<-1,
∴函数f(x)的定义域为(kπ-,kπ-)∪(kπ+,kπ+)(k∈Z),关于原点对称.
又f(-x)+f(x)=lg+lg=lg(·)
=lg 1=0,
∴f(-x)=-f(x),
∴f(x)是奇函数.
随堂检测
1.B 函数y=tan|x|,x∈是偶函数.其图象关于y轴对称.故选B.
2.A 函数y=tan x在区间[-,]上单调递增,且tan(-)=-1,tan=1,即值域为[-1,1].故选A.
3.A 由解析式及正切函数的性质,最小正周期T=.故选A.
4.A 由x-≠+kπ(k∈Z) x≠+kπ(k∈Z).故选A.
5.[-1,0) 解析:由题意知其周期T≥π,即≥π.∴|ω|≤1,又函数单调递减,∴ω<0.故-1≤ω<0.
4 / 4(共66张PPT)
7.3 正切函数的图象与性质
新课程标准解读 核心素养
1.能够正确画出正切函数的图象 数学抽象
2.会通过正切函数的图象研究其性质 逻辑推理
3.能运用正切函数图象与性质解决问题 数学运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
  正切函数在实际测量中的应用是十分广泛的,例如,测量山的高
度、测量池塘的宽度都需要利用正切函数进行解决.
【问题】 你能够类比研究正弦函数和余弦函数的方法,研究正切函
数的图象和性质吗?




知识点 正切函数的图象与性质
1. 正切函数的图象
(1)正切函数y=tan x的图象:
(3)正切函数的图象特征:正切曲线是由被相互平行的直线
所隔开的无穷多支曲线组成的.这些直
线称作正切曲线各支的渐近线.
(2)正切函数的图象称作 ;
正切曲线 
x
= +kπ(k∈Z) 
2. 正切函数的性质
函数 y=tan x
定义域
值域
奇偶性 函数
单调性 单调递增区间: ;
单调递减区间:
周期性 周期是kπ,k∈Z,k≠0,最小正周期是
对称中心
{x∈R|x≠ +kπ,k∈Z}
R
奇 
(k∈Z) 
无 
π 
提醒 (1)正切函数在定义域上不具备单调性,在每一个单调区间
内都是递增的,并且每个单调区间均为开区间,不能写成闭区间,无
单调递减区间,没有最大值和最小值;(2)画正切函数图象常用三
点两线法:“三点”是指 ,(0,0), ,“两线”
是指x=- 和x= ,大致画出正切函数在 上的简图后向
左、右平移即得正切曲线.
1. 判断正误.(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)正切函数的定义域和值域都是R. ( × )
(2)正切函数在R上是增函数. ( × )
(3)正切曲线是中心对称图形,有无数个对称中心. ( √ )
(4)正切函数的最小正周期为π. ( √ )
×
×


2. 函数y=tan x的对称中心坐标可统一表示为(  )
A. (kπ,0)(k∈Z)
D. (2kπ,0)(k∈Z)
解析: y=tan x的图象与x轴的交点以及x轴上使y=tan x无意
义的点都是对称中心.
3. 函数y=tan x,x∈ 的值域是 .
解析:函数y=tan x在 上单调递增,所以ymax=tan =1,
ymin=tan 0=0.
[0,1] 
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 正切函数的定义域及值域
【例1】 (1)函数y=3tan 的定义域
为   ;
解析:由 - ≠ +kπ,k∈Z,得x≠- -4kπ,k∈Z,
即函数的定义域为 .
(2)函数y=tan2x-2tan x 的值域为 .
解析:令u=tan x,∵|x|≤ ,∴由正切函数的图象知
u∈[- , ],∴原函数可化为y=u2-2u,u∈[- ,
],∵二次函数y=u2-2u=(u-1)2-1图象开口向上,
对称轴方程为u=1,∴当u=1时,ymin=-1,当u=-
时,ymax=3+2 ,∴原函数的值域为[-1,3+2 ].
[-1,3+2 ] 
通性通法
1. 求与正切函数有关的函数定义域的方法
(1)求与正切函数有关的函数的定义域时,除了求函数定义域的
一般要求外,还要保证正切函数y=tan x有意义,即x≠ +
kπ,k∈Z. 而对于构建的三角不等式,常利用三角函数的图
象求解;
(2)求正切型函数y=Atan(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的定义域
时,要将“ωx+φ”视为一个“整体”.令ωx+φ≠kπ+ ,
k∈Z,解得x.
2. 求与正切函数有关的函数值域的方法
(1)对于y=Atan(ωx+φ)的值域,可以把ωx+φ看成整体,
结合图象,利用单调性求值域;
(2)对于与y=tan x相关的二次函数,可以把tan x看成整体,利用
配方法求值域.
【跟踪训练】
1. 函数y= 的定义域为   .
解析:依题意有tan x-1≠0,所以tan x≠1.所以x≠kπ+ ,
k∈Z. 又x≠kπ+ ,k∈Z,故函数定义域为 .
2. 函数y=3tan(π+x),- <x≤ 的值域为 .
解析:函数y=3tan(π+x)=3tan x,因为正切函数在
上单调递增,所以-3<y≤ ,所以值域为(-3, ].
(-3, ] 
题型二 正切函数的图象及应用
【例2】 解不等式tan x≥-1.
解:作出y=tan x一个周期的图象,如图所示.
令y=-1,得x=- ,所以在 中满足
不等式tan x≥-1的x的取值范围为 .
由正切函数的周期性可知,原不等式的解集为
(k∈Z).
通性通法
利用正切函数图象解不等式问题的方法
  解决此类问题,一般根据函数的图象利用数形结合直接写出自变
量的取值范围,但要注意是否包含端点值,切记正切函数的最小正周
期为π.
【跟踪训练】
 (1)求满足- <tan x≤1的x的集合;
解:根据正切函数的图象可知,
在 上,满足- <tan x≤1的x的取值范围是 ,
而正切函数的周期是kπ,k∈Z.
故满足- <tan x≤1的x的集合是{x|kπ- <x≤kπ+ ,
k∈Z}.
(2)求不等式tan ≥-1的解集.
解:由正切函数的图象,可知- +kπ≤2x+ < +
kπ,k∈Z,解得- + ≤x< + ,k∈Z,
所以原不等式的解集为{x|- + ≤x< + ,k∈Z}.
题型三 正切函数的单调性及应用
【例3】 (1)比较大小:tan 和tan ;
解:∵tan =-tan =tan ,
tan =-tan =tan .
又0< < < ,y=tan x在 内单调递增,
∴tan <tan ,即tan >tan .
(2)求函数y=tan 的单调区间.
解:y=tan =-tan ,
由kπ- < x- <kπ+ (k∈Z),
得2kπ- <x<2kπ+ (k∈Z),
∴函数y=tan 的单调递减区间是
(k∈Z),无单调递增区间.
通性通法
1. 求函数y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ都是常数)的单调区间的
方法
(1)若ω>0,由于y=tan x在每一个单调区间上都单调递增,故
可用“整体代换”的思想,令kπ- <ωx+φ<kπ+
(k∈Z),求得x的范围即可;
(2)若ω<0,可利用诱导公式先把y=Atan(ωx+φ)转化为y
=Atan[-(-ωx-φ)]=-Atan(-ωx-φ),即把x的
系数化为正值,再利用“整体代换”的思想,求得x的范围
即可.
2. 运用正切函数单调性比较大小的方法
(1)运用函数的周期性或诱导公式将角转化到同一单调区间内;
(2)运用正切函数单调性比较大小关系.
【跟踪训练】
 (1)比较tan 与tan 的大小;
解:tan =tan =-tan ,tan =tan =-tan .
因为0< < < ,且y=tan x在区间 上单调递增,所
以tan >tan ,
所以-tan <-tan ,即tan <tan .
(2)求函数y=3tan 的单调区间.
解:y=3tan =-3tan ,
由- +kπ<2x- < +kπ(k∈Z),得- + <x<
+ (k∈Z),
所以函数y=3tan 的单调递减区间为
(k∈Z),无单调递增区间.
题型四 与正切函数有关的周期性、奇偶性问题
【例4】 (1)若f(x)=tan ωx(ω>0)的周期为1,则f 的值
为(  )
解析:依题意T= =1,ω=π,所以f(x)=tan πx.所
以f =tan = .故选D.
(2)函数f(x)= 的奇偶性是(  )
A. 奇函数
B. 偶函数
C. 既是奇函数,又是偶函数
D. 既不是奇函数,也不是偶函数
解析:要使函数f(x)有意义 ,必须满足
即x≠kπ+ ,且x≠(2k+1)π(k∈Z),所以函数f(x)
的定义域关于原点对称,又f(-x)= =- =
-f(x),所以f(x)= 是奇函数.
通性通法
正切函数的周期性、奇偶性问题的解题策略
(1)一般地,函数y=Atan(ωx+φ)的最小正周期为T= ,
常常利用此公式来求周期;
(2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域,判断其是否关于原点
对称.若不对称,则该函数无奇偶性,若对称,再判断f(-x)
与f(x)的关系.
【跟踪训练】
1. 已知函数f(x)=3tan (ω>0)的最小正周期为 ,则正
数ω=(  )
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
解析: 因为ω>0,所以T= = ,所以ω=2,故选C.
2. 判断函数f(x)=lg 的奇偶性.
解:由 >0,得tan x>1或tan x<-1,
∴函数f(x)的定义域为(kπ- ,kπ- )∪(kπ+ ,kπ+
)(k∈Z),关于原点对称.
又f(-x)+f(x)=lg +lg
=lg( · )=lg 1=0,
∴f(-x)=-f(x),∴f(x)是奇函数.
1. 当x∈ 时,函数y=tan|x|的图象(  )
A. 关于原点对称 B. 关于y轴对称
C. 关于x轴对称 D. 无法确定
解析: 函数y=tan|x|,x∈ 是偶函数.其图象关
于y轴对称.故选B.
2. 函数y=tan x(- ≤x≤ )的值域是(  )
A. [-1,1] B. (-∞,-1]∪[1,+∞)
C. (-∞,1] D. [-1,+∞)
解析: 函数y=tan x在区间[- , ]上单调递增,且tan
(- )=-1,tan =1,即值域为[-1,1].故选A.
3. 函数y=3tan 的最小正周期是(  )
C. π D. 3
解析: 由解析式及正切函数的性质,最小正周期T= .故选A.
4. 函数y=tan 的定义域为(  )
解析:由x- ≠ +kπ(k∈Z) x≠ +kπ(k∈Z).故选A.
5. 若函数y=tan ωx在 内单调递减,则ω的取值范围
为 .
解析:由题意知其周期T≥π,即 ≥π.
∴|ω|≤1,又函数单调递减,∴ω<0.
故-1≤ω<0.
[-1,0) 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 下列图形分别是①y=|tan x|;②y=tan x;③y=tan(-x);
④y=tan|x|,在x∈ 内的大致图象,那么由a到d对
应的函数关系式应是(  )
A. ①②③④ B. ①③④②
C. ③②④① D. ①②④③
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解析: y=tan(-x)=-tan x在 上是单调递减的,只有图象d符合,即d对应③.故选D.
2. 函数f(x)=|tan 2x|是(  )
A. 周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数
解析: f(-x)=|tan (-2x)|=|tan 2x|=f(x)为
偶函数,T= .
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3. 函数f(x)=tan 的单调递增区间是(  )
B. (kπ,kπ+π),k∈Z
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解析: 由- +kπ<x+ < +kπ,k∈Z,得- +kπ<x
< +kπ,k∈Z,故f(x)的单调递增区间是 ,k∈Z.
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4. 函数y=tan 的一个对称中心是(  )
A. (0,0)
D. (π,0)
解析: 令x+ = ,k∈Z,得x= - ,k∈Z,所以函数
y=tan 的对称中心是 ,k∈Z. 令k=2,可得
函数的一个对称中心为 .
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5. (多选)函数y=tan 的性质有(  )
B. 为奇函数
C. 以π为最小正周期
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解析: 令x∈ ,则 ∈ ,所以y=tan 在
上单调递增,所以A正确;tan =-tan ,故y=
tan 为奇函数,所以B正确;T= =2π,所以C不正确;由
≠ +kπ,k∈Z,得函数的定义域为{x|x≠π+2kπ,k∈Z},
所以D不正确.
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6. (多选)与函数y=tan 的图象不相交的直线是(  )
解析: 令2x- = +kπ,k∈Z,得x= + ,k∈Z,
所以直线x= + ,k∈Z与函数y=tan 的图象不相
交,所以令k=-1,x=- ;k=0,x= .
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7. 已知函数f(x)=tan x+ ,若f(a)=5,则f(-a)
= .
解析:易知函数f(x)为奇函数,故f(a)+f(-a)=0,则f
(-a)=-f(a)=-5.
-5 
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8. 已知函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y=
所得线段长为 ,则f = .
解析:由题意,可知T= ,所以ω= =4,即f(x)=tan 4x,
所以f =tan π=0.
0 
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9. 比较大小:tan 211° tan 392°.
解析:tan 211°=tan (180°+31°)=tan 31°.tan 392°=tan
(360°+32°)=tan 32°,因为tan 31°<tan 32°,所以tan
211°<tan 392°.
< 
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10. 设函数f(x)=tan .
(1)求函数f(x)的最小正周期,图象的对称中心;
解:∵ω= ,∴最小正周期T= = =2π.
令 - = (k∈Z),得x=kπ+ (k∈Z),
∴f(x)的图象的对称中心是 (k∈Z).
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(2)作出函数f(x)在一个周期内的简图.
解:令 - =0,得x= ;令 - = ,得x=
;令 - =- ,得x=- .∴函数f(x)=tan
的图象与x轴的一个交点坐标是 ,在这个交点左、
右两侧相邻的两条渐近线方程分别是x=- ,x= ,从
而得到函数y=f(x)
在一个周期
内的简图,如图所示.
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11. 函数f(x)=2x-tan x在 上的图象大致为(  )
解析: ∵f(-x)=2(-x)-tan (-x)=-2x+tan x=
-f(x),∴f(x)为奇函数,排除A、B. 又∵f =2× -
tan = - >0,∴排除D,选C.
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12. (多选)关于x的函数f(x)=tan(x+φ)有以下几种说法,其
中正确的是(  )
A. 对任意的φ,f(x)既不是奇函数,也不是偶函数
C. f(x)的图象关于(π-φ,0)对称
D. f(x)是以π为最小正周期的周期函数
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解析: 若取φ=kπ(k∈Z),则f(x)=tan x,此时,f(x)为奇函数,故A错误;观察正切函数y=tan x的图象,可知y=tan x关于 (k∈Z)对称,令x+φ= 得x= -φ,分别令k=1,2知B、C正确,D显然正确.
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13. 当x∈ 时,k+tan 的值总不大于零,则实数k的
取值范围是 .
解析:∵x∈ ,∴0≤2x- ≤ ,∴0≤tan
≤ .∵对任意的x∈ ,都有tan ≥k,
∴ ≥k,∴k≤0.
(-∞,0] 
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14. 已知函数f(x)=x2+2xtan θ-1,其中θ≠ +kπ,k∈Z.
(1)当θ=- ,x∈[-1, ]时,求函数f(x)的最大值与
最小值;
解:当θ=- 时,f(x)=x2- x-1= - .
∵x∈[-1, ],且f(x)的图象开口向上,
∴当x= 时,f(x)min=- ;
当x=-1时,f(x)max= .
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(2)若函数g(x)= 为奇函数,求θ的值;
解:由题可知g(x)=x- +2tan θ,
∵g(x)为奇函数,∴0=g(-x)+g(x)=-x+
+2tan θ+x- +2tan θ=4tan θ,
∴tan θ=0,∴θ=kπ,k∈Z.
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(3)求使y=f(x)在区间[-1, ]上是单调函数的θ的取值
范围.
解:函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-tan θ.
∵f(x)在区间[-1, ]上是单调函数,
∴-tan θ≥ 或-tan θ≤-1,
即tan θ≤- 或tan θ≥1,
∴- +kπ<θ≤- +kπ或 +kπ≤θ< +kπ,k∈Z,
故θ的取值范围是 ∪ ,k∈Z.
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15. 已知函数f(x)=2tan ωx,ω>0,若f(x)在区间[0, ]上
的最大值是2 ,则ω= ;若f(x)在区间[0, ]上单
调递增,则ω的取值范围是 .
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(0, ) 
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解析:因为x∈[0, ],且在此区间上的最大值是2 ,所以
0≤ωx≤ < .因为f(x)max=2tan =2 ,所以tan =
,即ω=1.由kπ- <ωx<kπ+ ,k∈Z,得 - <x<
+ ,k∈Z,令k=0,得- <x< ,即f(x)在区间
(- , )上单调递增.又因为f(x)在区间[0, ]上单调
递增,所以 < ,即0<ω< .所以ω的取值范围是(0, ).
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16. 是否存在实数a,且a∈Z,使得函数y=tan 在区间
上单调递增?若存在,求出a的一个值;若不存在,
请说明理由.
解:y=tan =tan ,
因为y=tan x在区间 (k∈Z)上单调递增,所
以a<0,
又x∈ ,所以-ax∈ ,
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所以 -ax∈ ,
所以
解得- - ≤a≤6-8k(k∈Z).
由- - =6-8k得k=1,此时-2≤a≤-2.
所以a=-2<0,所以存在a=-2∈Z,满足题意.
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谢 谢 观 看!

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