第一章 8 三角函数的简单应用(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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第一章 8 三角函数的简单应用(课件 学案 练习)高中数学 北师大版(2019)必修 第二册

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§8 三角函数的简单应用
  
1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的频率是(  )
A.   B.100   C.   D.50
2.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos(t+),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l为(  )
A. cm B. cm C. cm D. cm
3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin(2t+),s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是(  )
A.s1>s2 B.s1<s2
C.s1=s2 D.不能确定
4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,当t∈[0,60]时,A,B两点间的距离为d(单位:cm),则d=(  )
A.5sin B.10sin
C.5sin D.10sin
5.
(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是(  )
A.该函数的周期是16
B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14
C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)
D.这一天的函数关系式也适用于第二天
6.
如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照曲线y=Asin(ωt+φ)+b变化,则A,b的值分别为    ,    .
7.某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足函数表达式y=500sin(ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示,
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是    元.
8.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2sin.要求实验室温度不高于11 ℃,则实验室需要降温的时间段是    时到    时.
9.通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.
(1)求出北京地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;
(2)3月29日上午9时某高中将举行模拟考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?
10.如图,A是轮子外边沿上的一点,
轮子半径为0.3 m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动,则当滚动的水平距离为2.2 m时,下列描述正确的是(参考数据:7π≈21.991)(  )
A.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m
B.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.15 m
C.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.26 m
D.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.04 m
11.某星星的亮度变化周期为10天,此星星的平均亮度为3.8星等,最高亮度距平均亮度0.2星等,则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为    .
12.
设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,|KL|=1,则f=    .
13.
如图,弹簧上挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωx+)确定,其中A>0,ω>0,t≥0.在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系;
(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.
14.(多选)
如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中,下列说法正确的是(  )
A.经过10 min点P距离地面10 m
B.若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的
C.第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同
D.摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min
15.
如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y=k(k>0)的图象的一部分,后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈[4,8])的图象,图象的最高点为B,且DF⊥OC,垂足为点F.
(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;
(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为,点E在OC上,求儿童乐园的面积.
8 三角函数的简单应用
1.D 因为T==,所以f==50.故选D.
2.D 因为周期T=,所以==2π,则l= cm.
3.C 当t=时,s1=5sin(+)=5sin=-5,s2=10 cos=10×(-)=-5,故s1=s2.
4.D 由题知,t s转过的圆心角为,过点O作AB的垂线,则AB=2×5×sin=10sin.故选D.
5.AB 由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,∴A=10,B=20.∵ =14-6,∴T=16,A正确;∵T=,∴ω=,∴y=10sin+20.∵图象经过点(14,30),∴30=10sin+20,∴sin=1,∴φ可以取,∴y=10sin(x+)+20(0≤x<24),B正确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,∴D错.故选A、B.
6.100 800 解析:由题图,得解得
7.9 000 解析:将表格中的数据分别代入y=500sin(ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π),可得ω=,φ=0,所以y=500sin x+9 500,将x=3代入可得y=9 000.
8.10 18 解析:依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.所以10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,所以<t+<,即10<t<18.
9.解:(1)由题意知解得
易知=14-2,所以T=24,所以ω=,则y=8sin+6.
易知8sin+6=-2,即sin=-1,故+φ=-+2kπ,k∈Z,
又|φ|<π,得φ=-,
所以y=8sin+6(x∈[0,24)).
(2)当x=9时,y=8sin+6=8sin +6<8sin +6=10.
所以届时学校后勤应该开空调.
10.A 已知轮子的半径r=0.3 m,轮子滚动一周的水平距离为2πr=0.6π m,又7π≈21.991,∴0.7π≈2.2,∴0.7π-0.6π=0.1π,又=(周),∴×2π=π,故A在轮子左下位置.可得轮子距地面距离h=0.3-0.3cos=0.3×=0.15(m).∴点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m.故选A.
11.y=0.2sin t+3.8(t>0)(答案不唯一)
解析:假设三角函数模型为y=Asin ωt+b,由题意知,A=0.2,b=3.8,T=10,∴ω==,∴y=0.2sin t+3.8(t>0).
12. 解析:取KL的中点N并连接MN(图略),则MN=,即A=,由题意知T=2,∴ω=π.∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=cos πx,∴f=cos =.
13.解:(1)因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,所以A==5.因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2,即T=2=,所以ω=π,所以h=5sin(πx+),t≥0.
(2)由题意,当t=时,小球第一次到达最高点,以后每隔一 个周期都出现一次最高点,因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,所以49T+≤t0<50T+.
因为T=2,所以98≤t<100,
所以t0的取值范围为[98,100).
14.ACD 建立如图所示的平面直角坐标系,
设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,由点P的起始位置在最高点知,φ=,又由题知OP在t min内转过的角为t,即,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为+,即点P的纵坐标为40sin,所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40sin=50+40cos.当t=10时,h=50+40cos π=10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40cos=50+40cos,h(43)=50+40cos=50+40cos,C正确;由h(t)=50+40cos≥70得cos≥,解得2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,即20k-≤t≤20k+,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min,D正确.故选A、C、D.
15.解:(1)由图象,可知A=,ω===,将B代入y=sin中,
得+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z).
因为|φ|<,
所以φ=-,
故y=sin,x∈[4,8].
(2)在y=sin中,令x=4,得D(4,4),从而得曲线OD的方程为y=2(0≤x<4),则P,
所以矩形PMFE的面积为
S=×=,
即儿童乐园的面积为.
1 / 3§8 三角函数的简单应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算
2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算
如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略),当线圈处于如图所示的位置时,线圈中的感应电流y达到最大值A;当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时,线圈中的感应电流y为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时,线圈中的感应电流y达到反向最大值-A;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时,线圈中的感应电流y又一次为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时,线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始,形成周期变化.
【问题】 (1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画?
(2)以如图位置开始计时,则模型的初相是多少?
                      
                      
知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
1.简谐运动y=4sin的相位与初相是(  )
A.5x-,       B.5x-,4
C.5x-,- D.4,
2.
如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动往返一次所需时间为(  )
A.0.4 s B.0.6 s
C.0.8 s D.1.2 s
3.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆摆动一个周期所需的时间为(  )
A.2π s  B.π s  C.0.5 s  D.1 s
题型一 已知三角函数解析式解决实际问题
【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
(2)求此人每分钟心跳的次数;
(3)画出函数p(t)的草图;
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
尝试解答
通性通法
  解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.
【跟踪训练】
交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220·sin来表示,求:
(1)开始时电压;
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
题型二 已知函数模型确定函数解析式
【例2】 如图,风车叶轮的最高点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.
尝试解答
通性通法
三角函数解析式的求法
  求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,b的因素,A=,b=,ω与周期有关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.
【跟踪训练】
 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近似描述,求该函数解析式;
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐?
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】 下表是某地某年月平均气温(华氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据;
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?
①=cos;②=cos;③=cos.
尝试解答
通性通法
  根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.
【跟踪训练】
 某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的海浪高度的平均值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图;
(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当海浪高度不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为(  )
A.5 B.6
C.8 D.10
2.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, 五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的(  )
A.[0,5] B.[5,10]
C.[10,15] D.[15,20]
3.电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin,则当t=时,电流强度为    A.
4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为    .
t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
5.某地一年中12个月的平均气温y(单位:℃)与月份x(单位:月)的关系可近似地用函数y=a+Acos[(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为     ℃.
8 三角函数的简单应用
【基础知识·重落实】
知识点
A 
自我诊断
1.C 相位是5x-,当x=0时的相位为初相即-.
2.C 由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往返一次.
3.D 依题意是求函数s=6sin的周期,T==1,故选D.
【典型例题·精研析】
【例1】 解:(1)因为ω=160π,所以T==(min),所以函数p(t)的周期为 min.
(2)此人每分钟心跳的次数为函数的频率f==80(次).
(3)列表:
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右平移得到函数p(t)的简图如图所示:
(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
跟踪训练
 解:(1)当t=0时,E=110(V).
即开始时的电压为110 V.
(2)T==(s),
即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值为220 V.
当100πt+=,
即t= s时第一次取得最大值.
【例2】 解:因为叶轮每分旋转2周,
所以f==.
又因为f=,T=,所以ω=2πf=2π×=.
因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,所以叶轮顶点应该在离圆心7 m范围内变化,即函数振幅a=7.
因为叶轮顶点从离地面最低点,经过=15 s后到达最高点,可得ω(15-b)=,即b=15-=.圆心离地面的高度为7.5 m,
所以c=.
综上可得函数解析式为y=7sin[(t-)]+.
跟踪训练
 解:(1)因为函数为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
由①,得周期T==12,所以ω=.
由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故A=200.
由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,
所以
解得
因为f(2)最小,f(8)最大,
所以
由于0<|φ|<π,因此φ=-,
所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为y=f(x)=200sin+300(x∈N*,且1≤x≤12).
(2)由条件可知200sin+300≥400,
化简得sin≥,
所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z).
解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).
因为x∈N+,且1≤x≤12,
所以x=6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐.
【例3】 解:(1)如图.
(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.
(3)因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由模型②知当x=0时,y取最大值,而x=月份-1,即1月份的气温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③.
跟踪训练
 解:(1)散点图如图所示.
(2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适.
令A>0,ω>0,|φ|<π.
由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω==.
把t=0,y=1代入y=0.4sin+1,得φ=0.故所求拟合模型的解析式为
y=0.4sint+1(0≤t≤24).
(3)由y=0.4sint+1≥0.8,得
sint≥-.
则-+2kπ≤t≤+2kπ(k∈Z),
即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),
注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.
随堂检测
1.C 由图象知ymin=2.因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.
2.C 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15] [3π,5π],故选C.
3.2.5 解析:将t=代入I=5sin(100πt+),得I=2.5,故电流强度为2.5 A.
4.y=-4cos t 解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则从表中数据可以得到A=4,ω===,由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,故y=4sin,即y=-4cos t.
5.20.5 解析:当x=6时,ymax=a+A=28,当x=12时,ymin=a-A=18,解得a=23,A=5,所以得函数y=23+5cos[(x-6)],所以当x=10时,y=23+5cos[(10-6)]=20.5.
3 / 4(共68张PPT)
§8 三角函数的简单应用
新课程标准解读 核心素养
1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学
运算
2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数
学模型 数学建模、数学
运算
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
知能演练·扣课标
03
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向
匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略),当线圈处于如图
所示的位置时,线圈中的感应电流y达到最大值A;当线圈由此位置
逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时,线圈中的感应电流y
为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时,线圈中的
感应电流y达到反向最大值-A;当线圈继续逆时针旋转90°后再次
到达垂直位置时,线圈中的感应电流y又一次为0;当线圈继续逆时针
旋转90°后再次到达图示位置时,线圈中的感应电流y又一次达到最
大值A. 这样周而复始,形成周期变化.
【问题】 (1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻
画?
(2)以如图位置开始计时,则模型的初相是多少?




知识点 函数y=A sin (ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义
1. 简谐运动y=4 sin 的相位与初相是(  )
解析: 相位是5x- ,当x=0时的相位为初相即- .
2. 如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动往返一次所需时间为
(  )
A. 0.4 s B. 0.6 s C. 0.8 s D. 1.2 s
解析: 由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要
0.8 s往返一次.
3. 如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s
(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6 sin ,那么单
摆摆动一个周期所需的时间为(  )
A. 2π s B. π s
解析: 依题意是求函数s=6 sin 的周期,T= =
1,故选D.
C. 0.5 s D. 1 s
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 已知三角函数解析式解决实际问题
【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分
别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25
sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:
min),试回答下列问题:
(1)求函数p(t)的周期;
解:因为ω=160π,所以T= = (min),所以函数
p(t)的周期为 min.
(2)求此人每分钟心跳的次数;
解:此人每分钟心跳的次数为函数的频率f= =80(次).
(3)画出函数p(t)的草图;
解:列表:
t 0
p(t) 115 140 115 90 115
描点、连线并向左右平移得到函数p(t)的简图如图所示:
(4)求出此人的血压在血压计上的读数.
解:由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.
通性通法
  解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=A sin (ωx+
φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.
【跟踪训练】
交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=
220 · sin 来表示,求:
(1)开始时电压;
解:当t=0时,E=110 (V).
即开始时的电压为110 V.
(2)电压值重复出现一次的时间间隔;
解:T= = (s),即时间间隔为0.02 s.
(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
解:电压的最大值为220 V.
当100πt+ = ,即t= s时第一次取得最大值.
题型二 已知函数模型确定函数解析式
【例2】 如图,风车叶轮的最高点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆
的直径为14 m,叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动.以叶轮顶点离
地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t
(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=a sin [ω·(t-b)]+c来
表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.
解:因为叶轮每分旋转2周,所以f= = .
又因为f= ,T= ,
所以ω=2πf=2π× = .
因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,
所以叶轮顶点应该在离圆心7 m范围内变化,即函数振幅a=7.
因为叶轮顶点从离地面最低点,经过 =15 s后到达最高点,可得ω
(15-b)= ,
即b=15- = .
圆心离地面的高度为7.5 m,
所以c= .
综上可得函数解析式为y=7 sin [ (t- )]+ .
通性通法
三角函数解析式的求法
  求y=A sin (ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,
φ,b的因素,A= ,b= ,ω与周期有
关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出
方程组求ω,φ的值.
【跟踪训练】
 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入
住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个
月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:
①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;
②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;
③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到
最多.
(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f
(x)=A sin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近
似描述,求该函数解析式;
解:因为函数为y=f(x)=A sin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π),
由①,得周期T= =12,所以ω= .
由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,
故A=200.
由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,
所以解得
因为f(2)最小,f(8)最大,
所以
由于0<|φ|<π,因此φ=- ,
所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为
y=f(x)=200 sin +300(x∈N*,且1≤x≤12).
(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐?
解:由条件可知200 sin +300≥400,
化简得 sin ≥ ,
所以2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z).
解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).
因为x∈N+,且1≤x≤12,
所以x=6,7,8,9,10.
即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐.
题型三 三角函数模型的拟合
【例3】 下表是某地某年月平均气温(华氏):
月份 1 2 3 4 5 6
平均气
温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6
月份 7 8 9 10 11 12
平均气
温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7
以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.
(1)用正弦曲线去拟合这些数据;
解:如图.
(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;
解:最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,
故 =7-1=6,所以T=12.
因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,
即2A=73.0-21.4=51.6,
所以A=25.8.
(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?
① = cos ;② = cos ;③ = cos .
解:因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由
模型②知当x=0时,y取最大值,而x=月份-1,即1月份的气
温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③.
通性通法
  根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,
然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决
实际问题.
【跟踪训练】
 某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y
(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时
刻t的海浪高度的平均值如下表:
t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0
(1)作出这些数据的散点图;
解:散点图如图所示.
(2)从y=at+b,y=A sin (ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中
选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;
解:由(1)知选择y=A sin (ωt+φ)+b较合适.
令A>0,ω>0,|φ|<π.
由图可知,A=0.4,b=1,T=12,
所以ω= = .
把t=0,y=1代入y=0.4 sin +1,得φ=0.
故所求拟合模型的解析式为y=0.4 sin t+1(0≤t≤24).
(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当海浪高度不低于0.8米
时才进行训练,试安排恰当的训练时间.
解:由y=0.4 sin t+1≥0.8,
得 sin t≥- .
则- +2kπ≤ t≤ +2kπ(k∈Z),
即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),
注意到t∈[0,24],
所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,
应安排在11时到19时训练较恰当.
1. 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3
sin ( x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的
最大值为(  )
A. 5 B. 6
C. 8 D. 10
解析: 由图象知ymin=2.因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,
解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.
2. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, 五一某商场的人流
量满足函数F(t)=50+4 sin (t≥0),则在下列哪个时间段内
人流量是增加的(  )
A. [0,5] B. [5,10]
C. [10,15] D. [15,20]
解析: 由2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,知函数F(t)的单调
递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z. 当k=1时,t∈[3π,
5π],而[10,15] [3π,5π],故选C.
3. 电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5
sin ,则当t= 时,电流强度为 A.
解析:将t= 代入I=5 sin ,得I=2.5,故电流强
度为2.5 A.
2.5 

t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8
y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0
y=-4 cos t 
解析:设y=A sin (ωt+φ)(A>0,ω>0),则从表中数据可
以得到A=4,ω= = = ,由4 sin φ=-4.0,得 sin φ=-
1,取φ=- ,故y=4 sin ,即y=-4 cos t.
5. 某地一年中12个月的平均气温y(单位:℃)与月份x(单位:
月)的关系可近似地用函数y=a+A cos [ (x-6)](x=1,
2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,
12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温
为 ℃.
解析:当x=6时,ymax=a+A=28,当x=12时,ymin=a-A=
18,解得a=23,A=5,所以得函数y=23+5 cos [ (x-
6)],所以当x=10时,y=23+5 cos [ (10-6)]=20.5.
20.5 
知能演练·扣课标
03
课后巩固 核心素养落地
1. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2 sin 100πt,t∈(0,
+∞),则电流I变化的频率是(  )
B. 100
D. 50
解析: 因为T= = ,所以f= =50.故选D.
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2. 一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离
开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3 cos
( t+ ),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,
线长l为(  )
解析: 因为周期T= ,所以 = =2π,则l= cm.
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3. 在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振
动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2
(cm)分别由s1=5 sin (2t+ ),s2=10 cos 2t确定,则当t=
s时,s1与s2的大小关系是(  )
A. s1>s2 B. s1<s2
C. s1=s2 D. 不能确定
解析: 当t= 时,s1=5 sin ( + )=5 sin =-5,s2=
10 cos =10×(- )=-5,故s1=s2.
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4. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋
转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,当t∈[0,60]
时,A,B两点间的距离为d(单位:cm),则d=(  )
解析: 由题知,t s转过的圆心角为 ,过点O作AB的垂线,
则AB=2×5× sin =10 sin .故选D.
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5. (多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地
满足函数y=A sin (ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确
的是(  )
A. 该函数的周期是16
B. 该函数图象的一条对称轴是直线x=14
D. 这一天的函数关系式也适用于第二天
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解析: 由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=
10,∴A=10,B=20.∵ =14-6,∴T=16,A正确;∵T=
,∴ω= ,∴y=10 sin +20.∵图象经过点(14,
30),∴30=10 sin +20,∴ sin =1,
∴φ可以取 ,∴y=10 sin ( x+ )+20(0≤x<24),B正
确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天,第二天这个关系式
不一定适用,∴D错.故选A、B.
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6. 如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至
900,其总量在此两值之间按照曲线y=A sin (ωt+φ)+b变化,
则A,b的值分别为 ,  800  .
解析:由题图,得
100 
800
解得
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7. 某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测,发现每
个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之
间近似满足函数表达式y=500 sin (ωx+φ)+9 500(0<ω<
π,|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示,
x 1 2
y 10 000 9 500
则此楼群在第三季度的平均单价大约是 元.
解析:将表格中的数据分别代入y=500 sin (ωx+φ)+9 500(0
<ω<π,|φ|<π),可得ω= ,φ=0,所以y=500 sin x+9
500,将x=3代入可得y=9 000.
9 000 
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8. 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似
满足函数关系f(t)=10-2 sin .要求实验室温度不高于
11 ℃,则实验室需要降温的时间段是 时到  18  时.
解析:依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.
所以10-2 sin >11,
即 sin <- .又0≤t<24,
所以 < t+ < ,即10<t<18.
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9. 通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=
A sin (ωx+φ)+b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高
温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,
最低温度为零下2 ℃.
(1)求出北京地区该时段的温度函数y=A sin (ωx+φ)+b(A
>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;
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解:由题意知
解得易知 =14-2,
所以T=24,所以ω= ,
则y=8 sin +6.
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易知8 sin +6=-2,
即 sin =-1,
故 +φ=- +2kπ,k∈Z,
又|φ|<π,得φ=- ,
所以y=8 sin +6(x∈[0,24)).
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(2)3月29日上午9时某高中将举行模拟考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?
解:当x=9时,y=8 sin +6=8 sin +6<
8 sin +6=10.
所以届时学校后勤应该开空调.
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10. 如图,A是轮子外边沿上的一点,轮子半径为0.3 m.若轮子从图
中位置向右无滑动滚动,则当滚动的水平距离为2.2 m时,下列描
述正确的是(参考数据:7π≈21.991)(  )
A. 点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m
B. 点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.15 m
C. 点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.26 m
D. 点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.04 m
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解析: 已知轮子的半径r=0.3 m,轮子滚动一周的水平距离
为2πr=0.6π m,又7π≈21.991,∴0.7π≈2.2,∴0.7π-0.6π=
0.1π,又 = (周),∴ ×2π= π,故A在轮子左下位置.
可得轮子距地面距离h=0.3-0.3 cos =0.3× =0.15(m).
∴点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m.故选A.
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解析:假设三角函数模型为y=A sin ωt+b,
由题意知,A=0.2,b=3.8,T=10,
∴ω= = ,
∴y=0.2 sin t+3.8(t>0).
y=0.2 sin t+3.8(t>0)(答案不唯
一) 
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12. 设偶函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的
部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=
90°,|KL|=1,则f =    .
 
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解析:取KL的中点N并连接MN(图略),
则MN= ,即A= ,
由题意知T=2,∴ω=π.
∵函数为偶函数,0<φ<π,
∴φ= ,∴f(x)= cos πx,
∴f = cos = .
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13. 如图,弹簧上挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对
于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h
=A sin (ωx+ )确定,其中A>0,ω>0,t≥0.在一次振动
中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低
点间的距离为10 cm.
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解:因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,所以A= =5.因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2,即T=2= ,所以ω=π,所以h=5 sin (πx+ ),t≥0.
(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单
位:s)之间的函数关系;
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(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.
解:由题意,当t= 时,小球第一次到达
最高点,以后每隔一 个周期都出现一次最高
点,因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50
次,所以49T+ ≤t0<50T+ .
因为T=2,所以98 ≤t<100 ,
所以t0的取值范围为[98 ,100 ).
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14. (多选)如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高
度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若
摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中,下
列说法正确的是(  )
A. 经过10 min点P距离地面10 m
C. 第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同
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解析: 建立如图所示的平面直角坐标系,设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,由点P的起始位置在最高点知,φ= ,又由题知OP在t min内转过的角为 t,即 ,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为 + ,即点P的纵坐标为40 sin ,所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h
(t)=50+40 sin =50+40 cos .
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当t=10时,h=50+40 cos π=10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40 cos =50+40 cos ,h(43)=50+40 cos =50+40 cos ,C正确;由h(t)=50+40 cos ≥70得 cos ≥ ,解得2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,即20k- ≤t≤20k+ ,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min,D正确.故选A、C、D.
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15. 如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建
一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD
是函数y=k (k>0)的图象的一部分,后一段DBC是函数y
=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈[4,8])的
图象,图象的最高点为B ,且DF⊥OC,垂足为点F.
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解:由图象,可知A= ,ω=
= = ,将B 代入y= sin 中,
得 +φ=2kπ+ (k∈Z),
即φ=2kπ- (k∈Z).
因为|φ|< ,所以φ=- ,
故y= sin ,x∈[4,8].
(1)求函数y=A sin (ωx+φ)的解析式;
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(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为 ,点E在OC上,求儿童乐园的面积.
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解:在y= sin 中,
令x=4,得D(4,4),
从而得曲线OD的方程为y=2 (0≤x<4),
则P ,
所以矩形PMFE的面积为
S= × = ,
即儿童乐园的面积为 .
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