资源简介 §8 三角函数的简单应用 1.电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的频率是( )A. B.100 C. D.502.一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3cos(t+),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l为( )A. cm B. cm C. cm D. cm3.在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5sin(2t+),s2=10cos 2t确定,则当t= s时,s1与s2的大小关系是( )A.s1>s2 B.s1<s2C.s1=s2 D.不能确定4.某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,当t∈[0,60]时,A,B两点间的距离为d(单位:cm),则d=( )A.5sin B.10sinC.5sin D.10sin5.(多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=Asin(ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是( )A.该函数的周期是16B.该函数图象的一条对称轴是直线x=14C.该函数的解析式是y=10sin+20(6≤x≤14)D.这一天的函数关系式也适用于第二天6.如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照曲线y=Asin(ωt+φ)+b变化,则A,b的值分别为 , .7.某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足函数表达式y=500sin(ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示,x 1 2y 10 000 9 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是 元.8.某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2sin.要求实验室温度不高于11 ℃,则实验室需要降温的时间段是 时到 时.9.通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=Asin(ωx+φ)+b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.(1)求出北京地区该时段的温度函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;(2)3月29日上午9时某高中将举行模拟考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?10.如图,A是轮子外边沿上的一点,轮子半径为0.3 m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动,则当滚动的水平距离为2.2 m时,下列描述正确的是(参考数据:7π≈21.991)( )A.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 mB.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.15 mC.点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.26 mD.点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.04 m11.某星星的亮度变化周期为10天,此星星的平均亮度为3.8星等,最高亮度距平均亮度0.2星等,则可近似地描述此星星亮度与时间关系的一个三角函数式为 .12.设偶函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,|KL|=1,则f= .13.如图,弹簧上挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=Asin(ωx+)确定,其中A>0,ω>0,t≥0.在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系;(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.14.(多选)如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中,下列说法正确的是( )A.经过10 min点P距离地面10 mB.若摩天轮转速减半,则其周期变为原来的C.第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同D.摩天轮转动一圈,P点距离地面的高度不低于70 m的时间为 min15.如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y=k(k>0)的图象的一部分,后一段DBC是函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<,x∈[4,8])的图象,图象的最高点为B,且DF⊥OC,垂足为点F.(1)求函数y=Asin(ωx+φ)的解析式;(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为,点E在OC上,求儿童乐园的面积.8 三角函数的简单应用1.D 因为T==,所以f==50.故选D.2.D 因为周期T=,所以==2π,则l= cm.3.C 当t=时,s1=5sin(+)=5sin=-5,s2=10 cos=10×(-)=-5,故s1=s2.4.D 由题知,t s转过的圆心角为,过点O作AB的垂线,则AB=2×5×sin=10sin.故选D.5.AB 由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,∴A=10,B=20.∵ =14-6,∴T=16,A正确;∵T=,∴ω=,∴y=10sin+20.∵图象经过点(14,30),∴30=10sin+20,∴sin=1,∴φ可以取,∴y=10sin(x+)+20(0≤x<24),B正确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,∴D错.故选A、B.6.100 800 解析:由题图,得解得7.9 000 解析:将表格中的数据分别代入y=500sin(ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π),可得ω=,φ=0,所以y=500sin x+9 500,将x=3代入可得y=9 000.8.10 18 解析:依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.所以10-2sin>11,即sin<-.又0≤t<24,所以<t+<,即10<t<18.9.解:(1)由题意知解得易知=14-2,所以T=24,所以ω=,则y=8sin+6.易知8sin+6=-2,即sin=-1,故+φ=-+2kπ,k∈Z,又|φ|<π,得φ=-,所以y=8sin+6(x∈[0,24)).(2)当x=9时,y=8sin+6=8sin +6<8sin +6=10.所以届时学校后勤应该开空调.10.A 已知轮子的半径r=0.3 m,轮子滚动一周的水平距离为2πr=0.6π m,又7π≈21.991,∴0.7π≈2.2,∴0.7π-0.6π=0.1π,又=(周),∴×2π=π,故A在轮子左下位置.可得轮子距地面距离h=0.3-0.3cos=0.3×=0.15(m).∴点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m.故选A.11.y=0.2sin t+3.8(t>0)(答案不唯一)解析:假设三角函数模型为y=Asin ωt+b,由题意知,A=0.2,b=3.8,T=10,∴ω==,∴y=0.2sin t+3.8(t>0).12. 解析:取KL的中点N并连接MN(图略),则MN=,即A=,由题意知T=2,∴ω=π.∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ=,∴f(x)=cos πx,∴f=cos =.13.解:(1)因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,所以A==5.因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2,即T=2=,所以ω=π,所以h=5sin(πx+),t≥0.(2)由题意,当t=时,小球第一次到达最高点,以后每隔一 个周期都出现一次最高点,因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,所以49T+≤t0<50T+.因为T=2,所以98≤t<100,所以t0的取值范围为[98,100).14.ACD 建立如图所示的平面直角坐标系,设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,由点P的起始位置在最高点知,φ=,又由题知OP在t min内转过的角为t,即,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为+,即点P的纵坐标为40sin,所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40sin=50+40cos.当t=10时,h=50+40cos π=10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40cos=50+40cos,h(43)=50+40cos=50+40cos,C正确;由h(t)=50+40cos≥70得cos≥,解得2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,即20k-≤t≤20k+,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min,D正确.故选A、C、D.15.解:(1)由图象,可知A=,ω===,将B代入y=sin中,得+φ=2kπ+(k∈Z),即φ=2kπ-(k∈Z).因为|φ|<,所以φ=-,故y=sin,x∈[4,8].(2)在y=sin中,令x=4,得D(4,4),从而得曲线OD的方程为y=2(0≤x<4),则P,所以矩形PMFE的面积为S=×=,即儿童乐园的面积为.1 / 3§8 三角函数的简单应用新课程标准解读 核心素养1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略),当线圈处于如图所示的位置时,线圈中的感应电流y达到最大值A;当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时,线圈中的感应电流y为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时,线圈中的感应电流y达到反向最大值-A;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时,线圈中的感应电流y又一次为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时,线圈中的感应电流y又一次达到最大值A.这样周而复始,形成周期变化.【问题】 (1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画?(2)以如图位置开始计时,则模型的初相是多少? 知识点 函数y=Asin(ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义1.简谐运动y=4sin的相位与初相是( )A.5x-, B.5x-,4C.5x-,- D.4,2.如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动往返一次所需时间为( )A.0.4 s B.0.6 sC.0.8 s D.1.2 s3.如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6sin,那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )A.2π s B.π s C.0.5 s D.1 s题型一 已知三角函数解析式解决实际问题【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;(2)求此人每分钟心跳的次数;(3)画出函数p(t)的草图;(4)求出此人的血压在血压计上的读数.尝试解答通性通法 解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=Asin(ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.【跟踪训练】交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220·sin来表示,求:(1)开始时电压;(2)电压值重复出现一次的时间间隔;(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.题型二 已知函数模型确定函数解析式【例2】 如图,风车叶轮的最高点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=asin[ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.尝试解答通性通法三角函数解析式的求法 求y=Asin(ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,b的因素,A=,b=,ω与周期有关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.【跟踪训练】 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近似描述,求该函数解析式;(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐?题型三 三角函数模型的拟合【例3】 下表是某地某年月平均气温(华氏):月份 1 2 3 4 5 6平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6月份 7 8 9 10 11 12平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据;(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?①=cos;②=cos;③=cos.尝试解答通性通法 根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.【跟踪训练】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的海浪高度的平均值如下表:t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)作出这些数据的散点图;(2)从y=at+b,y=Asin(ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当海浪高度不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.1.如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin(x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A.5 B.6C.8 D.102.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, 五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A.[0,5] B.[5,10]C.[10,15] D.[15,20]3.电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin,则当t=时,电流强度为 A.4.一物体相对于某一固定位置的位移y(cm)和时间t(s)之间的一组对应值如下表所示,则可近似地描述该物体的位移y和时间t之间的关系的一个三角函数式为 .t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.05.某地一年中12个月的平均气温y(单位:℃)与月份x(单位:月)的关系可近似地用函数y=a+Acos[(x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.8 三角函数的简单应用【基础知识·重落实】知识点A 自我诊断1.C 相位是5x-,当x=0时的相位为初相即-.2.C 由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往返一次.3.D 依题意是求函数s=6sin的周期,T==1,故选D.【典型例题·精研析】【例1】 解:(1)因为ω=160π,所以T==(min),所以函数p(t)的周期为 min.(2)此人每分钟心跳的次数为函数的频率f==80(次).(3)列表:t 0p(t) 115 140 115 90 115描点、连线并向左右平移得到函数p(t)的简图如图所示:(4)由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.跟踪训练 解:(1)当t=0时,E=110(V).即开始时的电压为110 V.(2)T==(s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值为220 V.当100πt+=,即t= s时第一次取得最大值.【例2】 解:因为叶轮每分旋转2周,所以f==.又因为f=,T=,所以ω=2πf=2π×=.因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,所以叶轮顶点应该在离圆心7 m范围内变化,即函数振幅a=7.因为叶轮顶点从离地面最低点,经过=15 s后到达最高点,可得ω(15-b)=,即b=15-=.圆心离地面的高度为7.5 m,所以c=.综上可得函数解析式为y=7sin[(t-)]+.跟踪训练 解:(1)因为函数为y=f(x)=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π),由①,得周期T==12,所以ω=.由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故A=200.由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,所以解得因为f(2)最小,f(8)最大,所以由于0<|φ|<π,因此φ=-,所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为y=f(x)=200sin+300(x∈N*,且1≤x≤12).(2)由条件可知200sin+300≥400,化简得sin≥,所以2kπ+≤x-≤2kπ+(k∈Z).解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因为x∈N+,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐.【例3】 解:(1)如图.(2)最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故=7-1=6,所以T=12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.(3)因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由模型②知当x=0时,y取最大值,而x=月份-1,即1月份的气温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③.跟踪训练 解:(1)散点图如图所示.(2)由(1)知选择y=Asin(ωt+φ)+b较合适.令A>0,ω>0,|φ|<π.由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω==.把t=0,y=1代入y=0.4sin+1,得φ=0.故所求拟合模型的解析式为y=0.4sint+1(0≤t≤24).(3)由y=0.4sint+1≥0.8,得sint≥-.则-+2kπ≤t≤+2kπ(k∈Z),即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.随堂检测1.C 由图象知ymin=2.因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.2.C 由2kπ-≤≤2kπ+,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z.当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15] [3π,5π],故选C.3.2.5 解析:将t=代入I=5sin(100πt+),得I=2.5,故电流强度为2.5 A.4.y=-4cos t 解析:设y=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0),则从表中数据可以得到A=4,ω===,由4sin φ=-4.0,得sin φ=-1,取φ=-,故y=4sin,即y=-4cos t.5.20.5 解析:当x=6时,ymax=a+A=28,当x=12时,ymin=a-A=18,解得a=23,A=5,所以得函数y=23+5cos[(x-6)],所以当x=10时,y=23+5cos[(10-6)]=20.5.3 / 4(共68张PPT)§8 三角函数的简单应用新课程标准解读 核心素养1.会用三角函数解决简单的实际问题 数学建模、数学运算2.可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型 数学建模、数学运算目录基础知识·重落实01典型例题·精研析02知能演练·扣课标03基础知识·重落实01课前预习 必备知识梳理如图是交变电流产生的示意图.线圈在匀强磁场中按逆时针方向匀速旋转产生交变电流(电刷及回路等部分省略),当线圈处于如图所示的位置时,线圈中的感应电流y达到最大值A;当线圈由此位置逆时针旋转90°后到达与此平面垂直的位置时,线圈中的感应电流y为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达水平位置时,线圈中的感应电流y达到反向最大值-A;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达垂直位置时,线圈中的感应电流y又一次为0;当线圈继续逆时针旋转90°后再次到达图示位置时,线圈中的感应电流y又一次达到最大值A. 这样周而复始,形成周期变化.【问题】 (1)交变电流的电流强度可以用什么三角函数模型刻画?(2)以如图位置开始计时,则模型的初相是多少? 知识点 函数y=A sin (ωx+φ),A>0,ω>0中参数的物理意义1. 简谐运动y=4 sin 的相位与初相是( )解析: 相位是5x- ,当x=0时的相位为初相即- .2. 如图为某简谐运动的图象,这个简谐运动往返一次所需时间为( )A. 0.4 s B. 0.6 s C. 0.8 s D. 1.2 s解析: 由图象知周期T=0.8-0=0.8,则这个简谐运动需要0.8 s往返一次.3. 如图所示,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置O的距离s(cm)和时间t(s)的函数关系式为s=6 sin ,那么单摆摆动一个周期所需的时间为( )A. 2π s B. π s解析: 依题意是求函数s=6 sin 的周期,T= =1,故选D.C. 0.5 s D. 1 s典型例题·精研析02课堂互动 关键能力提升题型一 已知三角函数解析式解决实际问题【例1】 心脏跳动时,血压在增加或减少.血压的最大值、最小值分别称为收缩压和舒张压.设某人的血压满足函数式p(t)=115+25sin 160πt,其中p(t)为血压(单位:mmHg),t为时间(单位:min),试回答下列问题:(1)求函数p(t)的周期;解:因为ω=160π,所以T= = (min),所以函数p(t)的周期为 min.(2)求此人每分钟心跳的次数;解:此人每分钟心跳的次数为函数的频率f= =80(次).(3)画出函数p(t)的草图;解:列表:t 0p(t) 115 140 115 90 115描点、连线并向左右平移得到函数p(t)的简图如图所示:(4)求出此人的血压在血压计上的读数.解:由图可知此人的收缩压为140 mmHg,舒张压为90 mmHg.通性通法 解决此类问题的关键是将实际意义与函数模型y=A sin (ωx+φ)的性质相结合,转化为数学问题再解决.【跟踪训练】交流电的电压E(单位:V)与时间t(单位:s)的关系可用E=220 · sin 来表示,求:(1)开始时电压;解:当t=0时,E=110 (V).即开始时的电压为110 V.(2)电压值重复出现一次的时间间隔;解:T= = (s),即时间间隔为0.02 s.(3)电压的最大值和第一次获得最大值的时间.解:电压的最大值为220 V.当100πt+ = ,即t= s时第一次取得最大值.题型二 已知函数模型确定函数解析式【例2】 如图,风车叶轮的最高点离地面14.5 m,叶轮旋转所成圆的直径为14 m,叶轮以每分钟旋转2周的速度匀速转动.以叶轮顶点离地面的高度y(单位:m)与叶轮顶点离地面最低点开始转的时间t(单位:s)建立一个数学模型,用函数y=a sin [ω·(t-b)]+c来表示,求参数a,b,c,ω的值,并写出函数解析式.解:因为叶轮每分旋转2周,所以f= = .又因为f= ,T= ,所以ω=2πf=2π× = .因为叶轮旋转所成圆的直径为14 m,所以叶轮顶点应该在离圆心7 m范围内变化,即函数振幅a=7.因为叶轮顶点从离地面最低点,经过 =15 s后到达最高点,可得ω(15-b)= ,即b=15- = .圆心离地面的高度为7.5 m,所以c= .综上可得函数解析式为y=7 sin [ (t- )]+ .通性通法三角函数解析式的求法 求y=A sin (ωx+φ)+b的解析式时,一定要清楚影响A,ω,φ,b的因素,A= ,b= ,ω与周期有关,φ可用特殊点来求,当已知A,b时,也可以根据相位对应法列出方程组求ω,φ的值.【跟踪训练】 某景区客栈的工作人员为了控制经营成本,减少浪费,合理安排入住游客的用餐,他们通过统计每个月入住的游客人数,发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化,并且有以下规律:①每年相同的月份,入住客栈的游客人数基本相同;②入住客栈的游客人数在2月份最少,在8月份最多,相差约400人;③2月份入住客栈的游客约为100人,随后逐月递增直到8月份达到最多.(1)若入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系可用函数y=f(x)=A sin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π)近似描述,求该函数解析式;解:因为函数为y=f(x)=A sin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0<|φ|<π),由①,得周期T= =12,所以ω= .由②,得f(2)最小,f(8)最大,且f(8)-f(2)=400,故A=200.由③,得f(x)在[2,8]上递增,且f(2)=100,所以f(8)=500,所以解得因为f(2)最小,f(8)最大,所以由于0<|φ|<π,因此φ=- ,所以入住客栈的游客人数y与月份x之间的关系式为y=f(x)=200 sin +300(x∈N*,且1≤x≤12).(2)哪几个月份要准备不少于400人的用餐?解:由条件可知200 sin +300≥400,化简得 sin ≥ ,所以2kπ+ ≤ x- ≤2kπ+ (k∈Z).解得12k+6≤x≤12k+10(k∈Z).因为x∈N+,且1≤x≤12,所以x=6,7,8,9,10.即只有6,7,8,9,10五个月份要准备不少于400人的用餐.题型三 三角函数模型的拟合【例3】 下表是某地某年月平均气温(华氏):月份 1 2 3 4 5 6平均气温 21.4 26.0 36.0 48.8 59.1 68.6月份 7 8 9 10 11 12平均气温 73.0 71.9 64.7 53.5 39.8 27.7以月份为x轴(x=月份-1),以平均气温为y轴.(1)用正弦曲线去拟合这些数据;解:如图.(2)估计这个正弦曲线的周期T和振幅A;解:最低气温为1月份21.4,最高气温为7月份73.0,故 =7-1=6,所以T=12.因为2A的值等于最高气温与最低气温的差,即2A=73.0-21.4=51.6,所以A=25.8.(3)下面三个函数模型中,哪一个最适合这些数据?① = cos ;② = cos ;③ = cos .解:因为模型①的周期为12π,所以由(2)知①错误;由模型②知当x=0时,y取最大值,而x=月份-1,即1月份的气温最高,这与(2)中的结论矛盾,所以应选③.通性通法 根据收集的数据,先画出相应的“散点图”,观察散点图,然后进行函数拟合获得具体的函数模型,然后利用这个模型解决实际问题.【跟踪训练】 某帆板集训队在一海滨区域进行集训,该海滨区域的海浪高度y(米)随着时间t(0≤t≤24,单位:时)呈周期性变化,每天各时刻t的海浪高度的平均值如下表:t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24y(米) 1.0 1.4 1.0 0.6 1.0 1.4 0.9 0.5 1.0(1)作出这些数据的散点图;解:散点图如图所示.(2)从y=at+b,y=A sin (ωt+φ)+b和y=Atan(ωt+φ)中选一个合适的函数模型,并求出该模型的解析式;解:由(1)知选择y=A sin (ωt+φ)+b较合适.令A>0,ω>0,|φ|<π.由图可知,A=0.4,b=1,T=12,所以ω= = .把t=0,y=1代入y=0.4 sin +1,得φ=0.故所求拟合模型的解析式为y=0.4 sin t+1(0≤t≤24).(3)如果确定在一天内的7时到19时之间,当海浪高度不低于0.8米时才进行训练,试安排恰当的训练时间.解:由y=0.4 sin t+1≥0.8,得 sin t≥- .则- +2kπ≤ t≤ +2kπ(k∈Z),即12k-1≤t≤12k+7(k∈Z),注意到t∈[0,24],所以0≤t≤7,或11≤t≤19,或23≤t≤24,再结合题意可知,应安排在11时到19时训练较恰当.1. 如图,某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=3sin ( x+φ)+k,据此函数可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为( )A. 5 B. 6C. 8 D. 10解析: 由图象知ymin=2.因为ymin=-3+k,所以-3+k=2,解得k=5,所以这段时间水深的最大值是ymax=3+k=3+5=8.2. 商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数, 五一某商场的人流量满足函数F(t)=50+4 sin (t≥0),则在下列哪个时间段内人流量是增加的( )A. [0,5] B. [5,10]C. [10,15] D. [15,20]解析: 由2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,知函数F(t)的单调递增区间为[4kπ-π,4kπ+π],k∈Z. 当k=1时,t∈[3π,5π],而[10,15] [3π,5π],故选C.3. 电流强度I(单位:A)随时间t(单位:s)变化的关系式是I=5sin ,则当t= 时,电流强度为 A.解析:将t= 代入I=5 sin ,得I=2.5,故电流强度为2.5 A.2.5 t 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8y -4.0 -2.8 0.0 2.8 4.0 2.8 0.0 -2.8 -4.0y=-4 cos t 解析:设y=A sin (ωt+φ)(A>0,ω>0),则从表中数据可以得到A=4,ω= = = ,由4 sin φ=-4.0,得 sin φ=-1,取φ=- ,故y=4 sin ,即y=-4 cos t.5. 某地一年中12个月的平均气温y(单位:℃)与月份x(单位:月)的关系可近似地用函数y=a+A cos [ (x-6)](x=1,2,3,…,12)来表示.已知6月份的月平均气温最高,为28 ℃,12月份的月平均气温最低,为18 ℃,则10月份的平均气温为 ℃.解析:当x=6时,ymax=a+A=28,当x=12时,ymin=a-A=18,解得a=23,A=5,所以得函数y=23+5 cos [ (x-6)],所以当x=10时,y=23+5 cos [ (10-6)]=20.5.20.5 知能演练·扣课标03课后巩固 核心素养落地1. 电流I(A)随时间t(s)变化的关系是I=2 sin 100πt,t∈(0,+∞),则电流I变化的频率是( )B. 100D. 50解析: 因为T= = ,所以f= =50.故选D.1234567891011121314152. 一根长l cm的线,一端固定,另一端悬挂一个小球,小球摆动时离开平衡位置的位移s(cm)与时间t(s)的函数关系式是s=3 cos( t+ ),其中g是重力加速度,当小球摆动的周期是1 s时,线长l为( )解析: 因为周期T= ,所以 = =2π,则l= cm.1234567891011121314153. 在两个弹簧上各有一个质量分别为M1和M2的小球做上下自由振动.已知它们在时间t(s)离开平衡位置的位移s1(cm)和s2(cm)分别由s1=5 sin (2t+ ),s2=10 cos 2t确定,则当t=s时,s1与s2的大小关系是( )A. s1>s2 B. s1<s2C. s1=s2 D. 不能确定解析: 当t= 时,s1=5 sin ( + )=5 sin =-5,s2=10 cos =10×(- )=-5,故s1=s2.1234567891011121314154. 某时钟的秒针端点A到中心点O的距离为5 cm,秒针绕点O匀速旋转,当时间t=0时,点A与钟面上标12的点B重合,当t∈[0,60]时,A,B两点间的距离为d(单位:cm),则d=( )解析: 由题知,t s转过的圆心角为 ,过点O作AB的垂线,则AB=2×5× sin =10 sin .故选D.1234567891011121314155. (多选)如图是某市夏季某一天的温度变化曲线,若该曲线近似地满足函数y=A sin (ωx+φ)+B(0<φ<π),则下列说法正确的是( )A. 该函数的周期是16B. 该函数图象的一条对称轴是直线x=14D. 这一天的函数关系式也适用于第二天123456789101112131415解析: 由题意以及函数的图象可知,A+B=30,-A+B=10,∴A=10,B=20.∵ =14-6,∴T=16,A正确;∵T=,∴ω= ,∴y=10 sin +20.∵图象经过点(14,30),∴30=10 sin +20,∴ sin =1,∴φ可以取 ,∴y=10 sin ( x+ )+20(0≤x<24),B正确,C错;这一天的函数关系式只适用于当天,第二天这个关系式不一定适用,∴D错.故选A、B.1234567891011121314156. 如图,某动物种群数量1月1日(t=0时)低至700,7月1日高至900,其总量在此两值之间按照曲线y=A sin (ωt+φ)+b变化,则A,b的值分别为 , 800 .解析:由题图,得100 800解得1234567891011121314157. 某市房地产介绍所对本市一楼群的房价进行了统计与预测,发现每个季度的平均单价y(每平方米的价格,单位:元)与第x季度之间近似满足函数表达式y=500 sin (ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π).已知第一、二季度的平均单价如表所示,x 1 2y 10 000 9 500则此楼群在第三季度的平均单价大约是 元.解析:将表格中的数据分别代入y=500 sin (ωx+φ)+9 500(0<ω<π,|φ|<π),可得ω= ,φ=0,所以y=500 sin x+9500,将x=3代入可得y=9 000.9 000 1234567891011121314158. 某实验室一天的温度(单位:℃)随时间t(单位:h)的变化近似满足函数关系f(t)=10-2 sin .要求实验室温度不高于11 ℃,则实验室需要降温的时间段是 时到 18 时.解析:依题意,当f(t)>11时,实验室需要降温.所以10-2 sin >11,即 sin <- .又0≤t<24,所以 < t+ < ,即10<t<18.10 181234567891011121314159. 通常情况下,同一地区一天的温度随时间变化的曲线接近函数y=A sin (ωx+φ)+b的图象.2024年3月下旬北京地区连续几天最高温度都出现在14时,最高温度为14 ℃;最低温度出现在凌晨2时,最低温度为零下2 ℃.(1)求出北京地区该时段的温度函数y=A sin (ωx+φ)+b(A>0,ω>0,|φ|<π,x∈[0,24))的表达式;123456789101112131415解:由题意知解得易知 =14-2,所以T=24,所以ω= ,则y=8 sin +6.123456789101112131415易知8 sin +6=-2,即 sin =-1,故 +φ=- +2kπ,k∈Z,又|φ|<π,得φ=- ,所以y=8 sin +6(x∈[0,24)).123456789101112131415(2)3月29日上午9时某高中将举行模拟考试,如果温度低于10 ℃,教室就要开空调,请问届时学校后勤应该开空调吗?解:当x=9时,y=8 sin +6=8 sin +6<8 sin +6=10.所以届时学校后勤应该开空调.12345678910111213141510. 如图,A是轮子外边沿上的一点,轮子半径为0.3 m.若轮子从图中位置向右无滑动滚动,则当滚动的水平距离为2.2 m时,下列描述正确的是(参考数据:7π≈21.991)( )A. 点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 mB. 点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.15 mC. 点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.26 mD. 点A在轮子的右下位置,距离地面约为0.04 m123456789101112131415解析: 已知轮子的半径r=0.3 m,轮子滚动一周的水平距离为2πr=0.6π m,又7π≈21.991,∴0.7π≈2.2,∴0.7π-0.6π=0.1π,又 = (周),∴ ×2π= π,故A在轮子左下位置.可得轮子距地面距离h=0.3-0.3 cos =0.3× =0.15(m).∴点A在轮子的左下位置,距离地面约为0.15 m.故选A.123456789101112131415 解析:假设三角函数模型为y=A sin ωt+b,由题意知,A=0.2,b=3.8,T=10,∴ω= = ,∴y=0.2 sin t+3.8(t>0).y=0.2 sin t+3.8(t>0)(答案不唯一) 12345678910111213141512. 设偶函数f(x)=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,△KLM为等腰直角三角形,∠KML=90°,|KL|=1,则f = . 123456789101112131415解析:取KL的中点N并连接MN(图略),则MN= ,即A= ,由题意知T=2,∴ω=π.∵函数为偶函数,0<φ<π,∴φ= ,∴f(x)= cos πx,∴f = cos = .12345678910111213141513. 如图,弹簧上挂着的小球做上下振动,它在t(单位:s)时相对于平衡位置(静止时的位置)的高度h(单位:cm)由关系式h=A sin (ωx+ )确定,其中A>0,ω>0,t≥0.在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,且最高点与最低点间的距离为10 cm.123456789101112131415解:因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为10 cm,所以A= =5.因为在一次振动中,小球从最高点运动至最低点所用时间为1 s,所以周期为2,即T=2= ,所以ω=π,所以h=5 sin (πx+ ),t≥0.(1)求小球相对平衡位置的高度h(单位:cm)和时间t(单位:s)之间的函数关系;123456789101112131415(2)小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,求t0的取值范围.解:由题意,当t= 时,小球第一次到达最高点,以后每隔一 个周期都出现一次最高点,因为小球在t0 s内经过最高点的次数恰为50次,所以49T+ ≤t0<50T+ .因为T=2,所以98 ≤t<100 ,所以t0的取值范围为[98 ,100 ).12345678910111213141514. (多选)如图,摩天轮的半径为40 m,其中心O点距离地面的高度为50 m,摩天轮按逆时针方向匀速转动,且20 min转一圈,若摩天轮上点P的起始位置在最高点处,则摩天轮转动过程中,下列说法正确的是( )A. 经过10 min点P距离地面10 mC. 第17 min和第43 min时P点距离地面的高度相同123456789101112131415解析: 建立如图所示的平面直角坐标系,设φ(0≤φ<2π)是以x轴的非负半轴为始边,OP0(P0表示点P的起始位置)为终边的角,由点P的起始位置在最高点知,φ= ,又由题知OP在t min内转过的角为 t,即 ,所以以x轴的非负半轴为始边,OP为终边的角为 + ,即点P的纵坐标为40 sin ,所以点P距离地面的高度h关于旋转时间t的函数关系式是h(t)=50+40 sin =50+40 cos .123456789101112131415当t=10时,h=50+40 cos π=10,A正确;当转速减半时,周期是原来的2倍,B错误;h(17)=50+40 cos =50+40 cos ,h(43)=50+40 cos =50+40 cos ,C正确;由h(t)=50+40 cos ≥70得 cos ≥ ,解得2kπ- ≤ ≤2kπ+ ,k∈Z,即20k- ≤t≤20k+ ,k∈Z,因此一个周期内高度不低于70 m的时长为 min,D正确.故选A、C、D.12345678910111213141515. 如图所示,某小区为美化环境,准备在小区内的草坪的一侧修建一条直路OC,另一侧修建一条休闲大道.休闲大道的前一段OD是函数y=k (k>0)的图象的一部分,后一段DBC是函数y=A sin (ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈[4,8])的图象,图象的最高点为B ,且DF⊥OC,垂足为点F.123456789101112131415解:由图象,可知A= ,ω== = ,将B 代入y= sin 中,得 +φ=2kπ+ (k∈Z),即φ=2kπ- (k∈Z).因为|φ|< ,所以φ=- ,故y= sin ,x∈[4,8].(1)求函数y=A sin (ωx+φ)的解析式;123456789101112131415(2)若在草坪内修建如图所示的矩形儿童乐园PMFE,点P在曲线OD上,其横坐标为 ,点E在OC上,求儿童乐园的面积.123456789101112131415解:在y= sin 中,令x=4,得D(4,4),从而得曲线OD的方程为y=2 (0≤x<4),则P ,所以矩形PMFE的面积为S= × = ,即儿童乐园的面积为 .123456789101112131415谢 谢 观 看! 展开更多...... 收起↑ 资源列表 8 三角函数的简单应用.docx 8 三角函数的简单应用.pptx 8 三角函数的简单应用(练习,含解析).docx