6.1.3全概率公式 课件(共34张PPT)高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

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6.1.3全概率公式 课件(共34张PPT)高一上学期数学 北师大版2019 选择性必修第一册

资源简介

(共34张PPT)
全概率公式
复习引入
新课探究
分析:设事件Bi=“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A=“取得红球”,其中B1,B2,B3两两 ,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一 ,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两 .
问题1:如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,求取得红球的概率.
互斥
同时发生
互斥
问题1:如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,求取得红球的概率.
解:运用互斥事件概率的加法公式得到
P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)
∴取得红球的概率为
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
再对求和中的每一项运用乘法公式得
按照某种标准,将一个复杂事件表示为两个互斥事件的并,再由概率的加法公式和乘法公式求得这个复杂事件的概率.
规律方法
问题2:某电子设备制造厂所用的元件是由三家元件制造厂提供的,根据以往的记录有如表的数据:
元件制造厂 次品率 提供元件的份额
1 0.02 0.15
2 0.01 0.80
3 0.03 0.05
设这三家元件制造厂的元件在仓库中是均匀混合的,且无区别的标志.在仓库中随机地取一只元件,求它是次品的概率.
分析:设事件Bi=“所取到的产品是由第i家元件制造厂提供的”(i=1,2,3),事件A=“取到的是一件次品”,其中B1,B2,B3两两 ,A发生总是伴随着B1,B2,B3之一 ,即A=B1A∪B2A∪B3A,且B1A,B2A,B3A两两 .
互斥
解:运用互斥事件概率的加法公式和乘法公式,得
P(A)=P(B1A)+P(B2A)+P(B3A)
=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
=0.15×0.02+0.80×0.01+0.05×0.03
=0.0125 .
互斥
同时发生
∴它是次品的概率为0.0125 .
思考:上述两个问题有什么共性?
若A是由原因Bi(i=1,2,…,n)所引起,则A发生的概率是P(ABi)=P(Bi)P(A|Bi),由于每一个原因都可能导致A发生,且各原因涵盖所有可能的情形并彼此互斥,故事件A发生的概率是各原因引起A发生概率的总和,即
设Ω是试验E的样本空间,B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一组事件,若
(1)BiBj= ,其中i≠j(i,j=1,2,…,n),
(2)B1∪B2∪…∪Bn=Ω.
则称B1,B2,…,Bn为样本空间Ω的一个划分.
条件(2)表示每次试验B1,B2,…,Bn必有一个发生.
条件(1)表示每次试验B1,B2,…,Bn中只能发生一个;
新课讲授
设为样本空间的一个划分,若,则对任意一个事件有
称上式为全概率公式.
如果我们把看成导致事件发生的各种可能“原因”,那么,全概率公式告诉我们:
事件发生的概率恰好是事件在这些“原因”下发生的条件概率的平均.
抽象概括
1.公式蕴含的数学思想
全概率公式蕴含了化整为零、化复杂为简单的数学思想.
表示将一个复杂事件的概率分解成若干个简单事件之和的概率.
2.公式蕴含的运算
公式中包含了两个主要的运算过程:
①概率的加法公式.
②概率的乘法公式.
因此,全概率公式是加法公式与乘法公式的综合运用.
新知感悟
例1 采购员要购买某种电器元件一包(10个).他的采购方法是:从一包中随机抽查3个,如这3个元件都是好的,他才买下这一包.假定含有4个次品的包数占30%,而其余包中各含1个次品,求采购员随机挑选一包拒绝购买的概率.
【解】设事件表示“取到的是含有4个次品的包”,事件表示“取到的是含有1个次品的包”,事件表示“采购员拒绝购买”.则构成样本空间的一个划分,且,.
又由古典概型计算概率的公式,可知,.
从而由全概率公式,可知
=×+×=.
因此,采购员随机挑选一包拒绝购买的概率为.
典例剖析
运用全概率公式的一般步骤如下:
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的几部分 .
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率 .
可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.
反思总结
分析:“甲班中女生占,乙班中女生占”表示女生在新的样本空间(甲班或乙班)下的概率值,即为条件概率,用B表示女生,用A和 分别表示同学在甲班与乙班,则
由甲、乙两班人数之比为5:3,可得
例2:某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
解:如果用A与分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的,
B表示是女生.
P(B) =P(A) .
由全概率公式可知
则根据已知,有
而且
例2:某次社会实践活动中,甲、乙两个班的同学共同在一社区进行民意调查,参加活动的甲、乙两班的人数之比为5:3,其中甲班中女生占,乙班中女生占.求该社区居民遇到一位进行民意调查的同学恰好是女生的概率.
例3 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中且击落的概率为0.2,被两人击中且击落的概率为0.6,若三人都击中,飞机必定被击落,求飞机被击落的概率.
【解】设事件表示“飞机被击落”,事件表示“飞机被人击中”,
则构成样本空间的一个划分,
且依题意,.
再设事必然事件.件Hi表示“飞机被第i人击中” (i=1,2,3).
则=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7=0.36.            
同理0.41,
  ,0.09.           
由全概率公式,可知
=0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
因此,飞机被击落的概率为0.458.
1. 现有12道四选一 的单选题,学生周期函数对其中9道题有思路,3道题完全没有思路. 有思路的题做对的概率为0.9,没有思路的题只好任意猜一个答案,猜对答案的概率为0.25. 周期函数从这12道题中随机选择1题,他做对该题的概率为 .
0.7375
课堂巩固
2.有一批同一型号的产品,已知其中由一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占20%.又知这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,则从这批产品中任取一件是次品的概率是( )
A.0.013 B.0.04 C.0.002 D.0.003
A
设为样本空间的一个划分,若,则对任意一个事件有 称上式为全概率公式.
本课小结
运用全概率公式的一般步骤如下:
(1)拆分:将样本空间拆分成互斥的几部分 .
(2)计算:利用乘法公式计算每一部分的概率.
(3)求和:所求事件的概率 .
贝叶斯公式
设为样本空间的一个划分,若,则对任意一个事件有 称上式为全概率公式.
复习引入
运用全概率公式的一般步骤如下:
(1)求出样本空间的一个划分;
(2)求;
(3)求;
(4)求目标事件的概率.
可以形象地把全概率公式看成“由原因推结果”,每个原因对结果的发生有一定的“作用”,即结果发生的可能性与各种原因的“作用”大小有关.全概率公式表达了它们之间的关系.
已知某厂生产的食盐优质品率为90%,而且优质品中包装达标的占95%;非优质品中,包装达标的占80%.用A表示是优质品,B表示包装达标.
问题:(1)随机取一袋,发现这袋食盐包装达标且是优质品的概率是多少?
P(AB)=90%×95%=85.5%
(2)随机取一袋,发现这袋食盐包装达标的概率是多少?
P(B)=P(A)P(B|A)+ P()=90%×95%+(1-90%)×80%=93.5%.
(3)随机取了一袋,发现包装是达标的,那么这袋食盐是优质品的概率是多少?
用符号如何表示?
新课探究
一般地,当1>P(A)>0且P(B)>0时,有
其中P(A)是根据历史数据发现的,通常称先验概率,
P(A|B)是获取新信息后算出的,通常称为后验概率.
贝叶斯公式
形成新知
例1:有3台车床加工同一型号的零件,第1台加工的次品率为6%,第2,3台加工的次品率均为5%,加工出来的零件混放在一起.已知第1,2,3台车床加工的零件数分别占总数的25%,30%,45%.
(1)任取一个零件,计算它是次品的概率;
(2)如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率.
解:设B=“任取一个零件为次品”,Ai=“零件为第i台车床加工”(i=1,2,3),
则Ω=A1且A1,A2,A3两两互斥.
根据题意得P(A1)=0.25,P(A2)=0.3,P(A3)=0.45,
P(B|A1)=0.06,P(B|A2)=P(B|A3)=0.05.
(1)由全概率公式,得P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0 525.
(2)“如果取到的零件是次品,计算它是第i(i=1,2,3)台车床加工的概率”,就是计算在B发生的条件下,事件Ai发生的概率.
P(A1|B)====
类似地,可得P(A2|B)=,P(A3|B)=.
方法归纳
例2:如图,有三个箱子,分别编号为1,2,3,其中1号箱装有1个红球和4个白球,2号箱装有2个红球和3个白球,3号箱装有3个红球,这些球除颜色外完全相同.某人先从三箱中任取一箱,再从中任意摸出一球,发现是红球,求该球是取自1号箱的概率以及该球取自几号箱的可能性最大.
解:设事件Bi表示“球取自i号箱”(i=1,2,3),事件A表示“取得红球”.
由全概率公式,可得
P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)
再由条件概率知,
∴该球是取自1号箱的概率为 该球取自3号箱的可能性最大.
例3 三部机器生产同样的零件,其中机器甲生产的占 ,机器乙生产的占,机器丙生产的占.已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有, 和 不合格,现从总产品中随机地抽取一个零件,发现是不合格品,求:
(1)它是由机器甲生产出来的概率;
(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性最大.
解:(1)用,,分别表示任取的零件为机器甲、机器乙、机器丙生产, 表示抽取的零件是不合格品.
由条件知,,, ,
, .
根据贝叶斯公式,它是由机器甲生产出来的概率
.
(2) , .
因为 ,所以是由机器甲生产出来的可能性最大.
如果随机试验可以看成分两个阶段进行,且第一阶段的各试验结果具体怎样未知,那么:
(1)若要求的是第二阶段某一个结果发生的概率,则用全概率公式;
(2)若第二个阶段的某一个结果是已知的,要求的是此结果为第一阶段某一个结果所引起的概率,则一般用贝叶斯公式,类似于求条件概率.
熟记这个特征,在遇到相关的题目时,可以准确地选择方法进行计算,保证解题的正确高效.
反思总结
课堂巩固
1.有朋自远方来,乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4,迟到的概率分别为0.25,0.3,0.1,0,则他迟到的概率为(  )
A.0.65   B.0.075    C.0.145   D.0
2.某单位选派一支代表队参加市里的辩论比赛,现有“初心”“使命”两支预备队,选哪支队是随机的,其中选“初心”队获胜的概率为 ,选“使命”队获胜的概率为 ,在该单位在比赛中获胜的条件下,选“使命”队参加比赛的概率为( )
A. B. C. D.
C
A
3.两台机床加工同样的零件,第一台的废品率为0.04,第二台的废品率为0.07,加工出来的零件混放,并设第一台加工的零件是第二台加工零件的2倍,现任取一零件,则它是合格品的概率为(  )
A.0.21  B.0.06  C.0.94  D.0.95
4.甲袋中有5个白球,7个红球;乙袋中有4个白球,2个红球(甲、乙两袋中的球除颜色外完全相同).从两个袋子中任取一袋,然后从所取到的袋子中任取1球,则取到的是白球的概率是__ .
D
课堂小结
全概率公式
贝叶斯公式

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