资源简介

一、数学运算
　　在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值问题进一步培养学生的数学运算核心素养.
培优一 三角函数的定义域、值域问题
【例1】　（1）函数y＝ 的定义域为　　　　，值域为　　　　；
尝试解答
（2）求函数y＝－2sin＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.
尝试解答
培优二 利用三角函数的性质求最值
【例2】　（1）若y＝，则ymax＝　　　　，ymin＝　　　　；
（2）已知函数y＝asin＋b在x∈上的值域为[－5，1]，求a，b的值.
尝试解答
培优三 化简求值问题
【例3】　（1）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P，则sin（α＋π）＝　　　　；
（2）化简.
尝试解答
　　
培优四 利用三角函数性质求值
【例4】　（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝sin（ωx＋）＋b（ω＞0）的最小正周期为T.若＜T＜π，且y＝f（x）的图象关于点中心对称，则f＝（　　）
A.1 B.
C. D.3
尝试解答
二、逻辑推理
　　逻辑推理在本章中主要体现在任意角的三角函数的定义、有关弧长和面积的计算、图象变换、三角函数式的化简与证明等问题中.
培优五 三角函数的定义及有关弧长、面积的计算
【例5】　（1）若－＜α＜0，则点P（tan α，cos α）位于（　　）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
（2）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作正三角形的渐开线，其中弧、弧、弧的圆心依次是A，B，C，如果AB＝1，那么曲线CDEF的长是　　　　，曲线CDEF围成图形的面积是　　　　.
尝试解答
培优六 三角函数式的化简或恒等式的证明
【例6】　已知A，B，C为△ABC的内角.若cos（＋A）·sin（＋B）＜0，求证：△ABC为钝角三角形.
尝试解答
培优七 三角函数图象的变换
【例7】　（2022·全国甲卷5题）将函数f（x）＝sin（ω＞0）的图象向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则ω的最小值是（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答
三、直观想象
　　在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用问题中.
培优八 三角函数图象的识别
【例8】　（多选）如图是函数y＝sin（ωx＋φ）的部分图象，则sin（ωx＋φ）＝（　　）
A.sin　　　　　B.sin
C.cos D.cos
尝试解答
培优九 三角函数图象的应用
【例9】　已知函数f（x）＝2cos（ωx＋φ）的部分图象如图所示，则f＝　　　　.
尝试解答
【例10】　（2024·新高考 Ⅰ 卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝sin x与y＝2sin（3x－）的交点个数为（　　）
A.3 B.4
C.6 D.8
尝试解答
四、数学建模
在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的应用中.
培优十 三角函数模型的应用
【例11】　历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
A.3n B.6n
C.3n D.6n
尝试解答
章末复习与总结
【例1】　（1），k∈Z　
解析：要使函数y＝有意义，则cos x－≥0，即cos x≥.解得2kπ－≤x≤2kπ＋，k∈Z.故函数的定义域为，k∈Z.又∴0≤≤，即函数的值域为.
（2）解：∵x∈[0，π]，
∴x＋∈，
∴－≤sin≤1.
∴当sin＝1，即x＝时，y取得最小值1；
当sin＝－，即x＝π时，y取得最大值4.
故函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为4，最小值为1.
【例2】　（1）3　　解析：∵y＝，∴（2＋cos x）y＝2－cos x，得（y＋1）cos x＝2－2y，∴cos x＝.又∵－1≤cos x≤1，∴－1≤≤1，解得≤y≤3，即ymax＝3，ymin＝.
（2）解：∵x∈，
∴2x＋∈，
sin∈.
∴当a＞0时，
解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
【例3】　（1）　解析：由角α的终边过点P，得sin α＝－，
∴sin（α＋π）＝－sin α＝.
（2）解：原式＝
＝＝1.
【例4】　A　因为＜T＜π，所以＜＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝f（x）的图象关于点中心对称，所以b＝2，且sin＋b＝2，即sin＝0，所以ω＋＝kπ（k∈Z），又2＜ω＜3，所以＜ω＋＜，所以ω＋＝4π，解得ω＝，所以f（x）＝sin＋2，所以f＝sin＋2＝sin ＋2＝1.故选A.
【例5】　（1）B　（2）4π　π
解析：（1）因为－＜α＜0，所以tan α＜0，cos α＞0，所以点P（tan α，cos α）位于第二象限.
（2）因为∠DAC＝∠DBE＝∠ECF＝120°＝，所以弧的长是×1＝，S扇形ACD＝××1＝，弧的长是×2＝，S扇形BDE＝××2＝，弧的长是×3＝2π，S扇形CEF＝×2π×3＝3π，则曲线CDEF的长是＋＋2π＝4π；面积为＋＋3π＝π.
【例6】　证明：∵cos（＋A）sin（π＋B）＜0，
∴（－sin A）（－cos B）＜0，
即sin Acos B＜0，
又∵A，B，C∈（0，π），
∴sin A＞0，sin C＞0，∴＜0，
即cos B＜0，cos C＞0或cos B＞0，cos C＜0，∴B为钝角或C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形.
【例7】　C　记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝sin＝sin［ωx＋］.因为函数g（x）的图象关于y轴对称，所以ω＋＝kπ＋（k∈Z），得ω＝2k＋（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝.故选C.
【例8】　BC　由题图可知，函数的最小正周期T＝2（－）＝π，∴＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝sin（2x＋φ），将点（，0）代入得，sin（2×＋φ）＝0，∴2×＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即φ＝2kπ＋，k∈Z，故y＝sin（2x＋）.由于y＝sin（2x＋）＝sin＝sin（－2x），故选项B正确；y＝sin（－2x）＝cos＝cos（2x＋），选项C正确；对于选项A，当x＝时，sin（＋）＝1≠0，错误；对于选项D，当x＝＝时，cos（－2×）＝1≠－1，错误；当ω＝－2时，y＝sin（－2x＋φ），将（，0）代入，得sin（－2×＋φ）＝0，结合函数图象，知－2×＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ＝＋2kπ，k∈Z，∴y＝sin（－2x＋），但当x＝0时，y＝sin＝－＜0，与图象不符合，舍去.综上，选B、C.
【例9】　－　解析：由题图可知T＝－＝（T为f（x）的最小正周期），即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f（x）＝2cos（2x＋φ）.点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f（x）＝2cos，所以f＝2cos（ 2×－）＝－.
【例10】　C　因为函数y＝sin x的最小正周期为T＝2π，函数y＝2sin（3x－）的最小正周期为T＝，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2sin（3x－）的图象恰有三个周期，在坐标系中结合五点法画出两函数图象如图所示，由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
【例11】　A　连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均
为圆的半径1，顶角均为＝，底角均为＝90°－，所以等腰三角形的底边长均为2cos＝2sin ，故单位圆的内接正6n边形的周长为6n×2sin ；连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角均为＝，顶角的一半均为，所以等腰三角形的底
边长均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均数为2π的近似值，所以2π≈＝6n×sin ＋6n×tan ，所以π≈3n×sin ＋3n×tan ＝3n，故选A.
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章末复习与总结
一、数学运算
　　在本章中，通过三角函数的定义域、值域问题以及三角函数求值
问题进一步培养学生的数学运算核心素养.
培优一 三角函数的定义域、值域问题
【例1】　（1）函数y＝ 的定义域为 ，值域为 ；
，k∈Z　
　
解析：要使函数y＝ 有意义，则 cos x－ ≥0，即 cos x≥ .
解得2kπ－ ≤x≤2kπ＋ ，k∈Z. 故函数的定义域为 ，k∈Z. 又
∴0≤ ≤ ，即函数的值域为 .
（2）求函数y＝－2 sin ＋3，x∈[0，π]的最大值和最小值.
解：∵x∈[0，π]，∴x＋ ∈ ，
∴－ ≤ sin ≤1.
∴当 sin ＝1，即x＝ 时，y取得最小值1；
当 sin ＝－ ，即x＝π时，y取得最大值4.
故函数f（x）在区间[0，π]上的最大值为4，最小值为1.
培优二 利用三角函数的性质求最值
【例2】　（1）若y＝ ，则ymax＝ ，ymin＝ 　 　；
解析：∵y＝ ，∴（2＋ cos x）y＝2－ cos x，得（y＋1） cos x
＝2－2y，∴ cos x＝ .又∵－1≤ cos x≤1，∴－1≤ ≤1，解
得 ≤y≤3，即ymax＝3，ymin＝ .
3　
　
解：∵x∈ ，
∴2x＋ ∈ ， sin ∈ .
∴当a＞0时，解得
当a＜0时，解得
∴a，b的取值分别是4，－3或－4，－1.
（2）已知函数y＝a sin ＋b在x∈ 上的值域为[－5，
1]，求a，b的值.
培优三 化简求值问题
【例3】　（1）已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半
轴重合，它的终边过点P ，则 sin （α＋π）＝ ；
解析：由角α的终边过点P ，得 sin α＝－ ，∴ sin （α＋
π）＝－ sin α＝ .
　
（2）化简 .
解：原式＝
＝ ＝1.
培优四 利用三角函数性质求值
【例4】　（2022·新高考Ⅰ卷6题）记函数f（x）＝ sin （ωx＋ ）＋
b（ω＞0）的最小正周期为T. 若 ＜T＜π，且y＝f（x）的图象关
于点 中心对称，则f ＝（　　）
A. 1
D. 3
解析：　因为 ＜T＜π，所以 ＜ ＜π，解得2＜ω＜3.因为y＝
f（x）的图象关于点 中心对称，所以b＝2，且 sin
＋b＝2，即 sin ＝0，所以 ω＋ ＝kπ（k∈Z），又2＜ω
＜3，所以 ＜ ω＋ ＜ ，所以 ω＋ ＝4π，解得ω＝ ，所以
f（x）＝ sin ＋2，所以f ＝ sin ＋2＝ sin ＋2
＝1.故选A.
二、逻辑推理
　　逻辑推理在本章中主要体现在任意角的三角函数的定义、有关弧
长和面积的计算、图象变换、三角函数式的化简与证明等问题中.
培优五 三角函数的定义及有关弧长、面积的计算
【例5】　（1）若－ ＜α＜0，则点P（tan α， cos α）位于（B　）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
B
解析：因为－ ＜α＜0，
所以tan α＜0， cos α＞0，
所以点P（tan α， cos α）位于第二象限.
（2）如图，△ABC是正三角形，曲线CDEF叫作正三角形的渐开
线，其中弧 、弧 、弧 的圆心依次是A，B，C，如果
AB＝1，那么曲线CDEF的长是 ，曲线CDEF围成图形的
面积是 .
4π　
π　
解析：因为∠DAC＝∠DBE＝∠ECF＝120°＝ ，所以弧 的长是 ×1＝ ，S扇形ACD＝ × ×1＝ ，弧 的长是 ×2＝ ，S扇形BDE＝ × ×2＝ ，弧 的长是 ×3＝2π，S扇形CEF＝ ×2π×3＝3π，则曲线CDEF的长是 ＋ ＋2π＝4π；面积为 ＋ ＋3π＝ π.
培优六 三角函数式的化简或恒等式的证明
【例6】　已知A，B，C为△ABC的内角.若 cos （ ＋A）· sin （
＋B） ＜0，求证：△ABC为钝角三角形.
证明：∵ cos （ ＋A） sin （ π＋B） ＜0，
∴（－ sin A）（－ cos B） ＜0，
即 sin A cos B ＜0，又∵A，B，C∈（0，π），
∴ sin A＞0， sin C＞0，∴ ＜0，
即 cos B＜0， cos C＞0或 cos B＞0， cos C＜0，
∴B为钝角或C为钝角，
∴△ABC为钝角三角形.
培优七 三角函数图象的变换
【例7】　（2022·全国甲卷5题）将函数f（x）＝ sin （ω＞
0）的图象向左平移 个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，
则ω的最小值是（　　）
解析：　记曲线C的函数解析式为g（x），则g（x）＝ sin
＝ sin ［ωx＋ ］.因为函数g（x）的图象关
于y轴对称，所以 ω＋ ＝kπ＋ （k∈Z），得ω＝2k＋
（k∈Z）.因为ω＞0，所以ωmin＝ .故选C.
三、直观想象
　　在本章中直观想象主要体现在三角函数图象的识别与应用问
题中.
培优八 三角函数图象的识别
【例8】　（多选）如图是函数y＝ sin （ωx＋φ）的部分图象，则 sin
（ωx＋φ）＝（　　）
解析：　由题图可知，函数的最小正周期T＝2（ － ）＝π，
∴ ＝π，ω＝±2.当ω＝2时，y＝ sin （2x＋φ），将点（ ，
0）代入得， sin （2× ＋φ）＝0，∴2× ＋φ＝2kπ＋π，k∈Z，即
φ＝2kπ＋ ，k∈Z，故y＝ sin （2x＋ ）.由于y＝ sin （2x＋
）＝ sin ＝ sin （ －2x），故选项B正确；
y＝ sin （ －2x）＝ cos ＝ cos （2x＋ ），选项C
正确；对于选项A，当x＝ 时， sin （ ＋ ）＝1≠0，错误；对于选
项D，当x＝ ＝ 时， cos （ －2× ）＝1≠－1，错误；当
ω＝－2时，y＝ sin （－2x＋φ），将（ ，0）代入，得 sin （－
2× ＋φ）＝0，结合函数图象，知－2× ＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，得φ
＝ ＋2kπ，k∈Z，∴y＝ sin （－2x＋ ），但当x＝0时，y＝ sin
＝－ ＜0，与图象不符合，舍去.综上，选B、C.
培优九 三角函数图象的应用
【例9】　已知函数f（x）＝2 cos （ωx＋φ）的部分图象如图所示，
则f ＝ .
－ 　
解析：由题图可知 T＝ － ＝ （T为f（x）的最小正周期），
即T＝π，所以 ＝π，即ω＝2，故f（x）＝2 cos （2x＋φ）.点
可看作“五点作图法”中的第二个点，故2× ＋φ＝ ，得φ
＝－ ，即f（x）＝2 cos ，所以f ＝2 cos （ 2× － ）
＝－ .
A. 3 B. 4
C. 6 D. 8
【例10】　（2024·新高考Ⅰ卷7题）当x∈[0，2π]时，曲线y＝ sin x与
y＝2 sin （3x－ ）的交点个数为（　　）
解析：　因为函数y＝ sin x的最小正周期为
T＝2π，函数y＝2 sin （3x－ ）的最小正周
期为T＝ ，所以在x∈[0，2π]上函数y＝2
sin （3x－ ）的图象恰有三个周期，在坐标
系中结合五点法画出两函数图象如图所示，
由图可知，两函数图象有6个交点.故选C.
四、数学建模
　　在本章数学建模主要体现在三角函数在物理及现实生活中的
应用中.
培优十 三角函数模型的应用
【例11】　历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的
“割圆术”相似，数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n充分大时，
计算单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形（各边均与圆相
切的正6n边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值.按照
阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（　　）
解析：　连接圆心与圆内接正6n边形的各顶点，则圆内接正6n边形
被分割成6n个等腰三角形，每个等腰三角形的腰长均为圆的半径1，
顶角均为 ＝ ，底角均为 ＝90°－ ，所以等
腰三角形的底边长均为2 cos ＝2 sin ，故单位圆的
内接正6n边形的周长为6n×2 sin ；
连接圆心与圆外切正6n边形的各顶点，则圆外切正6n边形被分割成
6n个等腰三角形，每个等腰三角形底边上的高均为圆的半径1，顶角
均为 ＝ ，顶角的一半均为 ，所以等腰三角形的底边长
均为2tan ，故单位圆的外切正6n边形的周长为6n×2tan .因
为单位圆的内接正6n边形的周长和外切正6n边形的周长的算术平均
数为2π的近似值，所以2π≈ ＝6n× sin ＋
6n×tan ，所以π≈3n× sin ＋3n×tan ＝3n ，故选A.
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