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(共35张PPT)
第六章
概率
§3 离散型随机变量的均值与方差
课时1 离散型随机变量的均值
1.理解离散型随机变量的均值的意义和性质.（数学抽象）
2.会根据离散型随机变量的分布列求出均值.（逻辑推理、数学运算）
3.会利用离散型随机变量的均值解决一些相关的实际问题.（数学抽象、数学运算）
1.随机变量的均值是一个常数还是随机变量？
[答案] 随机变量的均值是一个常数.
2.对于个数，， ，，称为这 个数的平均数，如何
从随机变量的角度看这个问题？
[答案] 设为从这个数中任取的一个数，则所有可能的取值便为，， ， ，
，即 的分布列为
…
…
．
3.随机变量的概率分布不同，相应的均值是否也不同？
[答案] 可以相同.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 随机变量的均值反映了样本的平均水平.( )
×
（2） 若随机变量的均值，则 .( )
√
（3） 若随机变量服从两点分布，则 .( )
√
2.已知离散型随机变量 的分布列为
1 2 3
则的数学期望 ( ) ．
A
A. B.2 C. D.3
[解析] ．
3.口袋中有编号分别为1，2，3的三个大小和形状都相同的小球，从中任取2个，则取
出的球的最大编号 的期望为__．
[解析] 由已知得，3，则， ．
故 ．
4.盒中装有5节同品牌的五号电池，其中混有2节废电池，现在无放回地每次取1节电池
检验，直到取到好电池为止．
求：（1）抽取次数 的分布列；
（2）平均抽取多少次可取到好电池．
[解析] （1）由题意知， 的所有可能取值为1，2，3，
，， ,
所以 的分布列为
1 2 3
（2） ，
即平均抽取1.5次可取到好电池．
探究1 离散型随机变量的均值
问题1: 某商场要将单价分别为18元/，24元/，36元/的3种糖果按 的比例混
合销售，如何对混合糖果定价才合理？
[答案] 因为平均在每的混合糖果中，3种糖果的质量分别是，和 ，所
以混合糖果的合理价格应该是（元/ ）.它是三种糖果价
格的一种加权平均，三种糖果的权重分别是，和 ．
问题2: 什么是权重？什么是加权平均？
[答案] 权是秤锤，权重是起权衡轻重作用的数值.加权平均是指在计算若干个数量的
平均数时，考虑到每个数量在总量中所具有的重要性不同，分别给予不同的权重．
问题3: 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，你能解释权重的实际含义吗？
[答案] 根据古典概型计算概率的公式可知，在混合糖果中，任取一颗糖果，这颗糖果
为第一、二、三种糖果的概率分别为，，，即取出的这颗糖果的价格为18元/ ，
24元/，36元/的概率分别为，，.用 表示这颗糖果的价格，则它是一个离散型
随机变量，其分布列为
18 24 36
因此权重恰好是随机变量 取每种价格的概率．
离散型随机变量的均值
设离散型随机变量 的分布列如下表：
… …
… …
则称为随机变量 的均值或数学期望
（简称期望）．
均值刻画的是取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量 取值的平均水平，
是随机变量 的一个重要特征．
例1 不透明的袋子中装有质地、大小相同的4个红球， 个白球，若从中不放回地依次
取出2个球，在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为 ．
（1）求白球的个数 ；
（2）若有放回地取出2个球，记取出红球的个数为，求的分布列及数学期望 .
[解析] （1）由题意知，袋中装有4个红球， 个白球，
因为在第一个取出的球是红球的前提下，第二个取出的球是白球的概率为 ，
所以，解得 .
（2）由题意知，随机变量 的所有可能取值为0，1，2，
则，， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
则期望 ．
方法总结
求离散型随机变量 的均值的步骤：（1）根据 的实际意义，写出 的全部取
值；（2）求出 的每个取值相应的概率；（3）写出 的分布列；（4）利用定义求
出均值.其中第（1）（2）两条是解答此类题目的关键，在求解过程中应注重应用概率
的相关知识．
巩固训练 某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3
人既会法语又会英语.现选派3人到法国的学校交流访问．求：
（1）在选派的3人中恰有2人会法语的概率；
（2）在选派的3人中既会法语又会英语的人数 的分布列和数学期望．
[解析] （1）7名同学中，会法语的人数为5，
从7人中选派3人，共有种选法，其中恰有2人会法语共有 种选法，
选派的3人中恰有2人会法语的概率 ．
（2）由题意可知， 的所有可能取值为0，1，2，3，
； ；
； .
的分布列为
0 1 2 3
故的数学期望 ．
探究2 均值的性质
已知随机变量 的分布列如下：
0 1 2
问题1: 求 的值．
[答案] 由随机变量分布列的性质，得，解得 ．
问题2: 求 ．
[答案] ．
问题3: 若，求 ．
[答案] （法一）因为 ，
所以 的分布列为
1
所以 ．
（法二）由公式 ，得
．
问题4: 若，根据问题3，与 之间有什么关系？
[答案] ．
均值的性质
若，其中，为常数，则 也是随机变量，且
．
例2 已知随机变量 的分布列为
1 2 3 4
若，则 ( ) .
D
A. B. C. D.
[解析] ，
．
方法总结
离散型随机变量均值性质的有关问题的解题思路：若给出的随机变量与 的关系
为，，为常数，一般思路是先求出 ，再利用公式
求.也可以利用的分布列得到的分布列，关键是由 的取值
计算的取值，对应的概率相等，再由定义法求得 ．
巩固训练 已知随机变量 的分布列为
0 1
设，则的数学期望 ( ) .
B
A. B. C.1 D.
[解析] 由题意并根据分布列的性质，可得，解得 ，
所以随机变量的期望 ，
由，得 .
探究3 均值的实际应用
例3 某公司计划购买2台机器，该种机器使
用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购
进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，
每个200元.在机器使用期间，如果备件不足
再购买，则每个500元.现需决策在购买机器
时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整
理了100台这种机器在三年使用期内更换的
易损零件数，得到的柱状图如图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，
记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数， 表示购买2台机器的同时购买的易损
零件数．
（1）求 的分布列；
（2）若要求，确定 的最小值；
（3）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在与 之中选其一，
应选用哪个？
[解析] （1）由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数
可能为8，9，10，11，相应的概率分别为，，，，故 的所有可能取值为
16，17，18，19，20，21，22．
；
；
；
；
；
；
．
所以 的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04
（2）由（1）知，，故 的最小值为19．
（3）记 （单位：元）表示2台机器在购买易损零件上所需的费用．
当 时，
．
当 时，
．
可知当时所需费用的期望值小于当 时所需费用的期望值，故应选
．
方法总结
解答概率模型的三个步骤：（1）建模：即把实际问题概率模型化.（2）解模：确
定分布列，计算随机变量的均值.（3）回归：利用所得数据，对实际问题作出判断．
巩固训练 冰雪灾害导致某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出两种拯救果林
的方案，每种方案都需分两年实施．
若实施方案一，预计当年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、、 的概率分别是
，， ；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.25倍、1.0倍的概率分别是
， ．
若实施方案二，预计当年可以使柑橘产量达到灾前的1.2倍、1.0倍、 的概率分别是
，， ；第二年可以使柑橘产量为上一年产量的1.2倍、1.0倍的概率分别是
， ．
无论实施哪种方案，第二年与第一年柑橘的产量都相互独立．
令表示方案 实施两年后柑橘产量与灾前产量的比值．
（1）写出， 的分布列.
（2）实施哪种方案可使两年后柑橘产量超过灾前产量的概率更大？
（3）不管哪种方案，如果实施两年后，柑橘产量达不到灾前产量，预计可带来效益
10万元；如果柑橘产量恰好达到灾前产量，预计可带来效益15万元；如果柑橘产量超
过灾前产量，预计可带来效益20万元.问：实施哪种方案所带来的平均效益更大？
[解析] （1）的所有可能取值为，，，，； 的所有可能取值为
，，，， ．
故， 的分布列分别为
0.8 0.9 1.0 1.125 1.25
0.2 0.15 0.35 0.15 0.15
0.8 0.96 1.0 1.2 1.44
0.3 0.2 0.18 0.24 0.08
（2）令事件， 分别表示实施方案一、方案二两年后柑橘产量超过灾前产量，则
， .可见，实施方案二可使两年后
柑橘产量超过灾前产量的概率更大．
（3）令表示方案所带来的效益，则, 的分布列分别为
10 15 20
0.35 0.35 0.3
10 15 20
0.5 0.18 0.32
所以 ，
.可见实施方案一所带来的平均效益更大．
1.已知，，则 ( ) .
C
A.67 B.11 C.2 D.1
[解析] 易得，则 ．
2.设随机变量的分布列为，，2，3，4，则 的值为( ) .
A
A.2.5 B.3.5 C.0.25 D.2
[解析] ．
3.若随机抛掷一颗质地均匀的正方体骰子1次，则所得点数 的均值是____．
3.5
[解析] 由题意得，的所有可能取值为1，2，3，4，5，6，且， ，2，
3，4，5，6，
所以 ．
4.某学校组织学生参加“一带一路”知识竞赛.为了解
该校学生在知识竞赛中的得分情况，采用分层随机
抽样的方法抽取了100名学生进行调查，分数分布
在 分，根据调查的结果绘制的学生分数
频率分布直方图如图所示.将分数不低于750分的学
生称为“高分选手”.
（1）求频率分布直方图中 的值；
（2）现采用分层随机抽样的方法从分数在, 内的两组学生中抽取10
人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高分选手”的学生人数为
随机变量，求 的分布列及数学期望.
[解析] （1）根据频率分布直方图的性质，可得
，解得 .
（2）由题意知，从分数在内的组中抽取7人，从分数在 内的组中
抽取3人，则随机变量 的所有可能取值为0,1,2,3，
可得， ，
， ，
所以随机变量 的分布列为
0 1 2 3
期望 .(共35张PPT)
第六章
概率
§3 离散型随机变量的均值与方差
离散型随机变量的方差
1.通过具体实例，理解离散型随机变量的分布列及方差的概念.（数学抽象、数学运算）
2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.（逻辑推理、数学运算）
1.均值能够反映随机变量取值的“平均水平”，但有时两个随机变量的均值相同，其取
值却存在较大的差异.如何来研究这种差异呢？
[答案] 利用方差可以研究这种差异．
2.方差与标准差刻画了随机变量的什么特征？
[答案] 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量 取值的稳定与波动、集中与离
散的程度，（或）越小，稳定性越好，波动越小，显然 ．
3.方差的计算公式是什么？
[答案] 若的分布列为，则 .
4.若，，能计算 吗？
[答案] 能， .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 离散型随机变量的方差越大，随机变量越稳定.( )
×
（2） .( )
√
（3） 离散型随机变量的方差反映了随机变量偏离于期望的平均程度.( )
√
（4） .( )
√
2.已知随机变量，，则 的标准差为__．
[解析] 的标准差为 ．
3.已知 的分布列为
0 1
0.5 0.3 0.2
求 ．
[解析] ，
．
探究1 离散型随机变量的方差和标准差
要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛.根据以往的成绩记录，第一名
同学击中目标靶的环数 的分布列为
5 6 7 8 9 10
0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10
第二名同学击中目标靶的环数 的分布列为
5 6 7 8 9
0.01 0.05 0.20 0.41 0.33
问题1： ， 各为何值？
[答案] ， ．
问题2: 能否根据和 的均值来决定派哪名同学参赛？
[答案] 不能．
问题3: 除平均中靶环数外，还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？
[答案] 有，可以用两名同学射击成绩的稳定性来刻画两名同学的射击成绩．
问题4: 如何定量刻画随机变量的稳定性？
[答案] 利用方差或标准差来刻画随机变量的稳定性．
方差与标准差
若离散型随机变量 的分布列如下表：
… …
… …
则描述了相对于均值 的偏离程度，而
为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量
与其均值的平均偏离程度.我们称为随机变量的方差，其算术平方根 为随
机变量的标准差，记作 ．
随机变量的方差和标准差 都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度.
方差（标准差） 越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小；反之，方差
（标准差）越大，则随机变量的取值越分散．
例1 某10人小组利用假期参加义工活动.已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别
为3，3，4.现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．
（1）设事件为“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件 发生的概率；
（2）设为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量 的分布列、数学
期望和方差．
[解析] （1）由已知得 ．
（2） 的所有可能取值为0，1，2，
，， ．
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
所以 ．
．
方法总结
求离散型随机变量的均值和方差的基本步骤：（1）理解的意义，写出 的全
部取值；（2）求取每个值时的概率；（3）写的分布列；（4）求， ．
巩固训练 一盒中装有大小、质地相同的3个白球和2个红球.现从该盒中任取2个球，记
随机变量 表示从该盒中取出红球的个数.
（1）求随机变量 的分布列；
（2）求随机变量 的期望和方差.
[解析] （1）由题可知，随机变量 的可能取值为0,1,2，
,, ,
所以随机变量 的分布列为
0 1 2
（2）由（1）可得， ，
.
探究2 离散型随机变量的方差的性质
问题: 离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量 乘一
个常数，方差又有怎样的变化？
[答案] 离散型随机变量加上一个常数，仅仅使的值产生一个平移，不改变 与其
均值的离散程度，方差保持不变.离散型随机变量乘一个常数 ，其方差变为原方差
的 倍．
方差的性质
．
例2 已知 的分布列如下：
0 1
（1）求 的分布列；
（2）计算 的方差；
（3）若，求 的均值和方差.
[解析] （1）由分布列的性质知，，解得，从而 的分布列为
0 1
（2）（法一：直接法）由（1）知，
所以 的均值 .
故的方差 .
（法二：公式法）由（1）知，所以 的均值
的均值，所以 的方差 .
（3）因为，所以, .
方法总结
求随机变量方差的方法：一种方法是先求 的分布列，再求其均值，
最后求方差；另一种方法是应用公式 求解．
巩固训练 已知随机变量 的分布列如下,且，则实数 __，若随机变量
，则 __.
2 3 4
[解析] 由题意得解得 ，
所以 ，
所以 ．
探究3 离散型随机变量均值、方差的综合应用
， 两台机床同时加工零件，每生产一批数量较大的产品时，出现次品的概率如
下表：
机床
次品数 0 1 2 3
0.7 0.2 0.06 0.04
机床
次品数 0 1 2 3
0.8 0.06 0.04 0.10
．
问题1: 如何求， 的值？
[答案] ．
问题2: 在问题1中，由， 的值能比较两台机床的产品质量吗？为什么？
[答案] 不能.因为 ．
问题3: 试想利用什么指标可以比较， 两台机床的加工质量？
[答案] 利用方差.方差越小，加工的质量越稳定．
利用均值和方差的意义分析解决实际问题的步骤：
（1）比较均值.离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平，
因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高．
（2）在均值相等的情况下计算方差.方差反映了离散型随机变量取值的稳定与波
动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析一下谁的发挥相对稳定．
（3）下结论.依据均值与方差的几何意义作出结论．
例3 某公司为了宣传新产品，现有以下两种宣传方案：
方案一，投放某短视频平台广告，据市场调研分析，其收益 分别为0元、20万元、40
万元，且， ；
方案二，投放传统广告，据市场调研分析，其收益 分别为10万元、20万元、30万元，
且概率依次为,, .
（1）请写出方案一的分布列，并求方差 ；
（2）请你根据所学的统计知识给出建议，该公司宣传应该投放哪种广告？并说明你
的理由.
[解析] （1）设，，依题意得 ， ①
且 ， ②
由①②，解得， ，
所以 的分布列为
0 20 40
0.1 0.3 0.6
则 .
（2）由题意得 的分布列为
10 20 30
0.3 0.4 0.3
则 ，
.
由，可知采用短视频平台广告投放所产生的期望收益较大，而 ，说
明平台广告投放的风险较高.
综上所述，如果公司期望高收益，那么选择投放短视频平台广告；如果公司期望收益
稳定，那么选择投放传统广告.
方法总结
均值体现了随机变量取值的平均水平，在两种产品相比较时，只比较均值往往是
不恰当的，还需比较它们的取值的离散程度，即通过比较方差，才能准确地得出更恰
当的判断．
巩固训练 有甲、乙两种建筑材料，从中各取等量样品检查它们的抗拉强度如下：
110 120 125 130 135
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
100 115 125 130 145
0.1 0.2 0.4 0.1 0.2
其中，， 分别表示甲、乙两种材料的抗拉强度，试比较甲、乙两种建筑材料的稳
定程度．
[解析] ，
，
，
．
由此可见， ，
故两种材料的抗拉强度的平均值相等，材料乙的稳定程度明显不如材料甲，即甲的稳
定性较好．
1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的分蘖 数据，计算出样本方差分别为
， .由此可以估计( ) .
B
A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐
C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较
[解析] ， 乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐．
2.设一随机试验的结果只有和，且，令随机变量则 的方
差 等于( ) .
D
A. B. C. D.
[解析] 由题意知, ．
3.（多选题）设离散型随机变量 的分布列为
0 1 2 3 4
0.4 0.1 0.2 0.2
若离散型随机变量满足 ，则下列结论正确的是( ) .
AC
A. B. C. D.
[解析] 由分布列知， ，
故A正确；
，故B不正确；
，故C正确；
，故D不正确.
故选 .
4.已知随机变量的分布列为，，2，3，则 ___．
6
[解析] 由已知得 ，
，
所以 ．

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