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(共33张PPT)
6.4二项分布与超几何分布
6.4.1二项分布
第
六
概率
章
伯努利家族
探究1：观察下列一次随机试验的共同点
试验 出现的结果 共同点
1、掷一枚硬币
2、检验一件产品 3、飞碟射击 4、医学检验 正面朝上;反面朝上
合格;不合格
中靶;脱靶
阴性;阳性
只包含两个结果
情景引入
2、我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.
新知讲解
1、我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验(Bernoulli trials).
显然，n重伯努利试验具有如下共同特征:
(1)每次试验都只有两种结果,即事件要么发生,要么不发生;
(2)各次试验中的事件是相互独立的;
(3)每次试验是在同样条件下进行的;
(4)每次试验,某事件发生的概率是相同的.
判断下列试验是不是n重伯努利试验:
　　(1)依次投掷四枚质地不同且不均匀的硬币;
　　(2)某人射击,击中目标的概率是稳定的,他连续射击了10次;
　　(3)口袋中装有5个白球,3个红球,2个黑球,依次从中抽取5个球,
恰好取出4个白球.
(1)由于试验的条件不同（质地不同）,因此不是n重伯努利试验;
(2)某人射击且击中的概率是稳定的,因此是n重伯努利试验;
(3)依次从中抽取5个球,不是有放回地抽样,每次白球出现的可能性不同,因此不是n重伯努利试验.
√
×
×
n重伯努利试验是有放回抽样试验
例1
对点练1．下列事件是n重伯努利试验的是
A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”
B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”
C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没射中目标”
D．在相同的条件下，甲射击10次，5次击中目标
√
A、C符合互斥事件的概念，是互斥事件；B是相互独立事件；D是n重伯努利试验．
返回
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3)
则X的概率分布列为:
P(X=0)
你能求出剩下的概率吗？
探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8 . 连续3次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？
新知探究
思考：可以利用组合数来简化表示吗？
探究2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8 . 连续3次射击，中靶次数的概率分布列是怎样的？
新知探究
解：用表示“第次射击中靶”().
于是，中靶次数X的分布列可表示为
共6个.
(2)中靶次数X的分布列为
思考2: 如果连续射击4次,类比上面的分析,表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.
(1) 表示中靶次数X等于2的结果有：
P(X=k)=×0.8k×0.24-k,
(k=0, 1, 2, 3, 4).
中靶次数X的分布列可简写为：
用Ai表示“第i次射击中靶”(i＝1, 2, 3,4)，则X的概率分布列为:
二项分布
二项分布
（其中k= 0，1，2，···，n ）
n次独立重复试验的概率公式
公式的结构特征
试验成功的次数
实验总次数
试验成功的概率
实验失败的概率
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率p(0二项分布
如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution）, 记作X ~ B(n, p).
P(X=k)=×pk×(1-p)n-k, (k=0, 1, 2, …, n).
提醒:正确理解其条件以及参数的意义
k—— 事件 A 发生的次数
n—— 实验总次数
p—— 事件 A 发生的概率
1-p—— 事件 发生的概率
（1）掷7块相同的骰子， 为出现“1”点的骰子数；
（2）即将出生的100个新生婴儿中，男婴的个数 ；
概念辨析
服从二项分布，
服从二项分布，
下列随机变量 服从二项分布吗？如果服从二项分布，参数各是什么？
下列随机变量 服从二项分布吗？如果服从二项分布，参数各是什么？
概念辨析
（3）口袋中有6个白球，3个黑球，每次取1个球，取完后不放回口袋中，取球5次， 为取到黑球的个数。
（4）口袋中有6个白球，3个黑球，每次取1个，取完后放回口袋中，取球5次 , 为取到黑球的个数。
服从是二项分布,
不服从二项分布,
从简单开始, 先考察n较小的情况.
(1)当n=1时, X服从两点分布, 分布列为
P(X=0)=1-p, P(X=1)=p.
均值和方差分别为
E(X)=p, D(X)=p(1-p).
(2)当n=2时, X的分布列为
P(X=0)=(1-p)2, P(X=1)=2p(1-p), P(X=2)=p2.
E(X)=0×(1-p)2+1×2p(1-p)+2×p2 =2p.
D(X)= 02×(1-p)2+12×2p(1-p)+22×p2 -(2p)2=2p(1-p).
均值和方差分别为
如果X~B(n, p), 那么 E(X)= np, D(X)=np(1-p).
探究：假设随机变量服从二项分布，那么的均值和方差各是什么？
一般地，
如果X~B(n, p), 那么EX= np, DX=np(1-p).
特殊地，
若随机变量X服从参数为p的两点分布，则
EX＝p，DX＝p(1-p).
(链教材P207例1)某公司的一次招聘中，应聘者都要经过A，B，C三个独立项目的测试，如果通过其中的两个或三个项目的测试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过每个项目测试的概率都是 .
(1)求甲被录用的概率；
例2
(2)设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X，求X的分布列．
所以X的分布列为
变式探究
(变结论)在本例条件下，求甲、乙、丙三人中至少2人被录用的概率．
1．判定一个随机变量是否服从二项分布的依据
(1)试验是否为n重伯努利试验；
(2)随机变量是否为某事件在这n重伯努利试验中发生的次数．
2．若X～B(n，p)，要弄清试验次数n与成功概率p.对于公式P(X＝k)＝C pk(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n)，必须在满足“独立重复试验”时才能应用．
规律方法
对点练2．高二(1)班的一个研究性学习小组在网上查知，某珍稀植物种子在一定条件下发芽成功的概率为 ，该研究性学习小组又分成两个小组进行验证性试验．
(1)第一小组做了5次这种植物种子的发芽试验(每次均种下一粒种子)，求他们的试验中至少有3次发芽成功的概率；
解：至少有3次发芽成功，即有3次、4次、5次发芽成功．
设5次试验中种子发芽成功的次数为随机变量X.
(2)第二小组做了若干次发芽试验(每次均种下一粒种子)，如果在一次试验中种子发芽成功就停止试验，否则将继续进行下次试验，直到种子发芽成功为止，但试验的次数最多不超过5次，求第二小组所做种子发芽试验的次数ξ的分布列．
解：随机变量ξ的可能取值为1，2，3，4，5.
所以ξ的分布列为
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综合应用
(链教材P207例2)某一中学生心理咨询中心服务电话的接通率为 ，某班3名同学商定明天分别就同一问题询问该服务中心，且每人只拨打一次．
(1)求他们中成功咨询的人数X的分布列；
例3
所以X的分布列为
二项分布的实际应用
(2)求EX与DX的值．
1．解决此类问题第一步是判断随机变量X服从什么分布，第二步代入相应的公式求解．
2．若X服从两点分布，则EX＝p，DX＝p(1－p)；若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则EX＝np，DX＝np(1－p)．
规律方法
对点练3．为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳，各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，均值EX为3，标准差 为
(1)求n和p的值，并写出X的分布列；
所以X的分布列为
(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种，求需要补种沙柳的概率．
记A＝“需要补种沙柳”，则P(A)＝P(X≤3)，
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课堂小结
知识 1．n重伯努利试验的概念.2．二项分布的概念及表示.3．二项分布的均值、方差.4.二项分布的实际应用
方法 数学建模、公式法
易错误区 二项分布的判断错误
随堂演练
√
由题意知，中靶的概率为0.8，故打100发子弹有4发中靶的概率P(X＝4)＝ ×0.84×0.296.故选A.
2．打靶时，某人中靶的概率为0.8，则他打100发子弹有4发中靶的概率为
A． ×0.84×0.296
B．0.84
C．0.84×0.296
D．0.24×0.296
√
3．某运动员投篮命中率为0.6，他重复投篮5次，若他命中一次得10分，没命中不得分．设命中次数为X，得分为Y，则EX，DY分别为
A．0.6，60 B．3，12
C．3，120 D．3，1.2
根据题意知X～B(5，0.6)，根据二项分布的均值与方差公式，则EX＝5×0.6＝3，DY＝D(10X)＝102DX＝100×5×0.6×(1－0.6)＝120.故选C.
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√
4．甲、乙两人进行围棋比赛，比赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则结束比赛，假定甲每局比赛获胜的概率为 ，则甲以3∶1的比分获胜
的概率为 ．
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