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(共41张PPT)
第
六
概率
章
正态分布
生活中还有许多随机变量不是离散型的随机变量，例如：
①小明上学途中等公交车的时间X；
②实验中测量某零件尺寸的误差Y；
③某电器的使用寿命Z；
④人的身高、体重、肺活量；
⑤某地每年6月的平均气温、降水量...
连续型随机变量：
如果随机变量X的所有取值不可以逐个列举出来，而是充满某个区间甚至整个实轴，但取一点的概率为0，我们称这类变量为连续型随机变量。
问题引入
离散型随机变量的概率分布规律用分布列描述，(两点分布、超几何分布、二项分布等)
连续型随机变量的概率分布规律用什么来描述？
随着试验次数的增加，掉入各个球槽内的小球个数越来越多，下落的小球在槽中的分布有何规律？
高尔顿钉板试验
中间高，两边低
我们以小球的编号为横坐标，以小球落入各个球槽内的频率与组距的比值为纵坐标，可以画出频率分布直方图。
高尔顿钉板试验
问题1:当试验重复次数（样本容量）不断增大，分组的组距不断缩小时，二项分布的频率分布直方图的轮廓有什么特点？
越来越接近于一条光滑的曲线
总体密度曲线
二项分布
正态分布
极限
（离散型）
（连续型）
1
e , x ,
2 2
x 2
,
2
x
正态函数
概念生成
　　在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:
式中的 μ、σ (σ>0) 是参数，分别表示总体的平均数与标准差.
数学期望
标准差
1
e , x ,
2 2
x 2
,
2
x
正态函数
概念生成
　　在数学家的不懈努力下，找到了以下刻画随机误差分布的解析式:
数学期望
标准差
式中的 μ、σ (σ>0) 是参数，分别表示期望与标准差.
构建概念
正态曲线
y
x
O
正态分布密度函数：
正态曲线:
正态密度函数图像为正态密度曲线.

1．连续型随机变量：变量X的值______________，它可以在某一个区间内取任意值．
离散型随机变量：变量X的值______________．
新知构建
2．正态分布与正态曲线
由误差引起的连续型随机变量其分布密度函数图象对应的分布密度函数解析式为φμ，σ(x)＝ ，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)
为参数，这一类随机变量X的分布密度(函数)称为正态分布密度(函数)，简称__________，对应的图象为正态分布密度曲线，简称为__________．
3．如果随机变量X服从正态分布，那么这个正态分布完全由参数μ，σ(σ>0)确定，记为_____________．其中EX＝____，DX＝_____．
无法一一列举
可以一一列举
正态分布
正态曲线
X～N(μ，σ2)
μ
σ2
知识要点
正态曲线的性质 ：
且对称区域面积相等；
具有两头低、中间高、左右对称的基本特征.
(5)当 无限增大时，曲线无限接近x轴.
知识要点
正态曲线的性质 ：
σ越大，表示总体的分布越分散；
σ越小，表示总体的分布越集中.
μ=-1
μ=0　
μ=1
σ=1
μ=0　
=0.5
=1
=2
(1)(多选题)下面关于正态曲线的叙述中，正确的有
A．曲线在x轴上方，且与x轴不相交
B．当x>μ时，曲线下降，当x<μ时，曲线上升
C．当μ一定时，σ越小，总体分布越分散，σ越大，总体分布越集中
D．曲线关于直线x＝μ对称，且当x＝μ时，位于最高点
例1
√
√
√
只有C错误，因为当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，总体分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散．故选ABD.
练习：课本224页第1题
则下列说法正确的是
A．甲类水果的平均质量μ1＝0.4 kg
B．甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C．甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D．乙类水果的质量服从的正态分布的参数σ2＝1.99
√
√
√
由图象可知甲图象关于直线x＝0.4对称，乙图象关于
直线x＝0.8对称，所以μ1＝0.4，μ2＝0.8，μ1<μ2，故A、
C正确；因为甲图象比乙图象更“瘦高”，所以甲类
水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右，
故B正确；因为乙图象的最大值为1.99，即 ＝1.99，σ2≠1.99，故D错误．故选ABC.
利用正态曲线的特点求参数μ，σ
1．正态曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称，由此特点结合图象求出μ.
2．正态曲线在x＝μ处达到峰值 ，由此特点结合图象可求出σ.
规律方法
对点练1．(1)已知随机变量服从正态分布，其正态曲线如图所示，则总体的均值μ＝ ，方差σ2＝ ．
20
2
由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等，由正态分布密度曲线的性质，可知σ越大，正态曲线越“矮胖”，σ越小，正态曲线越“高瘦”，故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙，故选BCD.
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(2)(多选题)在一次教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布密度曲线
如图所示，下列说法中不正确的是
A．甲科目总体的标准差最小
B．丙科目总体的平均数最小
C．乙科目总体的标准差及平均数都比甲小，比丙大
D．甲、乙、丙三科总体的平均数不相同
√
√
√
知识要点
(1)曲线与x轴之间的面积为1.(2)若ξ～N(μ，σ2)，则P(ξ>μ)＝P(ξ<μ)＝0.5.
微提醒
若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积．
正态分布的几何意义
随堂练习
练习若X～N(1，σ2)，且P(X<0)=a，则
(1) P(X>1)=_________；
(2) P(X>0)=_________；
(3) P(0(4) P(X<2)=_________；
(5) P(00
1
2
-1
-2
x
y
-3
3
4
μ=1
0.5
1－a
0.5－a
1－a
1－2a
因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，所以μ＝2，对称轴是ξ＝2.因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，所以P(0<ξ≤4)＝0.6，所以P(0<ξ≤2)＝0.3.故选C.
对点练2． (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ≤2)等于
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
√
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9<ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝ ．
由P(9<ξ≤11)＝0.4且正态曲线以ξ＝μ＝10为对称轴知，P(9<ξ≤11)＝2P(10<ξ≤11)＝0.4.所以P(10<ξ≤11)＝0.2，因为P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3．
0.3
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课本224页第3题
假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 特别地，
特殊区间的概率：
上述结果可用右图表示.
由此看到，尽管正态变量的取值范围是(-∞, +∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ-3σ, μ+3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.0027，通常认为这种情况几乎不可能发生.
在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则.
正态曲线下的面积规律：
-x1 -x2 x2 x1

a
-a
正态曲线下对称区域的面积相等
对应的概率也相等
利用“对称法”求正态分布下随机变量在某个区间的概率.
P(X≤-a)=P(X≥a)
P(-x1≤X≤-x2)=P(x2≤X≤x1)
P(X≤a)=1-P(Xa)
注意概率值的求解转化
(链教材P217习题T3)设ξ～N(1，22)，试求：
(1)P(－1≤ξ≤3)；
例2
解：因为ξ～N(1，22)，
所以μ＝1，σ＝2，
P(－1≤ξ≤3)＝P(1－2≤ξ≤1＋2)＝P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈0.682 6.
(2)P(3≤ξ≤5)．
解：因为ξ～N(1，22)，
所以μ＝1，σ＝2，
因为P(3≤ξ≤5)＝P(－3≤ξ≤－1)，
变式探究
(变结论)若本例条件不变，求P(ξ>5)．
利用正态分布求概率的两种方法
1．对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间的概率相等．如：
(1)P(X(2)P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)；
2．“3σ”法：利用随机变量X落在区间(μ－σ，μ＋σ]，(μ－2σ，μ＋2σ]，(μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别约为0.682 6，0.954 4，0.997 4求解．
注意　充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1.
规律方法
因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，所以μ＝2，对称轴是ξ＝2.因为P(ξ<4)＝0.8，所以P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，所以P(0<ξ≤4)＝0.6，所以P(0<ξ≤2)＝0.3.故选C.
对点练2． (1)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ≤2)等于
A．0.6 B．0.4
C．0.3 D．0.2
√
(2)若随机变量ξ～N(10，σ2)，P(9<ξ≤11)＝0.4，则P(ξ≥11)＝ ．
由P(9<ξ≤11)＝0.4且正态曲线以ξ＝μ＝10为对称轴知，P(9<ξ≤11)＝2P(10<ξ≤11)＝0.4.所以P(10<ξ≤11)＝0.2，因为P(ξ≥10)＝0.5，所以P(ξ≥11)＝0.5－0.2＝0.3．
0.3
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综合应用
某厂生产的圆柱形零件的外直径X(单位：cm)服从正态分布N(4，0.52)．质检人员从该厂生产的1 000件零件中随机抽查1件，测得它的外直径为5.7 cm，试问：该厂生产的这批零件是否合格？
例3
解：由于外直径X～N(4，0.52)，
则X在(2.5，5.5]之内取值的概率约为0.997 4，在(2.5，5.5]之外取值的概率约为0.002 6，
而5.7 (2.5，5.5]，这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件，
据此可以认为这批零件是不合格的．
解题时，应当注意零件尺寸应落在(μ－3σ，μ＋3σ]之内，否则可以认为该批产品不合格．判断的根据是小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的，而一旦发生了，就可以认为这批产品不合格．
规律方法
对点练3． 设在一次数学考试中，某班学生的分数X～N(110，202)，且知满分150分，这个班的学生共54人．求这个班在这次数学考试中及格(不低于90分)的人数和130分以上的人数．
解：因为X～N(110，202)，所以μ＝110，σ＝20，
所以P(110－20所以130所以及格的人数约为54×0.841 3≈45人，130分以上的人数约为54×0.158 7≈9人．
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课堂小结
知识 1．正态曲线及其性质.2．利用正态分布的性质求概率.3．正态分布的应用
方法 转化化归、数形结合
易错误区 概率区间转化不等价
随堂演练
B中的变量的取值不能一一列出，所以它是连续型随机变量，而A、C、D中的变量均是离散型随机变量．故选B.
1．下列变量中，是连续型随机变量的是
A．投掷五枚硬币出现的正面次数
B．某工厂生产的某种零件的长度
C．抛掷两枚骰子，所得点数之差
D．某人的手机在一周内接到的电话次数
√
√
3．设随机变量X～N(2，9)，若P(X>c＋1)＝P(X2
0.954 4
由X～N(2，9)可知，正态分布密度函数的图象关于
直线x＝2对称(如图所示)，又P(X>c＋1)＝P(X故有2－(c－1)＝(c＋1)－2，解得c＝2.则P(－4＝P(2－2×34．一建筑工地所需要的钢筋的长度服从正态分布，其中μ＝8，σ＝2.质检员在检查一大批钢筋的质量时发现现有的钢筋长度小于2 m．这时，他是让钢筋工继续用钢筋切割机切割钢筋，还是让钢筋工停止生产，检修钢筋切割机？
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解：设检验出钢筋长为x m，则x<2.由题意X～N(μ，σ2)，其中μ＝8，σ＝2，
所以|x－μ|＝|X－8|>6＝3σ.
这说明这一钢筋的长度出现在区间(μ－3σ，μ＋3σ]之外，理应拒绝假设，所以检验员应马上让钢筋工停止生产，立即检修钢筋切割机．

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