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2025年北京四中中考数学三模试卷
一、选择题（共8小题，每题2分）
1．（2分）下列中国风传统图腾的图案中，是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2分）KN95型口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.00000025m的非油性颗粒，用科学记数法表示0.00000025是（　　）
A．25×10﹣8 B．0.25×10﹣6 C．2.5×10﹣6 D．2.5×10﹣7
3．（2分）如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD＝76°，则∠BOM等于（　　）
A．38° B．104° C．142° D．144°
4．（2分）实数a，b，c，d在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（　　）
A．a＞﹣4 B．ab＜0 C．a+c＞0 D．|a|＞|d|
5．（2分）若关于x的一元二次方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围为（　　）
A．m＜1 B．m＞1 C．m＞﹣1 D．m＜﹣1
6．（2分）小明计划到周口市体验民俗文化，想从“沈丘回族文狮舞”、“传统戏剧越调”、“八音楼子”、“泥塑”四种民俗文化中任意选择两项，则小明选择体验“八音楼子”、“泥塑”的概率为（　　）
A． B． C． D．
7．（2分）如图，尺规作图：过直线外一点作已知直线的垂线，已知：如图1，直线l及外一点A，求作l的垂线，使它经过点A，小红的作法如下：
①在直线l上任取一点B，连接AB
②以A为圆心，AB长为半径作弧，交直线l于点D；
③分别以B，D为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点C；
④作直线AC，直线AC即为所求如图2，小红的做题依据是（　　）
A．四条边都相等的四边形是菱形；菱形的对角线互相垂直
B．直径所对的圆周角是直角
C．直线外一点到这条直线上垂线段最短
D．同圆或等圆中半径相等
8．（2分）如图，在正方形ABCD中，AC、BD交于点O，H为AB延长线上的一点，且BH＝BD，连接DH，分别交AC，BC于点E，F，连接BE，给出下面三个结论：
①BE平分∠CBD；
②；
③2AB2＝DE DH；
上述结论中，所有正确结论的序号是（　　）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
二、填空题（共8小题，每题2分）
9．（2分）如果分式有意义，那么x的取值范围是 　 　 ．
10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝　 　 ．
11．（2分）方程的解为 　 　 ．
12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象与正比例函数y＝kx的图象没有交点，写出满足条件的一个k值 　 　 ．
13．（2分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，OE∥CD交BC于点E，连接AE交BD于点F，则　 　 ．
14．（2分）从甲地到乙地有A，B，C三条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：
公交车用时 公交车用时的频数 线路 30≤t≤35 35＜t≤40 40＜t≤45 45＜t≤50 合计
A 59 151 166 124 500
B 50 50 122 278 500
C 45 265 167 23 500
早高峰期间，乘坐 　 　 （填“A”，“B”或“C”）线路上的公交车，从甲地到乙地“用时不超过45分钟”的可能性最大．
15．（2分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，取AC的中点F，连接OF，已知，OF＝4，则⊙O的半径长为 　 　 ．
16．（2分）车间里有五台车床同时出现故障．已知第一台至第五台修复的时间如表：
车床代号 A B C D E
修复时间（分钟） 8 31 11 6 17
若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产．
（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：①D→B→E→A→C；②D→A→C→E→B；③C→A→E→B→D中，经济损失最少的是 　 　 （填序号）；
（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 　 　 元．
三.简答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17．（5分）计算：
18．（5分）解不等式组：．
19．（5分）已知：a﹣b﹣2＝0，求代数式的值．
20．（6分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AC、BD相交于点O，E为AB的中点，连接OE，过点E作EF⊥BC于点F，过点O作OG⊥BC于点G．
（1）求证：四边形EFGO是矩形；
（2）若四边形ABCD是菱形，AB＝10，BD＝16，求OG的长．
21．（6分）某校的饮水机有温水、开水两个按钮，温水和开水共用一个出水口．温水的温度为30℃，流速为20ml/s；开水的温度为100℃，流速为15ml/s．某学生先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯210ml温度为60℃的水（不计热损失），求该学生分别接温水和开水的时间．
物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为：开水的体积×开水降低的温度＝温水的体积×温水升高的温度．
22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，2）和B（﹣2，5），与过点（0，﹣1）且平行于x轴的直线交于点C．
（1）求该函数的表达式及点C的坐标；
（2）当x＜2时，对于x的每一个值，函数y＝﹣x+a的值于小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣1，直接写出a的值．
23．（5分）某校开展“天文知识竞赛”活动，并从全校学生中抽取了若干学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析（竞赛成绩用x表示，总分为100分，共分成五个等级：A：90≤x≤100；B：80≤x＜90；C：70≤x＜80；D：60≤x＜70；E：50≤x＜60）．并绘制了如下尚不完整的统计图．
a．抽取学生成绩等级人数统计表
等级 A B C D E
人数 m 9 10 4 2
b．抽取学生成绩等级扇形统计图
其中扇形图中C等级区域所对应的扇形的圆心角的度数是120°．
c．抽取学生中等级C的成绩数据从小到大排列：
70，71，72，73，74，76，76，77，78，79．
根据以上信息，回答下列问题：
（1）该抽样的样本容量为　 　 ，抽取学生成绩的平均数x是否一定满足7080　 　 （填“是”或“否”）；
（2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为　 　 ；
（3）将抽取学生中等级为C的10人按分数分为两个天文知识学习小组：75分以上的同学组成甲组，75分以下的同学组成乙组．若从甲乙两组中分别随机抽取一人代表小组，他们的分数之差不低于8分的概率是　 　 ；若有两位同学成绩均为75分，他们分别加入这两个小组后甲乙两小组成绩的方差分别记为，，则，的大小关系为：　 　 （填写“＞”“＜”或“＝”）．
24．（6分）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连接CP并延长，交⊙O于点B，且AB＝AC．
（1）求证：AB是⊙O的切线；
（2）若tan∠ACB，求线段BP的长．
25．（5分）脂肪氧化率（单位：g/min）指单位时间内人体通过代谢途径氧化分解脂肪产生能量的速率，我们通常用它来描述运动产生的效果．脂肪氧化率与运动强度（单位%VO2max）密切相关，如表记录了不同的运动强度所对应的脂肪氧化率的数据：
运动强度（%VO2max） 45 50 55 60 65 70 75 80 85
脂肪氧化率（g/min） 0.01 0.36 0.52 0.59 0.60 m 0.50 0.39 0.22
（1）通过观察表格数据可以看出，若设运动强度为x，脂肪氧化率为y，y是x的函数．在如下建立的平面直角坐标系，已经描出表中部分对应点，补全图形并画出函数图象：
（2）结合函数图象，解决问题：
①m的值约为　 　 （精确到小数点后两位）；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为　 　 （精确到整数位）；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，以提高初中生的耐力、强身健体，则跑步的速度应控制在　 　 千米/小时左右（精确到整数位）．
26．（5分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上有两点（x1，y1），（x2，y2），它的对称轴为直线x＝t．
（1）若该抛物线经过点（﹣2，0），求t的值；
（2）当1＜x1＜2时，
①若t＞2，则y1　 　 0；（填“＞”“＝”或“＜”）
②若对于x1+x2＝2，都有y1y2＜0，求t的值．
27．（7分）在△ABC中，∠A＝90°，AC＝AB，D为线段AC上一点．在AB边上截取BE＝2AD，过点E作EF⊥BD交BC于点F，连接FD．
（1）如图1，若BD平分∠ABC，求证：；
（2）如图2，猜想线段DF，EF，BD之间的数量关系，并证明．
28．（8分）A、B是⊙O上的两个点，点P在⊙O的内部．若∠APB为直角，则称点P为AB关于⊙O的内直点，特别地，当圆心O在∠APB边（含顶点）上时，称点P为AB关于⊙O的最佳内直点．
在平面直角坐标系xOy中．
（1）⊙O的半径为5，A（0，﹣5），B（4，3）是⊙O上两点．
①已知K1（1，0），K2（0，3），K3（﹣2，1），K4（6，﹣3）中，是AB关于⊙O的内直点的是　 　 ；
②若直线y＝k（x+4）﹣1（k＞0）上存在2个AB关于⊙O的内直点，直接写出k的取值范围．
（2）点E是以T（t，0）为圆心，4为半径的圆上一个动点，⊙T与x轴交于点D（点D在点T的右边），现有点M（1，0），N（0，n），对于线段MN上每一点H，都存在点T，使点H是DE关于⊙T的最佳内直点，请直接写出n的最大值，以及n取得最大值时t的取值范围．
2025年北京四中中考数学三模试卷
参考答案
一．选择题（共8小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D C D A D A D
二、填空题（共8小题，每题2分）
9．答案为x≠﹣1．
10．答案为：y（x+y）（x﹣y）．
11．答案为：x＝3．
12．答案为：﹣1（答案不唯一）．
13．答案为：．
14．答案为：C．
15．答案为：8．
16．答案为：1040．
三.简答题（共68分，第17-19题每题5分，第20-21题每题6分，第22-23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题每题7分）
17．解：
．
18．解：，
由①得：x＜2，
由②得：x＞﹣1，
则不等式组的解集为﹣1＜x＜2．
19．解：
，
∵a﹣b﹣2＝0，
∴a﹣b＝2，
则原式．
20．（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA＝OC，
∵E为AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴OE∥BC，
∵EF⊥BC，OG⊥BC，
∴EF∥OG，∠EFG＝90°，
∴四边形EFGO是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形EFGO是矩形；
（2）解：∵四边形ABCD是菱形，BD＝16，
∴BC＝AB＝10，OA＝OC，OB＝ODBD＝8，AC⊥BD，
∴∠BOC＝90°，
∴OC6，
由（1）可知，四边形EFGO是矩形，
∴∠OGF＝90°，
∴OG⊥BC，
∴S△OBCBC OGOB OC，
∴OG4.8，
即OG的长为4.8．
21．解：设该学生接温水的时间为x s，接开水的时间为y s，
根据题意得：，
解得：．
答：该学生接温水的时间为6s，接开水的时间为6s．
22．解：（1）把点A（0，2）和B（﹣2，5）代入y＝kx+b（k≠0）得：，
解得，
∴该函数的解析式为yx+2，
由题意知点C的纵坐标为﹣1，
当yx+2＝﹣1时，
解得：x＝2，
∴C（2，﹣1）；
（2）由（1）知：当x＝2时，yx+2＝﹣1，
因为当x＜2时，y＝﹣x+a的值于小于函数y＝kx+b（k≠0）的值且大于﹣1，
所以当y＝﹣x+a过点（2，﹣1）时满足题意，
∴﹣1＝﹣2+a，
解得：a＝1．
23．解：（1）该抽样的样本容量为1030，抽取学生成绩的平均数（5×95+9×85+10×75+4×65+2×5），
所以抽取学生成绩的平均数7可能位于080，但不能确定一定位于该组，
故答案为：30、否；
（2）全校1200名学生中，A等级的人数可以估计为1200200（名），
故答案为：200名；
（3）列表如下：
70 71 72 73 74
76 6 5 4 3 2
76 6 5 4 3 2
77 7 6 5 4 3
78 8 7 6 5 4
79 9 8 7 6 5
由表知，共有25种等可能结果，其中他们的分数之差不低于8分的只有3种结果，
所以他们的分数之差不低于8分的概率为；
甲组数据为70、71、72、73、74、75，
其平均数为（70+71+72+73+74+75）＝72.5，
方差[（70﹣72.5）2+（71﹣72.5）2+（72﹣72.5）2+（73﹣72.5）2+（74﹣72.5）2+（75﹣72.5）2]；
乙组数据为75、76、76、77、78、79，
其平均数为（75+76+76+77+78+79），
方差[（75）2+2×（76）2+（77）2+（78）2+（79）2]，
∵，
∴，
故答案为：，＞．
24．证明：（1）连接OB，则OP＝OB，
∴∠OBP＝∠OPB＝∠CPA，
∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC，
∵OA⊥l，
∴∠OAC＝90°，
∴∠ACB+∠CPA＝90°，
∴∠ABP+∠OBP＝90°，
∴∠ABO＝90°，
∴OB⊥AB，
∴AB是⊙O的切线；
（2）如图，过点O作OD⊥BP于D，
∵tan∠ACB，
∴设AP＝x，AC＝2x，
∴AB＝2x，OP＝OB＝5﹣x，
∵AO2＝OB2+AB2，
∴25＝（5﹣x）2+4x2，
∴x＝2，
∴AP＝2，AC＝4
∴OB＝OP＝3，
∴CP2，
∵∠CAP＝∠ODP＝90°，∠APC＝∠OPD，
∴△ACP∽△DOP，
∴，
∴PD，
∵OB＝OP，OD⊥BP，
∴BP＝2PD．
25．解：（1）如图所示：
（2）结合函数图象，
①m的值约为0.56，
故答案为：0.56；
②当脂肪的氧化率维持在0.4及以上时，运动强度x的范围约为52＜x＜78（精确到整数位），
故答案为：52＜x＜78；
③研究发现，初中生的课间跑操的运动强度与速度之间满足如下函数关系：
则若要使脂肪的氧化率达到最佳的效果，即脂肪的氧化率为0.60，此时对应的运动强度为65，
则观察上表，运动强度为65所对的运动速度为8千米/小时左右，
即跑步的速度应控制在8千米/小时左右．
故答案为：8．
26．解：（1）∵抛物线经过点（﹣2，0），∴0＝4a﹣2b，
∴b＝2a，
∴t1；
（2）∵a＞0，
∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）开口向上，
∵x＝0时，y＝0，
∴抛物线y＝ax2+bx（a＞0）过原点，
①∵1＜x1＜2，t＞2，
∴y1＜0，
故答案为：＜；
②当x＝0时，y＝0，
∵对称轴直线为x＝t，
∴抛物线过（0，0）和（2t，0），
∵a＞0，
∴抛物线开口向上，
∵x1+x2＝2，
∴x1＝2﹣x2，
∵1＜x1＜2，
∴1＜2﹣x2＜2，
∴0＜x2＜1，
当t＜0时，如图：
此时（x1，y1），（x2，y2）都在x轴上方，不满足y1y2＜0；
当t＞0时，如图：
∵y1y2＜0恒成立，
∴y2＜0，y1＞0，
∴2t＝1，
解得t．
27．（1）证明：如图，过点D作DM⊥BC于M，设EF，AD交于O，
∵BD平分∠ABC，∠A＝90°，DM⊥BC，
∴DM＝AD，∠EBO＝∠FBO，
设AD＝DM＝a，则BE＝2AD＝2a，
∵∠A＝90°，AC＝AB，
∴∠C＝∠ABC＝45°，
∴△DMC是等腰直角三角形，
∴CM＝DM＝a，
∴；
∵EF⊥BD，∠BOE＝∠BOF＝90°，
又∵OB＝OB，
∴△BOE≌△BOF（ASA），
∴BF＝BE＝2a，
∴；
（2）解：BD＝EF+DF，证明如下：
如图，作正方形ABHC，取BE中点G，连接HG交BD于T，延长EF交CH于M，
由正方形的性质可得AB＝BH，∠A＝∠ABH＝90°，AB∥CH，
∵G是BE中点，BE＝2AD，
∴BG＝AD，
∴△BGH≌△ADB（SAS），
∴GH＝BD，∠ABD＝∠BHG，
∵∠BHG+∠BGH＝90°，
∴∠ABD+∠BGH＝90°，
∴∠BTG＝90°，
∴GH⊥BD，
∵EF⊥BD，
∴GH∥EM，
又∵AB∥CH，
∴四边形GHME是平行四边形，
∴BD＝GH＝EM，，
∴AC﹣AD＝CH﹣HM，
即CD＝CM，
∵CF＝CF，∠DCF＝∠MCF＝45°，
∴△DCF≌△MCF（SAS），
∴DF＝MF，
∵EM＝EF+MF，
∴BD＝EF+DF．
28．解：（1）①∵A（0，﹣5），B（4，3），
∵K1（1，0），A（0，﹣5），B（4，3），
∴，，，
∴K1不在以AB为直径的圆弧上，不是AB关于⊙O的内直点，
∵K2（0，3），A（0，﹣5），B（4，3），
∴K2A＝8，，K2B＝4，
∴，
∴∠AK2B＝90°，
∴K2在以AB为直径的圆弧上且在⊙O的内部，是AB关于⊙O的内直点，
同理可得K3是AB关于⊙O的内直点的，K4不是AB关于⊙O的内直点，
故答案为：K2，K3；
②∵y＝k（x+4）﹣1（k＞0）恒过点（﹣4，﹣1），设为点D，
设AB的中点为E，则E（2，﹣1），
如图，DF是半圆E的切线，F是切点，过点F作FG⊥DE于点G，直线在DF，DB之间时，直线与半圆AB有2个交点，符合题意，
∴DE＝6，，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∵∠FEG＝90°﹣∠FDG，
∴，
∴，
∴，
将，代入y＝k（x+4）﹣1，
解得：，
将B（4，3），代入y＝k（x+4）﹣1，
解得：，
∴；
（2）k的取值范围为；理由如下：
∵对于线段MN上每一个点H，都存在点T，使H是DE关于⊙T的最佳内直点，
∴点T一定在∠DHE的边上，
∵TD＝4，∠DHT＝90°，线段MN上任意一点（不包含点M）都必须在以TD为直径的圆上，该圆的半径为2，
∴当点N在该圆的最高点时，n有最大值，
即n的最大值为2．
分两种情况：
①若点H不与点M重合，那么点T必须在边HE上，此时∠DHT＝90°，
∴点H在以TD为直径的圆上，
如图3，当⊙G与MN相切时，GH⊥MN，
∵OM＝1，ON＝2，
在直角三角形MON中，由勾股定理得：，
∵∠GMH＝∠OMN，∠GHM＝∠NOM，ON＝GH＝2，
在△GHM和△NOM中，
，
∴△GHM≌△NOM（AAS），
∴，
∴，
∴，
当T与M重合时，t＝1，
∴此时t的取值范围是，
②若点H与点M重合时，临界位置有两个，一个是当点T与M重合时，t＝1，另一个是当TM＝4时，t＝5，
∴此时t的取值范围是1≤t＜5，
综上所述，n的最大值为2；t的取值范围是．

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