资源简介

(共26张PPT)
7.1.1 直线拟合
学习目标
1.通过具体实例，了解曲线拟合与直线拟合的概念，体现数学抽象能力（重点）
2.能运用直线拟合解决简单的实际问题，体现数学计算能力（难点）
新课导入
在现实生活中, 反映量与量之间的函数关系非常普遍, 但也存在一些量与量之间不满足函数关系, 如人的身高与体重. 一般说来, 人的身高越高, 体重就越重, 二者确实有关系. 但是身高相同的人, 体重却不一定相同, 也就是说, 给定身高h没有唯一的体重m与之对应. 在现实生活中, 这样的例子还有很多, 如人的年龄与血压、农作物的施肥量与产量等.
那么，如何描述这种量与量的关系？
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为了了解人的身高与体重的关系，随机抽取9名15岁的男生，测得他们的身高(单位：cm)、体重(单位：kg)如表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 165 157 155 175 168 157 178 160 163
体重/kg 52 44 45 55 54 47 62 50 53
思考一下：体重是身高的函数吗？
同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg,即体重不是身高的函数.
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思考一下：根据数据，在平面直角坐标系画出对应的点吗？
从表中不难看出, 同一身高157cm对应着不同的体重44kg和47kg , 即体重不是身高的函数.
如果把身高看作横坐标、体重看作纵坐标, 在平面直角坐标系中画出对应的点(如图), 就会发现, 随着身高的增长,体重基本上呈现直线增加的趋势.
在图中，每个点对应的一对数据(xi,yi),称为成对数据.这些点构成的图称为散点图.
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曲线拟合与直线拟合的概念
从散点图上可以看出，如果变量之间存在着某种关系，这些点会有一个大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似地描述.这样近似描述的过程称为曲线拟合.
若在两个变量X和Y的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，此时就可以用一条直线来近似地描述这两个量之间的关系，称之为直线拟合.
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思考一下：应当如何求这条直线呢？
方法1：选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多，如有人选取了(165,52)和(168,54)这两个成对数据，得到直线方程为2x-3y-174=0.
代入得2×166-3y-174=0，解得y=52.667.
因此，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52.667kg.
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思考一下：应当如何求这条直线呢？
方法2：将所有的点分成两部分，一部分是身高在165cm以下的，一部分是身高在165cm以上(含165cm)的；然后每部分的点求一个平均点：165cm以下的身高、体重的平均数（取整近似）作为一个平均点，即(158,48),165cm以上(含165cm)的身高、体重的平均数（取整近似）作为另一个平均点，即(172,56)；最后将这两点连接成一条直线，得到直线方程为4x-7y-296=0.
代入得4×166-7y-296=0，解得y=52.571.
因此，一个身高166cm的15岁男生，他的体重大致为52.571kg.
上面两种方法都有一定的道理.用方法1，若x=175cm,则可计算y≈58.667kg;用方法2，若x=175cm,则可计算y≈57.714kg.每种方法都存在一定的偏差.
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思考交流：实际上，还有很多直线拟合的方法，你能想到哪些方法呢？
1.最小二乘法: 最小二乘法是一种常用的拟合直线方法, 它通过将数据点到直线的距离的平方和最小化来确定直线的位置.该方法适用于线性回归问题，即适用于自变量和因变量之间呈线性关系的情况.
2.线性规划法: 线性规划法是一种将数据点拟合到直线上的方法, 它通过寻找一条直线, 使得所有数据点到该直线的距离之和最小化.与最小二乘法不同的足, 线性规划法可以适用于非线性回归问题.
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思考交流：实际上，还有很多直线拟合的方法，你能想到哪些方法呢？
3.非线性规划法: 非线性规划法是一种将数据点拟合到曲线上的方法, 它通过寻找一条曲线, 使得所有数据点到该曲线的距离之和最小化.该方法适用于非线性回归问题, 如指数、对数等曲线拟合.无论选择哪种方法, 拟合直线都是一种重要的数据分析方法, 可以帮助我们更好地理解数据之间的关系, 从而为决策提供更加准确的依据.
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练一练：下表是某小卖部6天卖出热茶的杯数(单位：杯)与当天气温(单位：℃)的对比表：
气温/℃ 26 18 13 10 4 -1
杯数/杯 20 24 34 38 50 64
(1)根据上表中的数据画出散点图.
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(2)你能从散点图中发现当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈现什么关系吗？
从散点图中发现：当天气温与卖出热茶的杯数近似地呈线性关系，卖出热茶杯数随着温度的升高而减少，当天气温越高，卖出热茶的杯数越少.
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(3)如果近似呈线性关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性关系.
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(4)如果某天的气温是-5℃，预测这天小卖部卖出热茶的杯数.
选取散点图中的两个点，使得其余的点在这两个点所连直线两侧分布得尽可能一样多，选取(4,50)和(13,34)，得到直线方程为：
16x+9y-514=0.
因此，当天气温为-5℃时，卖出热茶的杯数约为66杯.
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课堂总结
1.成对数据与散点图的概念
2.曲线拟合与直线拟合的概念
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