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2025-2026学年江苏省淮安市淮阴中学高三（上）段考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数为纯虚数，则复数为( )
A. B. C. D.
2.已知，，设，，，，则( )
A. B. ，，
C. ， D.
3.在中，角是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
4.已知，，则( )
A. B. C. D.
5.设为所在平面内一点，且满足，则( )
A. B.
C. D.
6.如果等差数列的前项和满足：，，那么的值为( )
A. B. C. D.
7.函数，，下列结论正确的是( )
A. 在上单调 B. 图象对称中心为
C. 在处取得极小值 D. ，使得
8.已知函数，，则函数与图象交点的个数为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，都为正实数，且则( )
A. 的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为 D.
10.若函数最小正周期为，则( )
A. 的图象关于直线对称
B. 的图象向右平移个单位后是奇函数
C. 将的图象上所有点的横坐标变为原来的纵坐标不变得到的图象
D. 函数在上有唯一的极值点
11.设定义在上的函数与的导函数分别为和，且，，且的图象关于点对称，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ______．
13.记数列的前项和为，已知，，则的值为______．
14.已知满足，则面积的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，为锐角，且，．
求的值；
求的值．
16.本小题分
已知且，函数，．
方程的两根为和，且，求的值；
当时，对任意的，都存在，使得，求的取值范围．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知，．
若，求边上的高；
如图，过作，且，记
用表示边；
若的面积为，求的大小．
18.本小题分
某校一兴趣小组研制了一种简易摩天轮装置如图，点距水平桌面分米，摩天轮半径为分米，摩天轮绕点逆时针方向做匀速转动，每分钟转一圈，摩天轮上点的起始位置在最低点处．
开始转动分钟后，点距桌面的高度为，求的解析式；
某同学进一步改良摩天轮装置，在处添置以为圆心的小摩天轮，半径为分米，小摩天轮绕点按逆时针方向做匀速转动，每一分钟转一圈，小摩天轮上一点，起始位置如图，且与桌面平行，当点在最低点时，同时启动两个摩天轮，求大摩天轮转动一圈过程中，点距桌面的最大高度．
19.本小题分
已知函数．
曲线在点处的切线方程为，求，的值；
若在有三个不同的零点，，，求的取值范围；
在的条件下，记，证明：．
参考答案
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13.
14.
15.因为，，且，
所以，，
则；
因为，，
所以，
由知，，
所以
．
16.令，解得或，
解得，，则，所以；
当时，函数，
因，那么，函数，
又因为在上单调递减，那么函数，
根据任意的，都存在，使得，
那么函数在上的值域是在上值域的子集，
因此，即
17.因为，
在中，，可得，
即，即．
又，，，可得，
即，可得，即，
在中，由正弦定理得，，，
即，可得，
又因为，所以或，
又，
所以，所以，
而，
所以边上高为．
故AC边上的高为；
因为，在中，，
所以，，
由正弦定理得，即，
所以；
在中，，，，
所以，，
由正弦定理得，得，
所以，
所以，
即，
化简可得．
18.以点为坐标原点，与桌面平行的直线为轴，建立平面直角坐标系，
则摩天轮转动的周期，解得，
可得，所以，；
由题意得小摩天轮转动的周期，
解得，
结合，可得，
所以点到桌面的距离，，
求导数得
，
令，解得；令，解得，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
结合，，可得的最大值为，
即点距桌面的最大高度为分米．
19.由题意可得，又，
所以，解得，
所以，即，解得，
所以，．
由，，
当，即时，，所以在上单调递增，
又，所以仅有一个零点，不符合题意；
当时，，所以在上单调递增，不合符题意；
当时，令，则或，
记，，
故，又，所以，
当时，，函数在上单调递减，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递增，
又，所以，
设，
则，
所以，函数在上单调递减，又，
所以当时，，此时，
所以当时，，
所以，
所以，
因为，所以，
取，，
又，所以存在，使得，
因为，
所以，
因为，，所以，即，
所以有三个不同的零点，
综上；
证明：由可知，，
所以要证明，只需证明，
又，所以，
故只需证明，即证，
只需证明，
设，，
则，
当时，，，所以恒成立，
所以在上单调递增，又，
所以当时，恒成立，
所以．
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