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2025-2026学年山东省德州市校际联考高三（上）9月月考
数学试卷（一）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.曲线在点处的切线斜率为( )
A. B. C. D.
3.角的始边为轴非负半轴，复数满足，且复数对应的点在角的终边上，则的值为( )
A. B. C. D.
4.下列函数中，既是偶函数，又是上的减函数的是( )
A. B. C. D.
5.已知等差数列的前项和为，若，，则使最大的的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
6.将函数的图象向左平移个单位后，所得的图象仍然关于原点对称，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.设为正项等差数列的前项和，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.已知向量，，满足对任意，恒有，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知平面向量，则下列说法正确的是( )
A. 可能垂直
B. 可能共线
C. 若，则
D. 若，则在方向上的投影向量为
10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确( )
A. 的图象关于点对称
B. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
C. 若在上有个极值点，则取值范围是
D. 若方程在上有且只有一个实数根，则的取值范围是
11.在中，角，，所对的边分别为，，，且，，为角的平分线交于，则( )
A. B. 的面积为
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量，，若、的夹角为钝角，则的取值范围是______．
13.已知，则的值为______．
14.已知向量满足，且与的夹角为，设，记数列的前项和为，则______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在边长为的菱形中，，，设，．
用，，表示，并求；
若，，求实数的值．
16.本小题分
已知数列中，，，记．
求证：数列是等差数列，并求出；
设，求．
17.本小题分
已知函数．
若的最小正周期为．
(ⅰ)求的单调递增区间；
(ⅱ)若，且，求的值；
若在区间上的值域为，求的取值范围．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别为，，，已知，．
求角的值；
若边上的中线长为，求的面积；
求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若，求函数在上的最值；
若，对，求证：；
若是函数的极小值点，求的取值范围．
参考答案
1.
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8.
9.
10.
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13.
14.
15.已知在边长为的菱形中，，，
又，，
则．
因为，，
所以，
则，
所以；
因为，
所以，
因为，
所以，
所以，
即，
解得．
16.证明：由，，
可得，
由，可得，且，
则数列是首项为，公差为的等差数列，
；
设数列的前项和为，可得，
当时，，；
当时，，．
综上，可得．
17.由题意得，
若的最小正周期为，则，解得，，
令，，解得的递增区间为．
由，解得，
结合，可得，
所以
．
当时，，
结合在区间上的值域为，
可得，解得，即的取值范围是．
18.因为，
在中，，且，
可得，
即，
整理得，
因为是锐角三角形，所以，
所以，
所以，
解得；
已知，是边上的中线，，
法所以，
在中，由余弦定理可得，
即，整理得，
由正弦定理，，
所以，又，所以，
所以，
所以，
将代入整理得，
因为，所以，所以，
解得，又，所以，
所以是等边三角形，；
法可得，两边平方可得，
即，
由余弦定理可得，即，
所以，可得，
所以；
由，
所以，
因为是锐角三角形，所以，
解得，
所以，所以，
即的取值范围为．
19.若，，，
故当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
而，，，
故在上的最小值为，最大值为；
证明：若，，
令，
则，
令，则，
令，则，
则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
即，则在上单调递增，所以，
所以当时，，
即；
由题意得，，．
当时，不妨设，
因为，
故在上恒成立，单调递增，
又，所以当时，；
当时，，
又，
则，
当时，，即在上单调递增，
当时，，即在上单调递减；
故是函数的极小值点，
当时，不妨设，故存在，使得，
且当时，，故在上单调递减，
故当时，，，
故在上单调递减，故不是函数的极小值点，
综上，实数的取值范围为．
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