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2025-2026学年四川省眉山市仁寿县华兴中学高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.袋中装有个白球，个黄球，个红球，从中任取球，抽到的不是白球的概率为( )
A. B. C. D.
2.在空间直角坐标系中，已知点关于原点中心对称的点为，而点关于轴对称的点为，则( )
A. B. C. D.
3.某同学参加学校组织的化学竞赛，比赛分为笔试和实验操作测试，该同学参加这两项测试的结果相互不受影响若该同学在笔试中结果为优秀的概率为，在实验操作中结果为优秀的概率为，则该同学在这次测试中仅有一项测试结果为优秀的概率为( )
A. B. C. D.
4.设，，向量，，，且，，则( )
A. B. C. D.
5.如图，已知空间四边形，其对角线，，，分别是对边，的中点，点在线段上，且，现用向量，，表示向量，设，则，，的值分别为( )
A.
B.
C.
D.
6.在棱长为的正四面体中，，分别为，的中点，则直线和夹角的余弦值是( )
A. B. C. D.
7.如图所示，在平行六面体中，，，，，，则的长为( )
A. B.
C. D.
8.如图，在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于概率的基本性质，下列选项正确的是( )
A. 如果事件与事件互斥，那么
B. 如果事件与事件互为对立事件，那么
C. 如果，则
D.
10.下列说法中正确的有( )
A. 若事件与事件是互斥事件，则
B. 若事件与事件是对立事件，则
C. 某人打靶时连续射击三次，则事件“至少有两次中靶”与事件“至多有一次中靶”是对立事件
D. 把红、橙、黄张纸牌随机分给甲、乙、丙人，每人分得张，则事件“甲分得的不是红牌”与事件“乙分得的不是红牌”是互斥事件
11.如图，在棱长为的正方体中，点为线段的中点，点为线段的中点，则( )
A. 点到直线的距离为
B. 直线到直线的距离为
C. 点到平面的距离为
D. 直线到平面的距离为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，则向量的夹角为______．
13.已知正三棱柱的侧棱长为，底面边长为，是的中点，点为上一点，则当 时，．
14.如图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，，点，分别为，的中点，点为内的一个动点包括边界，若平面，则点的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面，，四边形为正方形．
证明：．
求与平面所成角的正弦值．
16.本小题分
袋子中有个大小质地完全相同的小球，其中红球有个，编号分别为，；白球有个，编号分别为，，，，不放回地随机摸出两个球．
求摸出的两个球中有红球的概率；
记事件为“摸出的两个球全是白球”，为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，判断事件，是否相互独立．
17.本小题分
某知识比赛积分规则如下：参赛队胜一场积分，平一场积分，负一场积分某校代表队参加该次知识比赛，已知该校代表队与队进行一场红色知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为；与队进行一场科技知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为这两场比赛结果相互独立．
求该校代表队与队进行红色知识比赛获得积分超过与队进行科技知识比赛获得积分的概率；
求该校代表队与队进行红色知识比赛和与队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于分的概率．
18.本小题分
如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，，，点是棱上靠近端的三等分点，点是棱上一点．
证明：平面；
求点到平面的距离；
求平面与平面夹角的余弦值．
19.本小题分
如图，已知正方形的边长为，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使二面角的大小为，点在线段上．
若为的中点，且直线与直线的交点为，求的长，并证明直线平面；
是否存在点，使得直线与平面所成的角为，若存在，求此时二面角的余弦值，若不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：以为坐标原点，，，所在直线分别为坐标轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
，，
，
；
设平面的一个法向量为，
，，
则，则，，
令，则，，
平面的一个法向量为，
，
，
与平面所成角的正弦值为．
16.解：从个球中不放回地随机摸出两个球，总共有种情况，
假设摸出的两个球中没有红球，则列举出所有组合情况，
即，，，，，，共种，
则摸出的两个球全是白球概率为：，
所以摸出的两个球中有红球的概率为；
由前面知道，事件为“摸出的两个球全是白球”，概率为，
事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，
两个球的编号之和为偶数，有两类情况：两球均为奇数或两球均为偶数，
两球均为奇数的情况有，，，种，
两球均为偶数的情况有，，，种，总共种，
则，
即摸出的两个球全是白球且编号之和为偶数，有，，共种，
则概率为，
因为不成立，所以事件，不相互独立．
17.已知该校代表队与队进行一场红色知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，
与队进行一场科技知识比赛获胜的概率为，平的概率为，负的概率为，
设事件为“该校代表队与队进行一场红色知识比赛获得积分分，
与队进行一场科技知识比赛获得积分分”，则；
事件为“该校代表队与队进行一场红色知识比赛获得积分分，
与队进行一场科技知识比赛获得积分分”，则；
事件为“该校代表队与队进行一场红色知识比赛获得积分分，
与队进行一场科技知识比赛获得积分分”，则．
故该校代表队与队进行红色知识比赛获得积分超过与队进行科技知识比赛获得积分的概率为．
设事件为“该校代表队与队进行红色知识比赛和与队进行科技知识比赛获得的积分之和等于分”，则；
设事件为“该校代表队与队进行红色知识比赛和与队进行科技知识比赛获得的积分之和等于分”，
则．
故该校代表队与队进行红色知识比赛和与队进行科技知识比赛获得的积分之和不小于分的概率为．
18.解：证明：以点为坐标原点，，，分别为，，轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
，
，
设平面的法向量为，
则，则，
即，
令，得，，
故平面的一个法向量为，
又，可得，
因为平面，所以平面；
因为平面，
所以点到平面的距离等于点到平面的距离，
易知，
则点到平面的距离为；
易知，
设平面的法向量为，
则，则，
即，
令，得，，
故平面的一个法向量为，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面的夹角的余弦值为．
19.解：因为，分别为，的中点，
则，
又为的中点，
则为的中点，
故，
连接，，交于点，连接，
因为四边形为平行四边形，
所以为的中点，又为的中点，
则，
又平面，平面，
故平面；
因为，
所以，，
因为，平面，，
所以平面，
又平面，
则平面平面，
取的中点为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，
所以，
则，
设，
则，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
故，
因为直线与平面所成的角为，
所以，即，解得或，
故存在点，使得直线与平面所成的角为，
设的中点为，则，
所以为平面的法向量，
故，
设二面角的平面角为，
当时，，此时平面平面，
则当时，为钝角，所以；
当时，为锐角，所以．
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