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2025年高考专项训练2：集合的新定义问题
一、单选题
1.定义集合运算：设，，则集合中的所有元素之和为．
A. B. C. D.
2.设，是非空集合，定义且，已知，，则( )
A. B. 或
C. D. 或
3.若，则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为( )
A. B. C. D.
4.设集合，，定义，，则中元素的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.对于集合，，定义且，，设，，则( )
A. B.
C. D.
6.定义一种新的集合运算：且若集合，，则按运算，等于( )
A. B. C. D.
7.当一个非空数集满足“如果，，则，，，且时，”时，我们称就是一个数域，以下四个数域的命题：
是任何数域的元素：
若数域有非零元素，则；
集合是一个数域
有理数集是一个数域
其中真命题的个数为( )
A. B. C. D.
8.定义集合运算：若集合，，则( )
A. B. C. D.
9.对于非空集合，其所有元素的几何平均数记为，即若非空数集满足下列两个条件：；，则称为的一个“保均值真子集”，则集合的“保均值真子集”的个数为( )
A. B. C. D.
10.若集合满足：若则，则称集合是一个“对称集合”已知全集，那么下列集合中为“对称集合”的是( )
A. B. C. D.
二、多选题
11.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是( )
A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合为闭集合，则为闭集合
12.给定数集，若对于任意，，有，且，则称集合为闭集合，则下列说法中不正确的是( )
A. 集合为闭集合
B. 正整数集是闭集合
C. 集合为闭集合
D. 若集合，为闭集合，则为闭集合
13.已知集合，，记表示有限集中的元素的个数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，则
14.对任意集合，记，并称为集合的相异集，则( )
A.
B. 若，则
C. 命题“若，则”为假命题
D. 若，则是成立的充分必要条件
15.对于平面内的一个有限点集由有限个点组成的集合，若该点集内的每个点都恰有三个与之距离最近的点这三个点也在点集内，则称这样的点集为“对称集”，记作，其中表示该点集内点的个数如集合不存在集合存在，该集合内个点的一种分布方式为：，则使存在的还可以为( )
A. B. C. D.
三、填空题
16.若，则，就称是“对偶关系”集合，若集合的所有非空子集中是“对偶关系”的集合一共个，则实数的取值集合为 ．
17.给定集合、，定义：或，但，又已知，，用列举法写出 ．
18.定义：对于非空集合，若元素，则必有，则称集合为“和集合”已知集合，则集合的所有子集中，是“和集合”的集合有__________个．
19.在检测文本相似度时常以杰卡德距离作为衡量工具．称为集合内元素的个数，定义为集合之间的杰卡德距离．现有两个文本集合，若，则的最小值为 ．
20.设为实数集的非空子集，若对任意，，都有，，，则称为封闭集．给出下列说法：
集合为封闭集；
若为封闭集，则一定有；
封闭集一定是无限集；
若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．
其中说法正确的是 填序号．
四、解答题
21.若集合具有以下性质：且；(ⅱ)若，，则，且当时，，则称集合为“闭集”．
试判断集合是否为“闭集”，并说明理由；
设集合是“闭集”，求证：若，，则；
若集合是一个“闭集”，判断命题“若，则”的真假，并说明理由．
22.设，为两个集合，我们定义集合 为两个集合，的差集，记为
已知，求和
求证：
23.笛卡尔积是法国数学家笛卡尔命名的，允许将不同集合的元素组合成有序对，具有广泛的应用领域，包括数学、计算机科学、统计学和物理学对于非空数集，，定义且，将称为“与的笛卡尔积”．
若，，求和；
若，是非空数集，证明“”的充要条件是”；
若集合是有限集，将集合中的元素个数记为若，
，且满足，当取得最大值时，求的最小值．
24.设整数，对于集合，定义对应关系：，规定：，；若，则．
当时，写出满足，的对应关系；
当为偶数时，求的最小值；结果用表示
(ⅱ)集合，记是集合的一个子集，令对应一个数规定：空集对应的数为对于的所有子集，记它们对应的数的总和为求的最小值结果用表示
25.已知集合具有性质：对任意，与至少有一个属于，则称为“封闭集”．
若集合，，判断，是否是“封闭集”并说明理由；
若集合是“封闭集”，且，求集合；
设集合是“封闭集”，证明：当时，．
26.设是正整数，是的非空子集至少有两个元素，如果对于中的任意两个元素，，都有，则称具有性质．
试判断集合，是否具有性质并说明理由
若集合，证明不可能具有性质
若集合且具有性质和，求中元素个数的最大值．
27.已知集合为平面中点的集合，为正整数，若对任意的且，总存在平面中的一条直线恰通过中的个不同的点，称集合为连续共线点集．
若，，，，判断是否为连续共线点集是否为连续共线点集
已知集合为连续共线点集，记集合的元素个数为
(ⅰ)若，求的最大值
(ⅱ)对给定的正整数，求的最小值．
28.对任意一个非零复数，定义集合．
设是方程的一个根，试用列举法表示集合；
若复数，求证．
29.已知集合，对于，，定义．
已知，求所有的，使得：
已知，求证：为偶数；
已知，对任意，均有，求的最大值．
30.对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义注：是指满足且的最小自然数．
设，请直接写出集合；
设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；
对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
依题意，，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
当，时，，
则，其所有元素之和为，
故选：．
2.【答案】
【解析】
由已知可得，；
或．
故选B．
3.【答案】
【解析】具有伙伴关系的元素构成的集合，，、，、共个，
其中任取个，个，个，个的并集构成满足题意的集合，
集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合个数为：，
故选A．
4.【答案】
【解析】的取值可以是，，之一，的取值可以是，，，之一，
的可能情况有：
，，，，
，，，，
，，，，共种不同情况，
所以中元素的个数是个．
故选D．
5.【答案】
【解析】因为且，，，
所以，，
故
故选C．
6.【答案】
【解析】，，
所以且．
故选：．
7.【答案】
【解析】因数域是非空数集，取其中任意元素，
则由数域定义，故正确；
因数域有非零元素，设为，
则由数域定义，
因，则，，
类推可得任意正整数都在数域中，故正确；
表示全体被整除的整数，
则，，但，故错误；
设，，则，，，
当时，，
则有理数集是一个数域，故正确．
故选：．
8.【答案】
【解析】因为集合，
由可得：或，则或，
由可得：或，则或，
所以，，，，
因为，
当时，，
当时，，
所以，，
所以，．
9.【答案】
【解析】因为集合，则，
所以集合的“保均值真子集”有：，，，，，，共个．
故选：．
10.【答案】
【解析】因为，所以，
因为，但，故A错误，
，因为，但，故B错误，
，所以，
满足对，
所以是一个“对称集合”，所以C正确，
，所以 ，不合题意，
所以选项D的说法是不正确的，
故选C．
11.【答案】
【解析】根据对于任意，，有，且，则称集合为闭集合．
对于，当集合时，由于，所以集合不为闭集合，故A错误
对于，设，是任意的两个正整数，当时，不是正整数，所以正整数集不为闭集合，故B错误；
对于当时，设，，，，
则，，
则，，所以集合是闭集合，故C正确
对于，设，是闭集合，且，，而，此时不为闭集合，故D错误．
故选ABD．
12.【答案】
【解析】当集合 时， ， 而 ，所以集合 不为闭集合，选项A不正确．
B.设 是任意的两个正整数， 则 ，但 不一定属于 ，如，，不属于正整数，所以正整数集不为闭集合，选项 B不正确．
C.当 时，设 ，则 ， ， 所以集合 是闭集合，选项C正确．
设 ， ，由 可知，集合 ， 为闭集合， ， 而 ，此时 不为闭集合，选项D不正确．
所以说法中不正确的是．
故选ABD．
13.【答案】
【解析】集合，，
对于，若，则的可能取值为或，故A错误；
对于，若，则，，，故B正确；
对于，若，则的可能取值为，，，故C错误；
对于，，，且的值不是和，，故D正确．
故选：．
14.【答案】
【解析】对，，故A正确；
对，若，当时，，，且，
当时，假设，不满足，故，故B错误；
对，若，则根据定义可知，故C错误；
对，由，得，反之也成立，故D正确．
故选：．
15.【答案】
【解析】根据题目定义，对称集要求每个点有三个最近的邻点，且这些邻点均在点集内．
结合图论中的正则图每个顶点度数为需满足边数为整数，故必须为偶数．
题目中已给出存在的例子，而不存在．
几何构造分析表明，在平面中满足每个点有三个等距邻点的有限点集需要高度对称的结构，如蜂窝状或特殊网格排列，但此类构造仅对特定偶数可行．
最终答案所有可能的值为偶数且，所以或者
故选AB．
16.【答案】
【解析】集合的所有的“对偶关系”
有与，与，与，则与，
这些组合的“对偶关系”有对，集合有个．
那么，可得．
当时，则，也满足“对偶关系”．
可得实数的取值集合为．
故答案为．
17.【答案】
【解析】【分析】
本题考查集合的新定义问题，解题时要认真审题，注意新定义的合理运用，属于中档题．
求得，根据新定义即可求解．
【解答】
解：或，但，，，，
．
故答案为．
18.【答案】
【解析】当集合的子集中只有个元素时，即为，共个
当集合的子集中有个元素时，即为，，，共个
当集合的子集中有个元素时，即为，，，
共个
当集合的子集中有个元素时，即为，，，共个
当集合的子集中有个元素时，即为，，
，共个
当集合的子集中有个元素时，即为，共个．
当集合的子集中有个元素时，即为，共个．
故集合的所有子集中是“和集合”的集合有个．
故答案为．
19.【答案】
【解析】由题意可知当最大且最小时，最小，
因为，所以最大为，此时，
且此时最小为，此时，
若，则且，此时，
故的最小值为．
故答案为：．
20.【答案】
【解析】对，任取，，
不妨设，，
则，
其中，均为整数，即．
同理可得，；
对，当时，；
错，当时，是封闭集，但不是无限集；
错，设，
显然不属于，则是封闭集，不是封闭集．
因此，说法正确的是．
故答案为．
21.【答案】解：因为，
所以不是闭集，
证明：因为集合是闭集，，，
所以，
故；
当或时，命题“若，则”为真命题，
当且时，因为，
所以，
所以，，
所以，即，
所以，
又，
所以，即，得证．
所以命题“若，则”为真命题．
22.【解析】，
，
证明

，



所以
同理，所以．

23.【解析】由题意知，，
，；
证明：先证明“”是“”的充分条件，
若，
任取，则对于任意，有，
，则，，
；
任取，则对于任意，有，
，则，，
，
综上可知，得证；
再证明“”是“”的必要条件，
若，设，
则，且，
，且，
，得证，
综上，“”的充要条件是”；
由题意，，
则，且，，
，即，
则，
当且仅当，即，则，
则，
令，且，则，
则，
当且仅当，即，时，等号成立，
当取得最大值时，的最小值为．
24.【解析】对应关系：，，，；
要求的最小值，尽可能取为奇数或奇数相反数，
当为偶数时，不妨取，，，，，，
此时，所以的最小值为；
因为，所以，则，当且仅当或时取等号，
由可知，当为偶数时，则最小值为；
同理，当为奇数时，按照上述构造，必有一个，此时，
取，，，，，，，，
此时，所以最小值为，
易知集合有个子集，含有“”的子集有：
一元子集个：；
二元子集个：，，，；
三元子集个：，，，；
，
元子集个：，
所以子集中“”的和：
，
集合的子集中含有“”的子集有：
一元子集个：；
二元子集个：，，，；
三元子集个：，，，；
，
元子集个：，
所以子集中“”的和：
，
以此类推，可得子集中“”的和：
，
又因为空集对应的数为，所以，
综上所述．
25.【解析】集合中，因为，，所以集合不是“封闭集”．
集合中，
因为，，，，，，
所以集合是“封闭集”；
因为，且是“封闭集”，由于，
所以，则，所以，
又因为，所以，
则，，，
由集合的元素互异性可知，，而，所以，
故集合；
因为是“封闭集”，
所以，则，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，则，
由集合元素的互异性可知
所以，，，，，
所以，
即
所以当时，
则为
也即，命题得证．
26.【解析】，不具有性质．
，，，具有性质；
将集合中的元素分为如下个集合，
，，，，，，，，，．
所以从集合中取个元素，那么这个集合至少有一个集合要选个数，存在两个元素其差为，不可能具有性质；
先说明连续项中集合中最多选取项，以，，，为例将这个数分为，，，，，，个集合，
，，同时选，因为具有性质和，所以选则不选，选则不选，选则不选，则只剩，故，，，中属于集合的元素个数不超过个．
，，选个，若只选，，则，，，，不可选，又只能选一个元素，，可以选，故，，，中属于集合的元素个数不超过个．
若选，，则只能从，，，中选，但，不能同时选，故，，，中属于集合的元素个数不超过个．
若选，，则，，，，不可选，又只能选一个元素，，可以选，故，，中属于集合的元素个数不超过个．
，，中只选个，又四个集合，，，每个集合至多选个元素，故，，，中属于集合的元素个数不超过个．
由上述可知，连续项自然数中属于集合的元素至多只有个，如取，，，，因为，
则把每个连续自然数分组，前组每组至多选取项从开始，最后个数至多选取项，故集合的元素最多有个．
给出如下选取方法：从，，，中选取，，，，然后在这个数的基础上每次累加，构造次．
此时集合的元素为：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共个元素．
经检验可得该集合符合要求，故集合的元素最多有个．
27.【答案】解：直线经过，，个点，直线经过，个点，
直线经过个点，所以为连续共线点集，
没有直线经过中的个点，所以不是连续共线点集；
因为，即直线最多经过中的个点，所以
时，个点在一条直线上，没有一条直线恰经过个点，不满足．
时，个点在一条直线上，则仅剩个点，没有一条直线恰经过个点，不满足．
又当，，，，，时，，，，分别恰经过中，，，个点，为连续共线点集，所以．
设恰经过中的个点，
由于经过个点，恰经过个点，最多与交个点，即最少需要多个点
恰经过个点，最多分别与，各交个点，即最少需要多个点
依次类推，恰经过个点，最多分别与，各交个点，即最少需要多个点，
所以当是偶数时，最少需要个点，
当是奇数时，最少需要点
所以为不超过的最小整数．
下面用归纳法构造个元素的点集，为连续共线点集
，时，
因为当时，最少需要个点，而，结论成立；
当，最少需要个点，而，结论成立
假设，时，中有个点，
直线恰经过中的个点，
作一条直线不经过原来的个点，
且与，，，均各有一个交点，，，，
并在上取异于，，，的两个点，，
则，，，，各经过，，，，个点，
然后任选一点，过该点作不经过其余个点的直线，
则，，，，，各经过，，，，，个点，
则点集为连续共线点集，
此时
所以
28.解：由，得，
，，
当时，，，
；
当时，，
．
；
证明：，
存在，使得．
于是对任意，，
由于是正奇数，，
．
29.由题意，若，使得，设，
则，注意到，
从而这四个数中的其中一个要么是，要么是，
结合，可知必有个和一个，
所以我们分四种情况讨论即可：
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
，，解得，即此时；
综上所述，满足题意的为或或或；
证明：若，设，，
，
则，
由的定义可知，，
不妨设中有个，个，
中有个，个，
中有个，个，
这意味着有组满足，组满足，
组满足，组满足，
组满足，组满足，
不失一般性，设，
则，
因为，
所以设，
注意到，
在这里，分三种情况讨论：
若，则有，
即组满足，此时，
故是偶数，
若，则，
，
此时，
故是偶数；
若，则，
，
此时，
故是偶数；
综上所述，若，则为偶数；
若，对任意，则可设，，
根据的定义可知，，从而，
若，则只能，
即，
这表明，
则所有可能的情况为：或；或；；或；
下面证明所求的最大值是，
一方面：当时，可取取法不唯一，此时满足题意；
另一方面：当时，任取三个不同的，其中必有两个的第一个分量相等，
比如我们就让的第一个分量相等，
而这会导致，这就和矛盾，
故是不可能的，
综上所述，的最大值是．

30.【解析】若，由集合新定义知．
设有个元素，下证，
一方面，，则，
所以，即，
而，
这表明了满足题意，此时，故；
另一方面：若，不妨设且，
由题意可知，
而最多含有个元素，当且仅当两两不同且时，等号成立，
但这与有个元素矛盾，所以．
综上所述：非空整数集合的元素个数的最小值是．
一方面：先证，
，
因此只要，就有，
而，所以，
所以，即，
从而．
另一方面：如果，
那么，
从而，同理，
由定义得，即满足距离的三角不等式；
所以，即，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
取，可知可能成立，
综上所述，所有可能取值为或或．
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