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2025-2026学年河北省唐山市玉田一中高一（上）9月段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = {1,2,4,5}， = {2,4,6,8}，则 ∩ =( )
A. {2} B. {2,4} C. {2,5,6} D. {1,4,5,6,8}
+ = 1
2.方程组 = 9的解集是( )
A. (5,4) B. {5, 4} C. {( 5,4)} D. {(5, 4)}
3.命题“ ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0”的否定是( )
A. ∈ ， 2 2 + 2 ≥ 0 B. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
C. ∈ ， 2 2 + 2 ≤ 0 D. ∈ ， 2 2 + 2 > 0
4.函数 = 2 + 4 1的定义域为( )
A. [0,1) B. (1, + ∞) C. (0,1) ∪ (1, + ∞) D. [0,1) ∪ (1, + ∞)
5.“ > 2”是“ > 1”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.若 > 0，则 + 4 2 有( )
A.最小值 1 B.最小值 2 C.最大值 1 D.最大值 2
7.下列函数中哪个与函数 = 是同一个函数( )
3 2
A. = ( )2 B. = 3 C. = 2 D. =
8.若命题“ 0 ∈ , 20 + 2 0 + + 2 < 0”为假命题，则 的取值范围是( )
A. [ 1,2] B. ( ∞, 1) ∪ (2, + ∞) C. ( 1,2) D. ( ∞, 1] ∪ [2, + ∞)
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列选项正确的有( )
A. ∈ B. 13 ∈ C. 0 ∈ D. 2 ∈
10.如图所示的 图中，阴影部分对应的集合是( )
A. ∩ B. ( ∩ )
C. ∩ ( ) D. ( ) ∩
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11.下列命题中，真命题的是( )
A.若 > ，则 2 > 2 B.若 < < 0， < < 0，则 >
C.若 > > 0 < +2， ，则 D.若 > > 0，则 < +2
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.已知集合 = {1,2, }， = {1,3, }，若 = ，则 + =______．
13.设 ≥ 0， ≥ 0， + = 1，则 (1 + )的最大值为______．
14.若集合 = { ∈ | 2 2 + 1 = 0}中只有一个元素，则实数 =______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { |2 < < 10}， = { | 1 ≤ < 6}，求：
(1)求 ∩ ， ∪ ；
(2)求 ∩ ( )．
16.(本小题 15 分)
1+ 2
已知函数 ( ) = 1 2．
(1)求 ( )的定义域．
(2)若 ( ) = 2，求 的值；
(3) 1求证： ( ) = ( )
17.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}．
(1)若 ，求实数 的取值范围；
(2)设命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 成立的充分不必要条件，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
通过技术创新，某公司的汽车特种玻璃已进入欧洲市场. 2021 年，该种玻璃售价为 25 欧元/平方米，销售
量为 80 万平方米，销售收入为 2000 万欧元．
(1)据市场调查，若售价每提高 1 欧元/平方米，则销售量将减少 2 万平方米；要使销售收入不低于 2000
万欧元，试问：该种玻璃的售价最多提高到多少欧元/平方米？
(2)为提高年销售量，增加市场份额，公司将在 2022 年对该种玻璃实施二次技术创新和营销策略改革：提
5
高价格到 欧元/平方米(其中 > 25)，其中投入 23 ( 600)万欧元作为技术创新费用，投入 500 万欧元
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作为固定宣传费用，投入 2 万欧元作为浮动宣传费用，试问：该种玻璃的销售量 (单位/万平方米)至少达
到多少时，才可能使 2022 年的销售收入不低于 2021 年销售收入与 2022 年投入之和？并求出此时的售价．
19.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 + + ．
(1)当 = 2， = 1 时，若“ ∈ ， = 0”为真命题，求实数 的取值范围；
(2)若 = 2 1， = 2，解关于 的不等式 < 0．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.5
13.1
14.0 或 1
15.集合 = { |2 < < 10}， = { | 1 ≤ < 6}，
(1) ∩ = { |2 < < 6}， ∪ = { | 1 ≤ < 10}；
(2) = { | < 1 或 ≥ 6}，
故 A∩ ( ) = { |6 ≤ < 10}．
2
16.解：(1) ∵函数 ( ) = 1+ 1 2，
故 1 2 ≠ 0，解得： ≠± 1，
故函数的定义域是{ | ≠± 1}；
2
(2)若 ( ) = 2 = 1+ 1 2，
即 1 + 2 = 2 2 2，
3
解得： =± 3 ；
1+ 1 2
(3) ( 1 ) =
2 = +1 = ( )．
1 1 2 1
2
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17.(1) = { | 1 ≤ ≤ 3 2 }， = { | 2 < < 4}，
1 ≤ 3 2
由 ，则 1 ≤ 2 ，解得 ≤ 1，
3 2 ≥ 4
则实数 的取值范围为{ | ≤ 1}．
(2)因为 是 成立的充分不必要条件，所以 ，
当 = 时， 1 > 3 2 4，解得 > 3；
1 ≤ 3 2
1 4
当 ≠ 时，由 1 > 2 ，解得 2 < ≤ 3．
3 2 < 4
实数 1的取值范围为{ | > 2 }．
18.解：(1)售价为 欧元/平方米，销售收入为 欧元，
则 = [80 2( 25)] = (130 2 )，
∵销售收入不低于 2000 万欧元，
∴ ≥ 2000，即 2 2 + 130 ≥ 2000，解得 25 ≤ ≤ 40，
故该种玻璃的售价最多提高到 40 欧元/平方米．
(2) 2022 5 5由题意可得， 年投入之和为3 (
2 600) + 500 + 2 = 3
2 + 2 500，
2021 年销售收入为 2000，2022 年销售收入为 ，
∵要使 2022 年的销售收入不低于 2021 年销售收入与 2022 年投入之和，
∴ ≥ 5 23 + 2 + 1500( > 25)，
∴ ≥ 5 15003 + + 2，
设 ( ) = 5 + 15003 + 2( > 25)
∵ 5 + 1500 5 15003 + 2 ≥ 2 3 + + 2 = 102，
5 1500
当且仅当3 = ，即 = 30，等号成立，
∴ ≥ ( ) = 102，
故销售量至少达到 102 万平方米，售价为 30 欧元/平方米．
19.解：(1)当 = 2， = 1 时， = 2 + 2 1，
因为“ ∈ ，使得 = 0”为真命题，即方程 2 + 2 1 = 0 在 ∈ 上有解，
当 = 0 时，2 1 = 0 1，即 = 2，符合题意；
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当 ≠ 0 时， = 4 + 4 ≥ 0 解得 ≥ 1，符合题意，
综上所述，实数 的取值范围为{ | ≥ 1}；
(2)当 = 2 1， = 2 时，
原不等式即为 2 + (2 1) 2 = ( 1)( + 2) < 0，
①当 = 0 时，则 2 < 0，解得 > 2，
故不等式的解集为{ | > 2}；
1 1
②当 > 0 时， > 2，解原不等式可得 2 < < ，
1
此时原不等式的解集为{ | 2 < < }；
1 1
③当 2 < < 0 时， < 2
1
，解原不等式可得 < 或 > 2，
1
此时，原不等式的解集为{ | < 或 > 2}；
④当 = 1 12时，原不等式即为 2 ( + 2)
2 < 0，解得 ≠ 2，
此时，原不等式的解集为{ | ≠ 2}；
1 1 1
⑤当 < 2时， > 2，解原不等式可得 < 2 或 > ，
1
此时，原不等式的解集为{ | < 2 或 > }；
< 1 1综上所述，当 2时，原不等式的解集为{ | < 2 或 > }；
当 = 12时，原不等式的解集为{ | ≠ 2}；
1 1
当 2 < < 0 时，原不等式的解集为{ | < 或 > 2}；
当 = 0 时，原不等式的解集为{ | > 2}；
> 0 1当 时，原不等式的解集为{ | 2 < < }．
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