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2024-2025学年四川省达州市九年级下学期中考模拟数学试题（3）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.规定：表示向右移动2，记作，则表示向左移动5，记作（ ）
A. B. C. D.
2.下面的三视图所对应的几何体是（）
A. B. C. D.
3.网红或明星直播“带货”，成为当下重要的营销方式。数据显示，今年在淘宝“双十二”期间，全国共有60多个产业带的商家开启了超过一万场直播，直播成交商品超过800万件。800万这个数用科学记数法表示为（）
A. B. C. D.
4.如图，与相交于点．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
5.下列计算正确的是（）
A. B. C. D.
6.某中学篮球队12名队员的年龄如下表：
年龄：（岁） 13 14 15 16
人数 1 5 4 2
关于这12名队员的年龄，下列说法错误的是( )
A. 众数是14岁 B. 极差是3岁 C. 中位数是14.5岁 D. 平均数是14.8岁
7.小慧去花店购买鲜花，若买5支玫瑰和3支百合，则她所带的钱还剩下10元；若买3支玫瑰和5支百合，则她所带的钱还缺4元.若只买8支玫瑰，则她所带的钱还剩下（）
A. 31元 B. 30元 C. 25元 D. 19元
8.如图所示，某同学的家在处，书店在处，星期日他到书店去买书，想尽快赶到书店，请你帮助他选择一条最近的路线（　　）
A. B.
C. D.
9.如图，在中，，，，直线垂直平分线段，若点为边的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（ ）
A. 12 B. 13 C. 10 D. 14
10.如图抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝1，且过点（3，0），下列结论：①abc＞0；②a﹣b+c＜0；③2a+b＞0；④b2﹣4ac＞0；正确的有（　　）个．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
11.因式分解：x2﹣3x= ．
12.已知为方程的根，则的值为 ．
13.如图，六边形是正六边形，曲线…叫做“正六边形的渐开线”，，，，,,，…的圆心依次按，，，，，循环，且每段弧所对的圆心角均为正六边形的一个外角．当时，曲线的长度是 ．
14.我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）．如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b= ．
15.在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于 A，B两点．若点A，B的纵坐标分别为，则的值为 ．
三、解答题：本题共10小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题6分)
计算：．
17.(本小题8分)
扬州教育推出的“智慧学堂”已成为同学们课外学习的得力助手．为了解同学们“智慧学堂”平台使用的熟练程度，某校随机抽取了部分同学进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图．
根据以上信息，回答下列问题：
(1) 本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中表示A等级的扇形圆心角为 ；
(2) 补全条形统计图；
(3) 学校拟对“不太熟练或不熟练”的同学进行平台使用的培训，若该校有2000名学生，试估计该校需要培训的学生人数．
18.(本小题8分)
在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧，是弦上一点．
(1) 根据提示完成尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）；
①作线段的垂直平分线，分别交劣弧于点，交于点；
②以点为圆心，长为半径作弧，交劣弧于点（，两点不重合），连接；
(2) 请连接，，，，引理的结论为：．请你证明此结论．
19.(本小题8分)
【情景预设】
如图，在平面直角坐标系中(为1个单位长度)，平行于y轴的直尺(一部分)与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，直尺的宽度为．
(1) 【初步解决】求反比例函数表达式．
(2) 【深入探究】若经过A，C两点的直线表达式为，请直接写出不等式的解集．
(3) 连接，求的面积．
20.(本小题8分)
如图是某品牌自行车的最新车型实物图和简化图，它在轻量化设计、刹车、车篮和座位上都做了升级．为后胎中心，经测量车轮半径为，中轴轴心到地面的距离为，座位高度最低刻度为，此时车架中立管长为，且．（参考数据：，，）
(1) 求车座到地面的高度（结果精确到）；
(2) 根据经验，当车座到地面的距离为时，身高的人骑车比较舒适，此时车架中立管拉长的长度应是多少？（结果精确到）
21.(本小题9分)
综合与探究
问题情景：如图1，在矩形中，，，点是对角线上的点，且，过点作于点，过点作的平行线，与的延长线交于点．
(1) 猜想证明：判断四边形的形状，并说明理由；
(2) 深入探究：将图1中沿射线平移，得到（点，，的对应点为，，）．
①如图2，当点在线段上的某一位置时，将沿所在直线翻折，得到，设线段，分别与线段交与点，．猜想线段与之间的数量关系，并说明理由；
②当点在射线上的某一位置时，重复①中操作，设直线，分别与直线交于点，，连接．请直接写出是直角三角形时，线段的长．
22.(本小题10分)
石狮一水果店销售的芦柑，每箱进价40元．市场调查发现，每箱销售价格：售价为50元时，平均每天可售出90箱；售价高于50元时，每提高1元，平均每天销售量将减少3箱．
(1) 若每箱售价55元，则平均每天该芦柑的销售量为 箱；
(2) 已知当地工商部门规定：芦柑的售价每箱不得高于60元．设该店提价x（元），平均每天的销售利润为w（元）．
①当天盈利w为1152元时，求x的值；
②当x为何值时，w取得最大？最大值是多少．
23.(本小题10分)
如图1，⊙O的半径为r（），若点在射线OP上，满足，则称点是点P关于⊙O的“反演点”．
(1) 若点A关于⊙O的“反演点”是本身，那么点A与⊙O的位置关系为（ ）
A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外
(2) 如图1，若⊙O的半径为4，点是点关于⊙O的“反演点”，且，过点P的直线与⊙O相切于点Q，求PQ长．
(3) 如图2，若⊙O的半径为4，点Q在⊙O上，点A在⊙O内，且，点、分别是点Q、A关于⊙O的“反演点”，过点作且，连接，，求的最小值．
24.(本小题11分)
综合与探究
如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．连接，点D是线段上的一个动点，过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．
(1) 求点C的坐标和抛物线的函数表达式；
(2) 设点D的横坐标为m，在点D运动过程中，请求出m为何值时，取最小值．
(3) 在（2）的条件下，若点P是x轴上一点，在平面内是否存在一点Q，使四边形是面积为的平行四边形，若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．
25.(本小题12分)
如图，在中，，D为AB上的一点，交AC于点E．
(1) 如图1，由题意可得：；
(2) 如图2，将图1中的逆时针旋转到，连结BF、CG．求证：；
(3) 如图3，将图1中的逆时针继续旋转到，且，连结与AC相交于点H，连结，与交于点O，若，，求AO的长．
1.B
2.C
3.D
4.B
5.D
6.D
7.A
8.B
9.A
10.B
11.x（x﹣3）
12.
13.
14.
15.0
16.解：
．
17.解：（1）150÷30%=500（人），
360°×30%=108°，
故答案为：500；108；
（2）500×40%=200（人），补全条形统计图如下：
（3）×100%×2000=200（人）
∴估计该校需要培训的学生人数为200人．
18.（1）解：作出线段的垂直平分线，连接；
以为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，如图示：
（2）证明：由作图可得：是的垂直平分线，
四边形是圆的内接四边形，
，
．
19．解：（1）由题意可知，将A点坐标代入中，得，
∴，
∴反比例函数表达式为．
（2）由题意得，，
∴C点的横坐标为4．
由图象可知，不等式的解集是或．
（3）把代入，得，
∴．
∵，
，
∴．
20．解：（1）设与交于，
，，，
，
，，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
长为，且，
，
；
答：车座到地面的高度是；
（2）如图所示，，设与交于点，则有，
△，得．
即，
．
故．
车架中立管拉长的长度应是．
21．解：（1）四边形是菱形，理由如下，
∵四边形是矩形，
∴，
∵，即，
∴，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴平行四边形是菱形；
（2）①，理由如下，
∵沿射线平移，得到（点的对应点为，，），
∴，
∴，即，
∵将沿所在直线翻折，得到，
∴，，
∵，
∴，即，
∴，且，
∴，
∴，
∴，即，
∴；
②∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∴，
如图所示，点在线段上时，，是直角三角形，
∵，
∴，
设，，
∴，
根据平移折叠，及（1）证明可得，，，
∴是等腰三角形，，
由①可知，，，
∴，即点是中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
如图所示，点在射线上时，，是直角三角形，过点作于点，
同理，，
∴，设，
∴，，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，，
∴；
综上所述，线段的长为或．
22．（1）解：每箱销售价55元，销售量为（箱）
（2）①由已知得，，
整理得：
解得，，，
∵售价每箱不得高于60元，
∴
经检验：符合题意
答：当提价6元时，商店获得利润1152元．
②，
∴当时，w有最大值，最大值为1200，且，符合题意
答：当时，w取得最大，最大值为1200元．
23．解：（1）∵点A关于⊙O的“反演点”是本身，
∴，
∴OA=r，
∴点A在⊙O上，
故选：B；
（2）如图：过P做PQ与⊙O相切于Q，连接OQ，
∵PQ与⊙O相切于Q，
∴，，
由新定义可得：，
∴，
∴，
在中，；
（3）连接AQ，AB，由题意可得：，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，OA＝2，
∴，，
在Rt△中，，
∴．
24．（1）解：∵如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C．
令时，，
∴点C的坐标为，
把，代入，
得出
解得
∴抛物线的函数表达式；
（2）解：设直线的函数表达式为
把和分别代入，
得出
解得
∴直线的函数表达式为
∵过点D作轴于点F，直线交抛物线于点E．连接交y轴于点G．且设点D的横坐标为m，
∴，
则
∵，
∴
∴在中，
∴
如图：过点D作轴
则
∴在中，
则
∵，，
∴四边形是矩形
∴
则
∵
∴当，有最小值，且为；
（3）解：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，，理由如下：
依题意，当时，则，
则，
设的解析式为，
把和代入，
得
解得
∴，
则点的坐标为
当点在对称轴的左边，如图：
∴ 设点P的坐标为，此时
∵四边形是面积为的平行四边形
∴，且
则
∴
解得，
同理当点在对称轴的右边
∴ 设点P的坐标为，此时
∵四边形是面积为的平行四边形
∴，且
则
∴
解得，
综上：存在点Q使四边形是面积为的平行四边形，点P的坐标为：，
25．（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）解：将逆时针旋转到，
∴，，
由（1）知：，
∴，
∴，
又∵，
∴；
（3）解：同法（2）可得：，
则：，
∴四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∵逆时针旋转到，
∴，，即，
∴，即：，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
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