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2024-2025学年四川省广安市友谊实验学校九年级（下）入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.tan30°的值为（　　）
A. B. C. D.
2.如图，为某一个正方体的表面展开图，则与“拼”字相对的一面是（　　）
A. 有
B. 为
C. 青
D. 春
3.下列事件是必然事件的是（　　）
A. 任意五边形的外角和为540°
B. 抛掷一枚均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
C. 367个同学参加元旦晚会，他们中至少有两个同学的生日是同月同日
D. 一名篮球运动员在罚球线上投篮，“投中”
4.一个正三角形绕着它的中心旋转一定角度后，能与它自身重合，这个角度可以是（　　）
A. 30° B. 60° C. 120° D. 90°
5.已知反比例函数，则下列描述正确的是（　　）
A. 图象位于第一、三象限 B. y随x的增大而增大
C. 图象与坐标轴不相交 D. 图象必经过点
6.已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有实数根，则m的取值范围是（　　）
A. m≥1 B. m≤-1 C. m≥-1 D. m≤1
7.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D．若AC=2，BC=1，则sin∠ACD=（　　）
A.
B.
C.
D.
8.如图，在△ABC中，AB=5，AC=7，点E为AC上一点，连接BE，沿BE折叠△BCE，点C恰好落在点D处，BD交AC于点F，当DE∥AB时，EF的长为（　　）
A. 2
B.
C.
D.
9.如图，在△ABC中，∠B=30°，点D是BC上一点，以CD为直径的半圆O经过△ABC的顶点A，C，交AB，BC于点F，D，若AC=AF，CD=10，则的长为（　　）
A.
B.
C.
D.
10.如图，抛物线y=-x2+2x+m+1（m为常数）交y轴于点A，与x轴的一个交点在2和3之间，顶点为B.下列四种说法：①-1＜m＜2；②若2＜x＜3，则-（x-3）2+2（x-3）+m＜2；③若点M（-2，y1）、点，点P（2，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；④点A关于直线x=1的对称点为C，点D，E分别在x轴和y轴上，当m=1时，四边形BCDE周长的最小值为，其中正确结论的个数是（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.方程x2=4的根是 .
12.已知抛物线y=x2+bx+c与x轴的交点坐标分别为（1，0），（m,0）.若-4＜b＜1，则m的取值范围是______.
13.设x1，x2是方程x2-x-2024=0的两实数根，则= .
14.如图，正六边形螺帽的边长是4cm,那么这个扳手的开口a的值是______.
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将Rt△ABC绕顶点C逆时针旋转得到Rt△A'B'C，点B'恰好落在AB上，若，则= .
16.如图，直线l：y=-x，点A1坐标为（-3，0）．过点A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2022的坐标为______．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程（x-1）（x+2）=4．
四、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
计算：.
19.(本小题8分)
如图，已知：Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点H，AE交CB于点E.求证：AC2=CE BC.
20.(本小题8分)
如图，一次函数的图象分别交x轴，y轴于点A，B，将直线AB绕点B沿逆时针方向旋转45°，交x轴于点C，交反比例函数的图象于E（1，n），F两点.
（1）求出反比例函数的解析式；
（2）点P（m,0）在x轴上，当∠EPF为锐角时，直接写出m的取值范围.
21.(本小题8分)
如图所示，甲、乙两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形（两个转盘除表面数字不同外，其它完全相同），转盘甲上的数字分别是-6，-1，8，转盘乙上的数字分别是-4，5，7（规定：指针恰好停留在分界线上，则重新转一次）.
（1）转动转盘，转盘甲指针指向负数的概率是______；
（2）若同时转动两个转盘，转盘甲指针所指的数字记为a,转盘乙指针所指的数字记为b,请用列表法或树状图法求满足a+b＞0的概率.
22.(本小题8分)
“文房四宝”是中国独有的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚，文房四宝之名，起源于南北朝时期.我校为了落实双减政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号“文房四宝”，经过调查得知：每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，买5套甲型号“文房四宝”和10套乙型号“文房四宝”共用900元.
（1）求每套甲、乙型号“文房四宝”的价格分别是多少？
（2）若学校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5870元，并且根据学生需求，要求购进乙型号“文房四宝”的数量必须低于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？
23.(本小题8分)
如图，在东西方向的海岸线l上有一长为1千米的码头MN，在码头西端M的正西方向30 千米处有一观察站O．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于O的北偏西30°方向，且与O相距千米的A处；经过40分钟，又测得该轮船位于O的正北方向，且与O相距20千米的B处．
（1）求该轮船航行的速度；
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．（参考数据：，）
24.(本小题8分)
小明探究：“用2刀剪一个三角形分成3块，再把它拼成一个长方形（无重叠，无缝隙）”时，遇到了困难.经提示他想到了从特殊到一般的数学思想，于是他先剪一个直角三角形纸片，然后沿其一条中位线剪一刀，分成2块（如图1），很快就拼成了一个与原三角形面积相等的长方形.
（1）请你在图2中用类似的方法把三角形纸片剪一刀分成2块，使拼成的图形为平行四边形；
（2）请你在图3中把三角形纸片剪两刀分成3块，使拼成的图形为长方形；
（3）请你在图4和图5中，把正方形纸片剪两刀分成3块，然后拼成一个与原正方形面积相等的三角形，要求所拼成的三角形既不是等腰三角形，也不是直角三角形.（请给出两种不同的方案）
25.(本小题8分)
如图，AB为⊙O的直径，DO⊥AB，弦CD交AB于点E，连接AC，CF交AB的延长线于点F，且CF=EF.
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）若，AC=4，求BF的长.
26.(本小题8分)
如图，抛物线y=-x2+bx+c经过A（-1，0），C（0，3）两点，与x轴正半轴交于点B，D为抛物线的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，过点E（0，7）的直线EH与抛物线对称轴右侧部分图象有唯一交点H，直线y=kx-2k-5（k≠0）与抛物线交于F，G两点，连接HF，HG，当k为何值时，△FGH的面积最小，并求出面积的最小值；
（3）如图2，将抛物线沿直线l：y=2x-1平移，设平移过程中抛物线与l交于M，N两点，平移过程中抛物线的顶点横坐标为m,当x轴上存在唯一的一点P，使得∠MPN=90°时，请直接写出m的值.
1.【答案】B
2.【答案】B
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】D
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】x1=2，x2=-2
12.【答案】-2＜m＜3
13.【答案】2025
14.【答案】4cm
15.【答案】
16.【答案】（，0）
17.【答案】解：方程（x-1）（x+2）=4，
整理得：x2+2x-x-2-4=0，即x2+x-6=0，
分解因式得：（x-2）（x+3）=0，
可得：x-2=0或x+3=0，
解得：x1=2，x2=-3．
18.【答案】解：
=4+
=4+
=2．
19.【答案】证明：∠ACB=90°，CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AB=AD，
∴∠CAD=∠ACD．
∵AE⊥CD于点H，
∴∠AHC=90°，
∴∠CAH+∠ACD=90°，
又Rt△ABC中，∠B+∠CAD=90°，
∴∠CAH=∠B．
∵∠ACB=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴，
∴AC2=CE BC．
20.【答案】；
或
21.【答案】；

22.【答案】解：（1）设每套甲型号“文房四宝”的价格是x元，则每套乙型号“文房四宝”的价格是（x-30）元，
根据题意得：5x+10（x-30）=900，
解得：x=80，
∴x-30=80-30=50（元）．
答：每套甲型号“文房四宝”的价格是80元，每套乙型号“文房四宝”的价格是50元；
（2）设购买m套甲型号“文房四宝”，则购买（100-m）套乙型号“文房四宝”，
根据题意得：，
解得：25＜m≤29，
∵m为正整数，
∴m可以为26，27，28，29，
∴共有4种购买方案，
方案1：购买26套甲型号“文房四宝”，74套乙型号“文房四宝”，所需费用为80×26+50×74=5780（元）；
方案2：购买27套甲型号“文房四宝”，73套乙型号“文房四宝”，所需费用为80×27+50×73=5810（元）；
方案3：购买28套甲型号“文房四宝”，72套乙型号“文房四宝”，所需费用为80×28+50×72=5840（元）；
方案4：购买29套甲型号“文房四宝”，71套乙型号“文房四宝”，所需费用为80×29+50×71=5870（元），
∵5780＜5810＜5840＜5870，
∴最低费用为5780元．
答：共有4种购买方案，最低费用为5780元．
23.【答案】解（1）过点A作AC⊥OB于点C．由题意，得
OA=千米，OB=20千米，∠AOC=30°．
∴（千米）．
∵在Rt△AOC中，OC=OA cos∠AOC==30（千米）．
∴BC=OC-OB=30-20=10（千米）．
∴在Rt△ABC中，==20（千米）．
∴轮船航行的速度为：（千米/时）．
（2）如果该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
理由：延长AB交l于点D．
∵AB=OB=20（千米），∠AOC=30°．
∴∠OAB=∠AOC=30°，∴∠OBD=∠OAB+∠AOC=60°．
∴在Rt△BOD中，OD=OB tan∠OBD=20×tan60°=（千米）．
∵＞30+1，
∴该轮船不改变航向继续航行，不能行至码头MN靠岸．
24.【答案】；
；

25.【答案】连接OC，
∵CF=EF，
∴∠ECF=∠CEF（等边对等角），
∵∠OED=∠CEF，
∴∠OED=∠ECF，
∵OD=OC，
∴∠ODE=∠OCE（等边对等角），
∵DO⊥AB，
∴∠DOE=90°，
∴∠OED+∠ODE=90°，
∴∠ECF+∠OCE=90°，
∴OC⊥CF，
∴CF是⊙O的切线；

26.【答案】y=-x2+2x+3；
k=-2，面积最小为；
m=或或
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