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2025年北京市中考数学仿真练习卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．窗花是中国传统民间艺术之一，下列四个窗花既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．如图，点在上，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（ ）
A． B．2025 C． D．
4．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值可以是（ ）
A．1 B． C． D．
5．二十四个节气分别为：春季（立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨），夏季（立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑），秋季（立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降），冬季（立冬、小雪、大雪、冬至、小寒、大寒），若从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．2024年，我国成功研制出了超薄单晶氧化铝一一人造蓝宝石材料，其薄膜仅米厚，绝缘性能极为出色，电流泄漏几乎可以忽略不计，有可能使未来新一代芯片功耗更低、性能更强．这一成果荣登国际顶级学术期刊《自然》，将用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点，直线与分别相交于点和点，连接，若，的周长为，则的长是（ ）

A． B． C． D．
8．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的是（ ）
A．②③ B．①② C．③④ D．①②③④
二、填空题
9．如果二次根式有意义，那么的取值范围是 ．
10．分解因式：= ．
11．若关于的分式方程无解，则 ．
12．如图，点O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，点B和点是函数在第二象限内图象上的点，过点F分别向x，y轴作垂线，垂足分别是D，E，正方形的面积为4，若矩形的面积为1，则点F的坐标是 ．
13．某校七（1）班有48人，对本班学生展开零花钱的消费调查，绘制了如图所示的领数分布直方图（每个直方图对应的钱数含最小值不含最大值）．已知从左到右小长方形的高之比为，则零花钱在8元及以上的共有 人．
14．如图，是的弦，半径，垂足为点．若，则的直径为___________．
15．如图，在中，，，是射线上一点，将沿折叠，得到，连接．当为直角三角形时，的度数为 ．
16．表示多边形对角线的交点个数（指落在多边形内部的交点）若这些交点都不重合（任意三条对角线不交于一点），如图，四边形对角线交点个数，五边形对角线交点个数.则六边形对角线交点个数 ；发现（其中是常数），则 ．
三、解答题
17．计算： ．
18．解不等式组：．
19．先化简，再求值：，其中．
20．如图，点B，F，C，E在一条直线上，，，．
(1)求证：；
(2)求证：．
21．某公园计划设计草地与儿童乐园的占地面积比为，但在实际建设中，根据场地条件，将草地的场地分给儿童乐园，此时草地与儿童乐园的占地面积比变为．
(1)该公园中草地与儿童乐园的总占地面积是多少平方米？
(2)甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，接着甲队和乙队共同修建草地，此时甲、乙两队的工作效率比为．甲、乙两队总共需要多少天可以完成公园的全部修建工作？
22．如图，经过点的一次函数与正比例函数交于点．
(1)求的值；
(2)请直接写出不等式组的解集．
23．某店在统计某月的销售情况时，对一种商品的日销售量（单位：件）进行了统计，并绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．
(1)求出图1中的值及这个月内该商品的平均日销售量；
(2)求该商品的日销售量的中位数和众数；
(3)店长在检查数据时发现，该商品在这个月的实际日销售量均不大于28件，且其中一天的销售量误记为28件了．若将上述错误更正后，日销售量这组数据的中位数不变，众数唯一，则该天的实际销售量为　　　　件．
24．如图，在中，点是上（异于点、）的一点，恰好经过点、，垂足为点，且平分．
(1)判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，求的半径长．
25．如图，矩形的四个顶点都在格点（网格线的交点）上，对角线，相交于点，反比例函数的图象经过点．

(1)求这个反比例函数的表达式；
(2)画出反比例函数的图象；
(3)将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离为多少？
26．如图，二次函数的图象与轴交于，两点．
(1)求，的值．
(2)若点在该二次函数的图象上，且的面积为，求点的坐标．
27．已知：射线在的内部，，，平分．
(1)如图1，若，是内部的一条射线，求的度数；
(2)若，，请在备用图中补全图形并直接写出的度数（用含的代数式表示）．
28．如下图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，且点，在直线上．我们可以用面积法求点B的坐标．
【问题探究】
（1）请阅读并填空：
过点C作轴于点N，我们可以由点A，C的坐标，直接得出三角形的面积为_____________．
过点C作轴于点，_____________．
，
∴可得关于m的一元一次方程为_____________，解这个方程，可得点B的坐标为_____________；
【问题迁移】（2）请你仿照（1）中的方法，求点P的纵坐标；
【问题拓展】（3）若点在直线上，且的面积等于3，请直接写出点H的坐标．
试卷第1页，共3页
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《2025年北京市中考数学仿真练习卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 D C A D D C B A
1．D
【分析】本题考查的知识点是轴对称图形、中心对称图形的定义，解题关键是熟练掌握轴对称图形、中心对称图形的定义．
根据轴对称图形、中心对称图形的定义对选项进行逐一判断即可得解．
【详解】解：选项，该窗花是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该窗花是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该窗花是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意，选项错误；
选项，该窗花既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意，选项正确．
故选：．
2．C
【分析】本题考查平行线的性质，根据可得，再根据可得，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴，
即的度数为．
故选：C．
3．A
【分析】本题考查数轴上点表示数，根据可得点A、B表示的数是相反数解题即可．
【详解】解：∵，点表示的数是2025，
∴点表示的数是，
故选：A．
4．D
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；由题意易得，然后求解即可
【详解】解：由关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可知：
，
解得：，
∴k的值可以是；
故选D．
5．D
【分析】本题考查了根据概率公式求概率，根据二十四个节气中，有立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，共六个节气在夏季，计算即可得解，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
【详解】解：∵二十四个节气中，有立夏、小满、芒种、夏至、小暑、大暑，共六个节气在夏季，
∴从二十四个节气中选一个节气，则抽到的节气在夏季的概率为，
故选：D．
6．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数：科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于 10 时，是正数；当原数的绝对值小于 1 时，是负数．
直接根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：用科学记数法表示为，
故选：C．
7．B
【分析】本题考查了基本作图—作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
由作图可得：垂直平分，由线段垂直平分线的性质得出，根据的周长为，，求出，即可由求解．
【详解】解：由作图可得：垂直平分，
∴，
∵的周长为，
即，
∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．A
【分析】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，点到点的距离，根据以上知识点逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键．
【详解】解：①线段的长是点到直线的距离，该选项说法错误；
②线段的长是点到直线的距离，该选项说法正确；
③三条线段中，最短，该选项说法正确；
④线段的长是点到点的距离，该选项说法错误；
∴正确的是②③，
故选：．
9．
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟知二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式有意义的条件列出关于的不等式，求出的取值范围即可．
【详解】解：二次根式有意义，
，
．
故答案为：．
10．a（b+1）（b﹣1）
【详解】解：原式==a（b+1）（b﹣1），
故答案为a（b+1）（b﹣1）．
11．
【分析】本题考查解分式方程及分式方程的解，熟练掌握解分式方程的步骤，以及分式方程无解的方法是解题的关键．先化简分式方程，得，由分式方程无解，则，得，代入求解即可．
【详解】解：，
去分母，得：，
解得：，
∵分式方程无解，
∴，得，
∴，
解得：，
故答案为：．
12．/
【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的表达式及反比例函数性质，先求出，进而求出函数表达式，再根据题意把代入求出结论．
【详解】解： ∵正方形的面积为4，
∴，
，
把代入，
，
反比例函数表达式为，
矩形的面积为1，
，
把代入，
，
∴点F的坐标是．
故答案为：．
13．12
【分析】本题主要考查了频数分布直方图，
先求出每一份的人数，进而得出8元以上的分数，即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴零花钱在8元以上的有（人）．
故答案为：12．
14．
【分析】本题考查的是垂径定理及勾股定理，在解答此类问题时往往先构造出直角三角形，再利用勾股定理求解．
根据垂径定理求出的长，在中由勾股定理求出半径的长，进而可得出结论．
【详解】解：连接，
半径，
，
设的半径为，则，，
在中，
根据勾股定理，
即，
解得，，
的直径为．
故答案为：．
15．或或
【分析】本题考查了折叠的性质，正方形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，解题的关键是分类讨论．分两种情况：当时，当时，根据折叠的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的判定与性质求解即可．
【详解】解：当时，
，
，
由折叠可得：，，
，
四边形是矩形，
，
矩形是正方形，
；
当时，
，，
，
由折叠可知，，，
，
点、、共线，
，
综上所述，的度数为或．
当时，
∵，
∴，
∴，
由折叠可得，；
故答案为：或或．
16．
【分析】依题意数出图形中对角线交点的个数即可得出结论；将，代入公式可得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论．
【详解】解：由画图，可得： 当n=4时，；当n=5时，．
将数值将，代入公式，
得： ，
解得：，
∴，
∴六边形对角线交点个数，
故答案为：15，495．
【点睛】本题考查了多边形的对角线、二元一次方程组的应用，解题的关键是解决该题型题目时，依据题意，利用数形结合解决问题是关键．
17．3
【分析】本题考查了负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值以及实数的运算，掌握相关运算法则是解题的关键．
根据负整数指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值计算即可．
【详解】解：原式
．
18．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，不等式组解集的原则“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”，先求出两个不等式的解集，再找出两个不等式的公共解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得：，
解不等式①得：，
∴不等式组的解集为：．
19．，1
【分析】本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则．
根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再将的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当时，原式．
20．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是利用已知条件证明三角形全等，再根据全等三角形的性质得出对应边相等．
（1）先由推出，再结合已知的另外两组相等边，根据判定定理证明；
（2）根据（1）中得到的全等三角形得出对应角相等，再利用判定定理证明，进而得到．
【详解】（1）证明：，
，
，
在和中，
，
；
（2）证明：
在和中
21．(1)
(2)80
【分析】（1）根据草地与儿童乐园的占地面积比为，设草地的面积为，儿童乐园的面积为，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，草地的面积为，儿童乐园的面积为，
根据甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，得到甲的工作速度为，结合甲、乙两队的工作效率比为，得到乙队的工作速度为，根据题意，得（天），再求和即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握解方程是解题的关键．
【详解】（1）解：根据草地与儿童乐园的占地面积比为，
设草地的面积为，儿童乐园的面积为，
根据题意，得，
解得，
故总面积为．
（2）解：根据题意，草地的面积为，儿童乐园的面积为，
由甲队先开始工作 30 天，独自完成了儿童乐园的修建，
得到甲的工作速度为，
又甲、乙两队的工作效率比为，
故乙队的工作速度为，
根据题意，得（天），
故（天）．
答：甲、乙两队总共需要80天可以完成公园的全部修建工作．
22．(1)；；
(2)
【分析】本题考查了求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式的问题，解题的关键是能够确定有关待定系数的值，难度不大．
（1）将点和点P的坐标代入一次函数的解析式求得m、b的值，然后将点P的坐标代入正比例函数解析式即可求得a的值即可；
（2）直接根据函数的图象结合点P的坐标确定不等式的解集即可．
【详解】（1）解：∵正比例函数与过点的一次函数交于点，
∴，
∴，
∴
∴
∴，
∴，
∴；
（2）解：根据函数的图象，可得不等式的解集为：．
23．(1)，这个月内该商品的平均日销售量为25件
(2)中位数为26件，众数为24件
(3)27
【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图的应用以及平均数、中位数、众数的计算，解题的关键是从统计图中获取有效信息，并掌握相关统计量的计算方法．
（1）先根据26件的数量和所占比例求出总天数，进而求出的值，再根据平均数公式计算平均日销售量；
（2）根据中位数和众数的定义求解；
（3）根据中位数不变和众数唯一的条件确定实际销售量．
【详解】（1）解：日销售量为26件的天数是9天，占总天数的，
总天数为天，
，
平均日销售量
（件），
答：图1中的值是10，及这个月内该商品的平均日销售25件；
（2）解：将这组数据从小到大排列：20出现4次，24出现10次，26出现9次，28出现7次．
总共有30个数据，第15，16个数据都是26，所以中位数是26；
24出现的次数最多，所以众数是24．
答：中位数为26，众数为24；
（3）解：原来数据中24出现10次，26出现9次，28出现7次，20出现4次，
更正后中位数不变，还是26，且众数唯一，
当天的销售量不是26件，
日销售量这组数据中位数不变，且原中位数是26，
当天的销售量不低于26件，
该时段的实际日销售量均不大于28件，
若将28件中的一件更正，要使众数唯一且中位数不变，只能把28件改为27件，这样24出现10次，26出现9次，27出现次，20出现4次，满足条件，
答：该天的实际销售量为27件．
24．(1)与相切，详见解析
(2)
【分析】本题主要考查了切线的判定，等腰三角形的性质，相似三角形的性质和判定，
对于（1），根据等腰三角形的性质和角平分线的定义得，即可得，再根据平行线的性质得，即可得答案；
对于（2），先设的半径为，再根据勾股定理求出，然后说明 ，接下来根据相似三角形的对应边成比例得出答案．
【详解】（1）解：与相切．
理由如下：如图，连接，
，
.
平分，
，
，
，
.
，
，
，
与相切；
（2）解：设的半径为．
，
．
由（1）知，，
又，
，
，
，
，
的半径长为．
25．(1)
(2)作图见解析
(3)
【分析】本题主要考查了反比例函数综合以及反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题关键．
（1）将A点坐标代入即可求解；
（2）分别找出三个整数点即可画出函数图象；
（3）由，当时，，从而得到平移距离．
【详解】（1）解：∵反比例函数 的图象经过点，
将代入得解析式得，
∴，
∴这个反比例函数的表达式为；
（2）解：三个整数点，如图所示：

（3）解：由题意可知，
当时，，
将矩形向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为．
26．(1)
(2)或
【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）运用待定系数法即可求解；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为，设点的坐标为，结合几何图形的面积得到，求出，即可求解．
【详解】（1）解：把点，代入，
得，
解得；
（2）由（1）知，二次函数的解析式为，
设点的坐标为．
的面积为，，
，
，
即或，
解得或，
或．
27．(1)
(2)或
【分析】本题是有关角的计算，考查了角平分线的定义、角的和差倍分，注意利用数形结合的思想．
（1）根据求出，依据得，从而可求，根据平分得，从而可求出的度数；
（2）分两种情况考虑：当射线在的内部时，；当射线在的外部时，．
【详解】（1），
，
，
，
，
又平分．
，
；
（2）如图1，若是内部的一条射线，
，则，
，
又平分，
，
；
如图2，若是外部的一条射线，
，则，
，
又平分．
，
，
综上，的度数为或．
28．（1）6，m，，
（2）点P的纵坐标为．
（3）点H的坐标为或．
【分析】本题主要考查了坐标与图形的综合题、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握在平面直角坐标系内求三角形的面积的方法是解题的关键．
（1）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可；
（2）根据给定的点坐标分别表示出的面积、的面积、的面积，根据列方程求解即可；
（3）根据的面积等于3，可得k的值，分情况讨论：①当点H在y轴右侧的直线上时，根据列方程求解即可；②当点H在y轴左侧的直线上时，根据列方程求解即可．
【详解】解：（1）∵，，
∴，
∴的面积为，的面积为，
∵的面积，
又∵，
∴，解得∶，
∴点B坐标为，
故答案为：6，m，，．
（2）过点P作轴于点G，轴于点M，连接，
则的面积为，的面积为，的面积为，
∵，
∴，解得，
∴点P纵坐标为；
（3）∵的面积为，
∵的面积等于3，，
∴，
∴，
如图：当点H在y轴右侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为，
∵，
∴，解得，
∴点H坐标为；
②如图：当点H在y轴左侧的直线上时，则的面积为4，的面积为3，的面积为，
∵，
∴，解得，
∴点H坐标为，
综上所述，点H坐标为或．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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