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2024-2025学年湖南省株洲二中初中部八年级（下）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.2025年是春意盎然，生机勃勃的“双春年”，2025的相反数是（　　）
A. -2025 B. C. 2025 D.
2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
3.水是生命之源.为了倡导节约用水，随机抽取某小区10户家庭上个月家里的用水量（单位：吨）情况，数据为4，6，7，8，8，9，9，9，11，15.这组数据的众数是（　　）
A. 8 B. 9 C. 8.5 D. 9.5
4.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，斜边AB的长为2cm,则AC长为（　　）
A. 4 cm B. 2 cm C. 1 cm D. cm
5.如图，在 ABCD中，下列说法一定正确的是（　　）
A. AC=BD
B. AC⊥BD
C. AB=CD
D. AB=BC
6.如图，直线y=2x与y=kx+b相交于点P（1，2），则关于x的方程kx+b=2x的解是（　　）
A.
B. x=2
C. x=1
D. x=4
7.如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，且BP=BC，则∠ACP=（　　）
A. 30°
B. 45°
C. 22.5°
D. 25°
8.函数y=-ax+a与y=（a≠0）在同一坐标系中的图象可能是（　　）
A. B.
C. D.
9.一辆货车从甲地到乙地，一辆轿车从乙地到甲地，两车沿同一条笔直的公路分别从甲、乙两地同时出发，匀速行驶．两车离乙地的距离y（单位：km）和两车行驶时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法错误的是（　　）
A. 两车出发2h时相遇 B. 甲、乙两地之间的距离是360km
C. 货车的速度是80km/h D. 3h时，两车之间的距离是160km
10.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是CD上一点，若∠D=60°，当PA+PB最小时，（PA+PB）：AC的值是（　　）
A.
B.
C.
D. 2
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.计算：2a 3b=______．
12.关于x的方程3x-8=x的解为x= ．
13.点P（2，3）关于x轴的对称点的坐标为______．
14.若点A（x1，y1）与点B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，且x2＞x1＞0，则y1，y2的大小关系是y1 ______y2.（填“＞”或“＜”）
15.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，若EF=5cm,则CD= ______cm.
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点O，作射线AO交BC于点D，若CD=2，P为AB上一动点，则PD的最小值为______．
17.七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”.数学活动课上小东制作了一套七巧板，拼成正方形ABCD，其中包括五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形.如图，其中一块等腰直角三角形（阴影图形）的直角边为5cm,则正方形ABCD的边长为______cm.
18.如图，已知点A，B在反比例函数y=（x＜0）的图象上，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，AC与BD交于点P，且P为AC的中点，若△ABP的面积为2，则k= .
三、解答题：本题共8小题，共66分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
计算：.
20.(本小题8分)
先化简，再求值：，其中x=3.
21.(本小题8分)
如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AD⊥BD，点E是CD的中点，过点E作EF∥BD，交BC于点F.
（1）求证：四边形OEFB是矩形；
（2）若AD=8，DC=12，求四边形OEFB的面积.
22.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴的负半轴上，将正方形ABCD沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形A′B′C′D′，
且点A′与原点O重合，直线AC′交y轴于点E（0，2）.
（1）求直线AC′的函数表达式；
（2）求点C的坐标.
23.(本小题8分)
为增进学生对数学知识的了解，某校开展了两次知识问答活动，从中随机抽取了30名学生两次活动的成绩（百分制），并对数据（成绩）进行整理、描述和分析.如图1是将这30名学生的第一次活动成绩作为横坐标，第二次活动成绩作为纵坐标绘制而成.
（1）学生甲第一次成绩是70分，则该生第二次成绩是______分.
（2）两次成绩均达到或高于90分的学生有______个.
（3）为了解每位学生两次活动平均成绩的情况，如图2是这30位学生两次活动平均成绩的频数分布直方图（数据分成8组：60≤x＜65，65≤x＜70，70≤x＜75，75≤x＜80，80≤x＜85，85≤x＜90，90≤x＜95，95≤x≤100），
在75≤x＜80的成绩分别是77、77、78、78、78、79、79，则这30位学生平均成绩的中位数是______.
（4）假设全校有1200名学生参加此次活动，请估计两次活动平均成绩不低于90分的学生人数.
24.(本小题8分)
火龙果是一种花青素、维生素E含量较为丰富的水果，有延缓衰老、调节免疫的作用.现有“白心火龙果”和“红心火龙果”两个品种，某水果店试销这两种火龙果，已知每箱的售价“红心火龙果”比“白心火龙果”贵10元，销售6箱“白心火龙果”的总价比销售5箱“红心火龙果”的总价多30元.
（1）问“白心火龙果”与“红心火龙果”每箱的售价各是多少元？
（2）若“白心火龙果”每箱的进价为65元，“红心火龙果”每箱的进价为70元.现水果店购进两种火龙果共38箱，计划所花资金不高于2600元，设购进“白心火龙果”a箱，销售这两种火龙果的利润为w元，则该水果店应如何设计购进方案才能使得利润w最大，最大利润是多少？
25.(本小题8分)
在平面直角坐标系中，作如下定义：点P的坐标为（x1，y1），点Q的坐标为（x2，y2），若x1+y1=x2+y2，则称P、Q两点为“同和点”.如图①，点P、Q为“同和点”.
（1）若点A的坐标为（3，-1）.
①在点C（0，4）、D（-4，2）、E（-3，5）中，是点A的“同和点”的是______.（填“C”、“D”或“E”）
②若点B在x轴上，且A、B两点为“同和点”，则点B的坐标为______.
（2）如图②，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于点M、N，点C为线段MN上一动点.
①若点C与点D（-1，4）为“同和点”，则点C的坐标为______.
②若存在点E（m,-3）与点C为“同和点”，求m的取值范围.
26.(本小题10分)
如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=10，点E是射线DC上一点，连接AE.
（1）将△ADE沿AE翻折至△AD'E的位置，使点D落在D'处；
①若E在边DC上，如图1，当点D'落在边BC上时，求CE的长；
②若E在DC延长线上，当△CD'E为直角三角形时，在图2中画出图形，并求CE的长.
（2）若点F在边BC上，如图3，将△ABF沿AF翻折得到△APF，连接PB，将PB绕着点P顺时针旋转90°得到PQ，连接AQ，则AQ的最小值=______.
______
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】D
10.【答案】D
11.【答案】6ab
12.【答案】4
13.【答案】（2，-3）
14.【答案】＜
15.【答案】5
16.【答案】2
17.【答案】10
18.【答案】-8
19.【答案】．
20.【答案】，2．
21.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BO=DO，AD∥BC．
∵点E是CD的中点，
∴OE是△BCD的中位线．
∴OE∥BC．
又∵EF∥BD，
∴四边形OEFB是平行四边形．
∵AD⊥BD，AD∥BC，
∴BC⊥BD，
∴∠CBD=90°．
∴四边形OEFB是矩形；
（2）解：∵AD=8，
∴，
∵AD⊥BD，AB=DC=12，
∴，
∴，
∴矩形OEFB的面积=．
22.【答案】y=x+2；
（-，）．
23.【答案】（1）75；
（2）7；
（3）79；
（4）×1200=360（人），
答：估计两次活动平均成绩不低于90分的学生有360人．
24.【答案】“白心火龙果”每箱的售价为80元，“红心火龙果”每箱的售价为90元；
当购进“白心火龙果”12箱，“红心火龙果”26箱时，利润w最大，最大利润是700元．
25.【答案】E （2，0） （1，2）
26.【答案】①；②画图见解析；4或24；
．
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