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2025-2026学年江苏省南京市玄武区苏科版九年级（上）第一次月考数学模拟试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，是一元二次方程的是（）
A. B. C. D.
2.已知的半径，，则点与的位置关系是（　）
A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 不能确定
3.关于x的方程有实数根，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D. 且
4.如图，小红想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．当羊圈的面积为时，的长为多少米？设矩形的边，根据题意所列的方程是（ ）
A. B. C. D.
5.如图，A、B、C是上的点，是圆的直径，在延长线上取一点D，使，连接，则为（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，的圆心在轴上，且经过点和点，点是第一象限圆上的任意一点，且，则的圆心的坐标是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.请写出一元二次方程的所有解： ．
8.若关于的一元二次方程可配成的形式， ．
9.若，是方程的两个实数根，则的值为 ．
10.如图，四边形是的内接四边形，，的半径为6，则的长为 ．
11.如图，在中，是上一点点与点不重合若在的直角边上有且仅有个不同的点分别和点、成为直角三角形的三个顶点，则长的取值范围是 ．
12.如图，的半径为5，C是上一点，直线交于A，B两点，垂足为H，已知．若将直线l沿所在的直线平移后恰与相切，则平移的距离为 ．
13.矩形两条对角线交于点，且、的长是关于的方程的根，则的值为 ．
14.关于x的方程的解是（a，m，b均为常数，），则方程的解是 ．
15.已知关于x的一元二次方程的两个整数根恰好比方程的两个根都大1，则的值是 ．
16.如图，是的直径，半径的长为1，点在线段上运动，过点的弦，将沿翻折交直线于点，当的长为正整数时，线段的长为 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解下列方程：
(1)
(2)
(3)
(4) ．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，为直径，弦分别与半径相交，且．
(1) 求证：；
(2) 若，且，求的度数．
19.(本小题8分)
如图，四边形为平行四边形，为圆的直径，请仅用无刻度的直尺按要求画图（保留作图痕迹，不写作法）．
(1) 在图1中作出圆心．
(2) 在图2中，画出，使得．
20.(本小题8分)
若关于x的方程x2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根比另一个根大2，那么称这样的方程为“隔根方程”．例如，方程x2+2x＝0的两个根是x1＝0，x2＝﹣2，则方程x2+2x＝0是“隔根方程”．
(1) 方程x2﹣x﹣20＝0是“隔根方程”吗？判断并说明理由；
(2) 若关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，求m的值．
21.(本小题8分)
如图，为直角三角形，，点在的延长线上，且．
(1) 尺规作图：作的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）
(2) 求证：直线是切线；
(3) 若，求的半径．
22.(本小题8分)
如图，为的直径，弦于点，是弧上一点；延长，交于点，连结，，与交于点．
(1) 若，用含的代数式表示；
(2) 如图2，连结，，若，求证：．
23.(本小题8分)
如图，在中，，以为直径作，交于点D，交于点E，过点D作于点F．
(1) 求证：是的切线；
(2) 若的半径为5，求的长．
24.(本小题8分)
如图，在中，， cm， cm若点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动，两点同时出发．
(1) 问几秒后，的面积为？
(2) 的面积能否为？若能，求出点移动的时间；若不能，请说明理由．
25.(本小题8分)
如果关于x的一元二次方程有两个实数根，其中一个实数根是另一个实数根的2倍，那么称这样的方程是“倍根方程”．例如一元二次方程的两个根是，，则方程是“倍根方程”．
(1) 根据上述定义，一元二次方程 （填“是”或“不是”）“倍根方程”；
(2) 若是“倍根方程”，求m与n的关系；
(3) 若关于x的一元二次方程是“倍根方程”，求之间的关系．
26.(本小题8分)
如图1是用钢丝制作的一个几何探究工具，其中内接于，是的直径，，．现将制作的几何探究工具放在平面直角坐标系中（如图），然后点在轴上由点开始向右滑动，点在轴上也随之向点滑动（如图），当点滑动至与点重合时运动结束．
(1) 试说明在运动过程中，原点始终在上；
(2) 设点的坐标为，试探求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
(3) 在整个运动过程中，点运动的路径长是 ．
27.(本小题8分)
[发现问题]爱好数学的小明在做作业时碰到这样的一道题目∶
如图①，点O为坐标原点，的半径为1，点．动点B在上，连结，作等边（A，B，C为顺时针顺序），求的最大值．
[解决问题]小明经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路∶在图①中，连接，以为边在的左侧作等边三角形，连接．
(1) 请你找出图中与相等的线段，并说明理由；
(2) 线段的最大值为 ．
(3) [灵活运用] 如图②，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，点P为线段外一动点，且，以P为旋转中心，把逆时针旋转得，连接，求长的最大值及此时点P的坐标．
(4) [迁移拓展] 如图③，，点D是以为直径的半圆上不同于B、C的一个动点，以为边作等边，请直接写出的最值．
1.【答案】A
2.【答案】C
3.【答案】A
4.【答案】A
5.【答案】C
6.【答案】B
7.【答案】
8.【答案】25
9.【答案】2025
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】2或8
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】-3或29
16.【答案】或或2
17.【答案】【小题1】
解：，
，
∴，
∴；
【小题2】
解：，
，
∴或，
∴，；
【小题3】
解：，
，
∴，
∴；
【小题4】
解：
，
∴，
∴或，
∴．

18.【答案】【小题1】
证明：∵为直径，
，
∵，
∴，
，
即，
∴；
【小题2】
解：∵，
∴的度数为，
∴的度数为，
的度数为，
∴的度数为．

19.【答案】【小题1】
解：延长，与圆交于点H，连接，与的交点即为所求的圆心O；
理由：平行四边形中，，
又，
，
，
，
为圆的直径，
为圆的直径，
点O即为圆心；
【小题2】
解：设与交于点G，连接并延长交于点E，连接，交于点K，即为所求．
理由：由作图可知：为的直径，
，
，
，
．

20.【答案】【小题1】
不是，理由如下：
∵x2﹣x﹣20＝0，即（x﹣5）（x+4）＝0，
∴x1＝5，x2＝﹣4．
∵5﹣（﹣4）＝9≠2，
∴方程x2﹣x﹣20＝0不是“隔根方程”．
【小题2】
∵x2+mx+m﹣1＝0，即（x+1）[x+（m﹣1）]＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝1﹣m．
又∵关于x的方程x2+mx+m﹣1＝0是“隔根方程”，
∴|1﹣m﹣（﹣1）|＝2，
解得：m＝0或m＝4．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，即为所求.
【小题2】
证明：如图所示，连接
＝
，
，
，
，
又，
，
，
，
又为半径
直线为☉的切线
【小题3】
由（2）得
设，
，
在中，由勾股定理得
解得
的半径为．

22.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
；
【小题2】
证明：，且由（1）得，
，
，
，且由（1）得，
，

23.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
则，
，
，
，
．
于点F，
，
，即．
是的半径，
是的切线．
【小题2】
解：如图，连接．
是的直径，
，即．
，的半径为5，
．
在中，由勾股定理，得．
，
，
．

24.【答案】【小题1】
设后，的面积为，
则，
，
，
解得，
∴或时，的面积为；
【小题2】
不能，理由如下：设y秒时，的面积为，
，
即，
，
∴原方程无实数根，即的面积不能是．

25.【答案】【小题1】
是
【小题2】
，
解得，
是“倍根方程”，
或，
或．
【小题3】
设与是方程的解，
，，
即，，
，
整理得．

26.【答案】【小题1】
连接，
∵是的直径，为中点，
∴，
∴，
∴始终等于的半径长，
∴原点始终在上；
【小题2】
∵，，
∴，
∴，
即弧的长保持不变，
∴，
∴，
如图，其中，
，，，，
∴点的横坐标为，点的横坐标为，
即自变量的取值范围是；
【小题3】

27.【答案】【小题1】
如图中，结论：，
理由：∵都是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∴．
【小题2】
3
【小题3】
如图，连接，
∵将绕着点P顺时针旋转得到，连接，则是等腰直角三角形，
∴，
∵A的坐标为，点B的坐标为，
∴，
∴，
∴线段长的最大值=线段长的最大值，
∴当N在线段的延长线时，线段取得最大值（如图2中）
最大值，
∵，
∴最大值为；
如图，过P作轴于E，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴．
【小题4】
如图，以为边作等边三角形，连接，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴欲求的最小值，只要求出的最小值即可，
当M、D、O共线时，最小，
如图：
∵，O是中点，是等边三角形，
∴，
在中，，
∴，
∴的最小值为．
如图，以为边作等边三角形，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴欲求的最大值，只要求出的最大值即可，
∵定值，，
∴点D在以为直径的半圆上运动，
由图可知，当点D在上方，时，的值最大，最大值为，
∴的最大值为．
综上，的最小值为最大值为．

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