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2025-2026学年江苏省南京市玄武区八年级（上）第一次月考数学模拟试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）
A. ，， B. ，，
C. ，， D. ，，
2.如图，AD是 ABC的中线，已知 ABD的周长为28cm，AB比AC长6cm，则 ACD的周长为（ ）
A. 31cm B. 25cm C. 22cm D. 19cm
3.某学校美术组学生进行户外写生，需要准备如图所示的折叠小椅子．将折叠椅子撑开后，它的侧面木条可简画成如图2所示．已知椅子腿和的长度相等，是它们的中点．为了使折叠椅子坐得舒适，厂家将撑开后的椅子宽度设计为，此时的长度是（ ）
A. B. C. D.
4.如图，△ABC 中，点E，F，G 分别在BC，AC，AB 上，AE 与BF 交于点O，且点O 在CG 上，根据尺规作图的痕迹，判断下列说法不正确的是（ ）
A. AE，BF是△ABC的角平分线 B. 点O到△ABC三边的距离相等
C. CG也是△ABC的一条角平分线 D. AO＝BO＝CO
5.如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°．分别以点A和C为圆心，以大于 AC的长度为半径作弧，两弧相交于点P和点Q，作直线PQ分别交BC，AC于点D和点E．若CD=3，则BD的长为（ ）
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
6.如图，中，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（在上，在上）折叠，若点与点恰好重合，则度数为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题共9小题，每小题3分，共27分。
7.如图，在中，是的角平分线，如果的面积是15，则的长为 ．
8.如图，已知，点B，E，C，F依次在同一条直线上．若，则的长为 ．
9.如图，在四边形中，，，，且，，三点在同一条直线上，若，则的度数为 ．
10.如图，在中，点在上，且，的垂直平分线分别与，相交于点，，若的三个内角都不相等，则在，，，中，相等的角为 用“”连接．
11.如图，，是延长线上的一点，，动点从点出发沿以的速度移动，动点从点出发沿以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间，当 时，是等腰三角形．
12.如图，等边△ABC中，点分别在上，且，连接交于点，则的度数为 ．
13.如图，是外的一点，，分别是两边上的点，点关于的对称点恰好落在线段上，点关于的对称点落在的延长线上．若，，，则线段的长为 ．
14.如果四边形中的一条对角线长度是另一条对角线的两倍，那么称这个四边形为倍长对角线四边形．如图，四边形是倍长对角线四边形，且，四边形中最小的内角的度数是 ．
15.如图1，将一张直角三角形纸片（已知，）折叠，使得点落在点处，折痕为．将纸片展平后，再沿着将纸片按着如图2方式折叠，边交于点．若是等腰三角形，则的度数可能是 ．
三、解答题：本题共11小题，共88分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题8分)
如图，在中，，线段两点分别在和过点且垂直于的射线上运动，当的长为何值时，与全等？
17.(本小题8分)
如图，已知．
(1) 用直尺和圆规按下列要求作图：作的角平分线；作，交的延长线与点E；作，垂足为F．
(2) 图中的、相等吗？证明你的结论．
18.(本小题8分)
如图，过的边的垂直平分线上的点，作的另外两边，所在直线的垂线，垂足分别为，，，作射线；求证：平分．
19.(本小题8分)
如图，在中， AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
(1) AB=10 ，，求四边形 AEDF的周长；
(2) EF 与AD有怎样的位置关系，证明你的结论．
20.(本小题8分)
老师给出了下面的题目：如图，在中，，点在上，作，，，垂足分别为、、．
(1) 求证：．
(2) 如图，将“在中，，点在上”改成“为等边三角形内一点”，作，，，，垂足分别为、、、有类似结论吗？请写出结论并证明．
21.(本小题8分)
尺规作图
(1) 如图，在的网格中，的顶点均在格点上，借助网格特征，只利用直尺画出直线，使得直线垂直平分．
(2) 如图，在中，，求作点，使点在内部，且，(不写作法，保留作图痕迹)．
22.(本小题8分)
如图，在中，，，，点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒个单位长度的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点、运动的时间是秒，过点作于点，连接、．
(1) ；用含的代数式表示
(2) 求证：≌；
(3) 当为何值时，是等边三角形？说明理由；
(4) 当为何值时，为直角三角形？请直接写出的值．
23.(本小题8分)
如图，已知和都是等边三角形．
(1) 观察发现：如图①，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，则线段与之间的数量关系为 ； ．
(2) 如图②，若点，，在同一条直线上，为线段，的交点，为线段，的交点，连接，猜想与的位置关系，并证明．
(3) 深入探究：如图③，若点，，不在同一条直线上，为线段，的交点．中的结论仍成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
(4) 连接，求证：平分．
24.(本小题8分)
已知点是平分线上的一点，的两边，分别与射线，相交于，两点，且，过点作，垂足为．
(1) 如图，当点在线段上时，求证：；
(2) 如图，当点在线段的延长线上时，探究线段，与之间的等量关系，并说明理由；
(3) 如图，在（2）的条件下，若，连接，作的平分线交于点，交于点，连接并延长交于点，若，，求线段的长．
25.(本小题8分)
如图，是等边三角形，，是边上的高，点在边上，连接，在其下方作，使，，连接，，．
(1) 当是等腰三角形时， ；
(2) 求证：；
(3) 求的最小值；
(4) 当是等腰三角形时，直接写出的度数．
26.(本小题8分)
在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究：
(1) 如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ；
(2) 如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3) 如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数．
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】C
7.【答案】3
8.【答案】3
9.【答案】/35度
10.【答案】
11.【答案】或
12.【答案】120°
13.【答案】6.5
14.【答案】30°
15.【答案】或
16.【答案】解：∵，
∴，
当时：
∵，，
∴；
当时：
∵，，
∴；
综上：当的长为5或10时，和全等．

17.【答案】【小题1】
解：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交于点G、H；再分别以点G、H为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点I，连接点，交于点D，即为所求；
②以点D为圆心，任意长为半径画弧，交于点K、J；再以点B为圆形，同样的长度为半径画弧，交于点L；以点L为圆心，长为半径，交以点B为圆心画的弧于点M，连接，交延长线于点E，即为所求；
③以点A为圆心，大于点A到距离为半径画弧，交于O、P两点；再分别以点O、P为圆心，大于为半径画弧，两弧相交于点N，连接交于点F，即为所求；

【小题2】
解：，证明如下：
∵，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴．


18.【答案】证明：连接，，
∵点在的垂直平分线上，
．
，，
．
在和中，
∴，
．
又，，
点在的平分线上，即平分．

19.【答案】【小题1】
∵AD是高，E、F分别是AB、AC的中点，
∴DE=AE= AB=×10=5，DF=AF= AC=×8=4，
∴四边形AEDF的周长=AE+DE+DF+AF=5+5+4+4=18；
【小题2】
EF垂直平分AD．
证明：∵DE=AE，DF=AF，
∴EF垂直平分AD．

20.【答案】【小题1】
连接．
，
．
又，
．
【小题2】
．理由如下：
连接、、．
，
由于是等边三角形，所以，
．

21.【答案】【小题1】
如图①，直线l即为所求
【小题2】
如图②，点P即为所求

22.【答案】【小题1】
t
【小题2】
证明：，，
，
．
在和中，
，
≌．
【小题3】
，
当是等边三角形时，是等边三角形．
，
．
，，
，
，
当为时，是等边三角形．
【小题4】
，
当为直角三角形时，是直角三角形．
当时，，
即，
解得：；
当时，，
即，
解得：．
综上所述：当为或时，为直角三角形．

23.【答案】【小题1】


【小题2】
同（1）可证，
∴．
在和中，
，
∴()，
∴．
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∴；
【小题3】
成立．证明：如图，设与交于点O．
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，
即．
在和中，
，
∴()，
∴．
∵，
∴．
【小题4】
证明：连接，过点C作，垂足分别为M，N，如图．
由（3）得，
∴，
∴，
∴，
∴平分．

24.【答案】【小题1】
证明：如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴；
【小题2】
解：，理由如下：
如图，过点作，垂足为，
∵平分，，，
∴，，
∵，
∴
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴，
∴；
【小题3】
解：如图，在上截取，连接，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴（）
∴，，
∵是的平分线，是的平分线，
∴是的平分线，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴（），
∴，
∴．

25.【答案】【小题1】
75
【小题2】
证明：，，
是等边三角形，
是等边三角形，
，，，，
．
在和中，
；
【小题3】
解：是等边三角形，
，．
，
，．
由（2）知，
．
当时，最小，
最小值为；
【小题4】
解：的大小为或或；
理由如下：
当是等腰三角形时，
分三种情况讨论：
时，
，
，
，
时，
则，
，
时，
则．
．
综上，的大小为或或．

26.【答案】【小题1】


【小题2】
解：，，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【小题3】
解：完成作图如下：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．

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