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2025-2026学年江苏省南京市求真中学八年级（上）学情调研数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，，要用“”证明，则需要添加的一个条件是（ ）
A. 平分 B. C. D.
2.已知图中两个三角形全等，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，，以点为圆心，长为半径作弧，交于点，连接，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
4.如图，直线与线段交于点，点在直线上，且．小明说：“直线是的垂直平分线．”小亮说：“需再添加一个条件，小明的结论才正确．”下列判断正确的是（ ）
A. 小明说的对 B. 小亮说的对，可添条件为“”
C. 小亮说的对，可添条件为“” D. 两人说的都不对
5.如图，是三条角平分线的交点，的面积记为，的面积记为，的面积记为，且，则的值可能为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 10
6.如图，在中，为中线，过点B作于点E，过点C作于点F．延长至点G，使得，连接．下列结论中正确的个数为（ ）
①；②；③；④．
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。
7.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ．
8.在中，，，则 ．
9.如图，在中，D是的中点，，则的长是 ．
10.如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，过点B作，在上取两点C，D，使得，再过D点作的垂线，使得点E、C、A在同一直线上，若，，，则A，B两点的距离是 ．
11.如图，在中，，是边上的两点，，，，，分别为的中点，直线与直线相交于点，则的度数是 ．
12.如图，在中，是的平分线，是的边上的中线，如果的面积是，则的面积是 ．
13.如图，在中，，过点作于点，过点作于点，交于点．若，，则长为
14.等腰三角形的底边长为6，面积是21，腰的垂直平分线分别交，于点E、F，若点D为底边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 ．
15.等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则该等腰三角形的底角的度数为
16.如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且，下列结论：
（1）是等边三角形；
（2）四边形的面积是一个定值；
（3）当时，的周长最小；
（4）当时，．
其中正确的序号是 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图，已知点、为的边上两点．，为了判断与的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内注明推理的依据．
解：过点作，垂足为．
在中，(已知)(所作)
______________________( )
又(已知)
______________________
即：___________
又，垂足为(所作)
为线段___________的垂直平分线
(___________)
(___________)
18.(本小题8分)
小明利用一根3m长的竿子来测量路灯的高度．他的方法是这样的：在路灯前选一点，使 m，并测得，然后把竖直的竿子（3 m）在的延长线上移动，使，此时量得 m．根据这些数据，小明计算出了路灯的高度．你能计算出路灯高度吗？请写出计算过程并说明理由．
19.(本小题8分)
如图，点D在边的延长线上，，的平分线交于点E，过点E作于点H，且．
(1) 证明：平分；
(2) 若，，，且，求的面积．
20.(本小题8分)
(1) 在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半．请结合图1，写出已知、求证，并证明该结论；
(2) 如图2，已知三角形衣架中，，，则的面积为
21.(本小题8分)
已知：如图，，，求证：．（用两种方法）
22.(本小题8分)
仅用无刻度直尺及圆规，将分成四个等腰三角形．
23.(本小题8分)
在中，，若点在的平分线所在的直线上．
(1) 如图1，当点在的外部时，过点作于，作交的延长线于，且，
①求证：点在的垂直平分线上；
②___________；
(2) 如图2，当点在线段上时，若，，平分，交于点，交于点，过点作，交于点，若，求的长度．
1.【答案】C
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】C
5.【答案】D
6.【答案】C
7.【答案】
8.【答案】2cm
9.【答案】2
10.【答案】
11.【答案】/75度
12.【答案】10
13.【答案】5
14.【答案】7
15.【答案】或
16.【答案】（1）（2）（3）（4）
17.【答案】解：过点作，垂足为．
在中，(已知)，(所作)，
(等腰三角形三线合一性质)．
又(已知)，
(等式的性质)．
即：．
又，垂足为(所作)，
为线段的垂直平分线．
(线段垂直平分线的性质)．
(等边对等角)．
故答案为：；等腰三角形三线合一性质；；；；线段垂直平分线的性质；等边对等角．

18.【答案】解：能．
∵；；
∴；
在和中，
∴（ ASA）；
∴；
∵ m， m；
∴（ m）
答：路灯的高度是9m．

19.【答案】【小题1】
解：证明：过点作于于，
平分，
，
，
，
，
，
平分；
【小题2】
解：，且，
，
，
，
，
的面积为32．

20.【答案】【小题1】
已知，，
求证：．
证明：如图1，作，交于点D，
，
，，
又，，
，
是等边三角形，
，
又，
，
，
．
【小题2】


21.【答案】证法1：如图1，连接，
，
，
又∵，
，
即，
．
证法2：如图2，过点A作交延长线于E，作交延长线于F，则，
∵，，，
，
又∵，
，
，，
在和中，
，
，
，
，
．

22.【答案】解：如下图所示：，，，即为所分出的等腰三角形．

23.【答案】【小题1】
①证明：连接，
∵点在的平分线所在的直线上，，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点在的垂直平分线上；
②在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
故答案为：；
【小题2】
解：延长交于，
∵平分，平分，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．

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