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2025-2026学年江苏省南京市秦淮区九年级（上）第一次月考数学模拟试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.一元二次方程的解为（ ）
A. ， B. ， C. D.
2.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（ ）
A. B. C. D.
3.下列说法中，正确的是（）
A. 弧是半圆 B. 长度相等的弧是等弧
C. 在圆中直角所对的弦是直径 D. 任意一个三角形有且只有一个外接圆
4.已知扇形的圆心角为，半径为，则扇形的弧长为（ ）．
A. B. C. D.
5.如图，是直径，点，在半圆上，若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
6.如图，在半圆中，，将半圆沿弦所在的直线折叠，若弧恰好过圆心，则的长是（ ）
A. B. C. D.
7.如图，经过五边形的四个顶点，若，，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，在等边中，，点，分别在边，上，且，连接，交于点，连接，则的最小值是（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若一元二次方程有两个相等的实数根，则k的值是 ．
10.已知是方程的一个根则 ．
11.圆锥的底面半径为2cm，母线长为3cm，则圆锥的侧面积为 ．
12.设x1、x2是方程x2﹣5x+m＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝2，则m＝ ．
13.如图，在的内接四边形中，，点E在上，则 ．
14.已知的半径为，点到直线的距离为．把直线向上平移 ，才能使与相切
15.如图，在直角三角尺中，，把直角三角尺放置在圆上，经过圆心，与相交于，两点，点，，的刻度分别是，，，与相切于点，那么的半径是 ．
16.如图，⊙O的两条弦互相垂直，垂足为点 E,当的半径为2，AB与CD两弦长的平方和等于28，则OE等于 ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
17.解方程：
(1) ；
(2) ．
四、解答题：本题共10小题，共80分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18.(本小题8分)
如图，在中，直径弦，若，求的度数．
19.(本小题8分)
教练想从甲、乙两名运动员中选拔一人参加射击锦标赛，故先在射击队举行了一场选拔比赛．在相同的条件下各射靶5次，每次射靶的成绩情况如图所示．
(1) 请你根据图中的数据填写下表：
平均数 众数 方差
甲 6
乙 6
(2) 根据选拔赛结果，教练选择了甲运动员参加射击锦标赛，请给出解释．
20.(本小题8分)
已知关于x的方程mx2﹣（m+2）x+2＝0．
(1) 若方程有一个根是2，求m的值；
(2) 求证：不论m为何值，方程总有实数根．
21.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°．
(1) 用直尺和圆规作⊙O，使圆心O在AC上，且⊙O与BC、AB都相切；（要求：不写作法，保留作图痕迹）
(2) 若AC=6，BC=8，则⊙O的半径长为 ．
22.(本小题8分)
如图，中，，以为直径的交于，交于．
(1) 求证：；
(2) 若，求和的度数．
23.(本小题8分)
如图，为半的直径，弦的延长线与过点B的切线交于点D，E为的中点，连接．
(1) 求证：是的切线；
(2) 过点C作，垂足为点F，，求的半径．
24.(本小题8分)
如图，是的直径，弦，垂足为E，K为弧上一动点，的延长线相交于点F，连接．
(1) 求证：；
(2) 已知，求的大小．
25.(本小题8分)
如图，中，，，，，是的内切圆，求的半径（用含、、的代数式表示）．
（1）小旭同学用面积法，可以构建关于r的方程_______________．解得_______________（结果用含、、的代数式表示）．小辰同学由切线长定理，可以构建关于r的方程_______________．解得_______________（结果用含、、的代数式表示）．（2）两位同学得到的答案相等吗？若相等，请给出证明．
26.(本小题8分)
圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆，用大圆的面积减去小圆的面积就是圆环的面积．
(1) 如图，大圆的弦切小圆于点，求证：；
(2) 若，则图中的圆环面积为 用含有的代数式表示；
(3) 如图，若大圆的弦交小圆于、两点，且，，则圆环的面积为 ．
(4) 如图，点是内一点，用不带刻度的直尺与圆规，过点作的弦，使保留作图痕迹，写出必要的文字说明．
27.(本小题8分)
问题背景：在一次数学兴趣小组活动中，小军对苏科版数学九年级教材第42页的第4题很感兴趣．教材原题：如图1，、是的高，M是的中点．点B、C、D、E是否在以点M为圆心的同一个圆上？为什么？
小军在完成此题解答后提出：如图2，若、的交点为点O，则点A、D、O、E四点也在同一个圆上．
(1) 请对教材原题或小军提出的问题进行解答．（选择一个解答即可）直接应用： 当大家将上述两题都解决后，组员小明想起了在七年级通过画图归纳出的一个结论：三角形的三条高所在直线交于同一点，可通过上面的结论加以解决．
(2) 如图3，的两条高、相交于点O，连接并延长交于点F．
求证：为的边上的高．
拓展延伸：在大家完成讨论后，曾老师根据大家的研究提出一个问题：
(3) 在（2）的条件下连接、、（如图4），设，则的度数为 ．（用含α的式子表示）
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】
10.【答案】2026
11.【答案】
12.【答案】3
13.【答案】126
14.【答案】或
/或
15.【答案】3.5
16.【答案】1
17.【答案】【小题1】
解：，
，
，
，
，
，；
【小题2】
解：，
，
，
，
，
，．

18.【答案】解：，，
，
，
，
．

19.【答案】【小题1】
解∶甲的平均数为∶，
乙的众数为∶6；
方差为∶．
平均数 众数 方差
甲 6 6 0.4
乙 6 6 2.8
故答案为∶
【小题2】
解：理由：因为甲、乙的平均数与众数都相同，甲的方差小，所以更稳定，因此甲的成绩好些，因此选甲．

20.【答案】【小题1】
将x＝2代入原方程，得：4m﹣2（m+2）+2＝0，
解得：m＝1．
故m的值为1；
【小题2】
当m＝0时，原方程为一次方程，此时x＝1；
当m≠0时，＝（m+2）2﹣4×2m＝（m﹣2）2≥0，
∴当m≠0时，方程有实数根．
综上所述：不论m为何值，方程总有实数根．

21.【答案】【小题1】
解：如图所示，⊙O即为所求．
．
【小题2】


22.【答案】【小题1】
证明：连接，如图所示：
是的直径，
，
，
，
．
【小题2】
解：是的直径，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴
∵四边形是的内接四边形
∴
又∵
∴．

23.【答案】【小题1】
证明：连接，
∵是的切线，
∴，
∵是直径，
∴，
∵中，E是的中点，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵点C在圆上，
∴是的切线；
【小题2】
解：∵中，，
∴，
设，
由勾股定理得：，，
∴，
∴，
解得，
则，
即的半径为．

24.【答案】【小题1】
连接、，

∵是圆内接四边形的外角，
∴，
∴，
∵为的直径，弦，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：连接，

∵为的直径，，
∴，
∵弦，，
∴，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
∵．

25.【答案】解：（1）在中，，，，，是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
方法一：如图，连接，，，，，，
∴，，，
∵，
∴，
∴；
方法二：∵是的内切圆，，，分别为切点，的半径为，
∴，
∴四边形是矩形，
∵，
∴四边形是正方形，
∴，
∵是的内切圆，
∴、、都是的切线，切点分别为点，，，
∴，，
∴，
，
，
∴，，
∴，
∴；
故答案为：；；；；
（2）相等．
证明：∵，
∴，
∵
∴．

26.【答案】【小题1】
证明：如图1，连接，
大圆的弦切小圆于点，
，
;
【小题2】

【小题3】

【小题4】
解：如图3，作法：
作射线交于点；
作以为圆心，以长为半径的圆；
作以为直径的圆交以为圆心，以长为半径的圆于点；
连接，连接并且延长到点，使；
连接，作于点；
以为圆心，以长为半径作圆作弧，交以为圆心，以长为半径的圆于点；
过点、作直线交于点、，
弦就是所求的弦．
理由：连接，作于点，则，
，，
，
，
设，，
，
，，
，
于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
弦就是所求的弦．

27.【答案】【小题1】
点B、C、D、E四点也在同一个圆上，理由如下：
连接，，
∵M是的中点，
∴
∵、是的高，
∴均为直角三角形
∴
∴
∴点B、C、D、E四点也在同一个圆上；
点A、D、O、E四点在同一个圆上，理由如下：
连接，取的中点N，连接，，如图，
则，
∵、是的高，
∴均为直角三角形
∴
∴
∴点A、D、O、E四点在同一个圆上；
【小题2】
连接，由点B、C、D、E四点共圆得，
由点A、D、O、E四点共圆得，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为的边上的高
【小题3】


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