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2025-2026学年江苏省南京市鼓楼实验中学八年级（上）第一次月考数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，，，，分别是的高线、中线和角平分线，下列结论错误的是（ ）
A. B. C. D.
2.如图， ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，AE⊥BC于E，若∠B＝α，∠C＝β，则∠ADC的度数为（ ）
A. B. C. D.
3.如图所示，如界，则（ ）
A. B. C. D.
4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则它的底角为（ ）
A. B. C. 或 D. 或
5.如图，年月日至日，第三届湖南旅游发展大会在衡阳举办，某社区要在三条公路围成的一块三角形平地上修建一个便民服务站，要使这个便民服务站到三条公路的距离相等，应该修在（ ）
A. 三边中线的交点 B. 三个角的平分线的交点
C. 三边高线的交点 D. 三边垂直平分线的交点
6.如图，，且，于，于．若，，，则的长为（ ）
A. 9 B. 8 C. 7 D. 6
7.综合实践课上，嘉嘉画出了，利用尺规作图画出了，使．图～图是其作图过程．
（1）以点为圆心，以适当长为半径画弧，交于点，交于点． （2）以点为圆心，以长为半径画弧，与（1）中的弧交于点，作射线． （3）以点为圆心，分别以，长为半径画弧，与边交于点，与射线交于点，连接．
在嘉嘉的作法中，可直接判定的依据是（ ）.
A. B. C. D.
8.为测量池塘两端的距离，数学小组的三位同学分别设计出如下三种方案：
小明：如图1．选定点，连接．并分别延长到点，使，．连接．则量出的长即为的距离．
小红：如图2，先过点作的垂线，在上取两点，使．再过点作的垂线．交的延长线于点．则量出的长即为的距离．
小丽：如图3，过点作的垂线，在上取一点，连接，然后在的延长线上取一点，连接，使．则量出的长即为的距离．
以上三位同学设计的方案中可行的是（ ）
A. 小明和小红 B. 小明和小丽
C. 小红和小丽 D. 三个人的方案都可以
9.如图，在中，，是的角平分线，于点，连接，，，，则的面积是（ ）
A. B. 2 C. D.
10.如图，的外角的平分线相交于点，于，于，下列结论：（1）；（2）点在的平分线上；（3），其中正确的有（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.在中，，则
12.等腰三角形的两边长分别为5和2，则第三边长为 ．
13.三角形的三边长分别为，则x的取值范围是 ．
14.如图，在中，，的垂直平分线交于点，垂足为，平分，若，则的长为 ．
15.如图，点，．
(1) 点A关于x轴的对称点的坐标为 ：
(2) 若点P为坐标轴上一点，当的周长最小时，点P的坐标为 ．
16.如图，某市地铁站入口的闸机双翼展开时，双翼边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，那么两机箱之间的距离为 ．
17.如图，，均为等边三角形，连接，交于点，与交于点，则的度数是 ．
18.如图，点在等边的边上，，射线，垂足为是射线上一动点，是线段上一动点，当的值最小时，，则的长为 ．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题8分)
如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点E．
(1) 若，，求的度数；
(2) 直接写出、、三个角之间存在的等量关系．
20.(本小题8分)
如图，在等腰中，，为中线，延长至点，使，连结，过点作的垂线，垂足为，交于点．
(1) 若，求的度数；
(2) 试说明的理由．
21.(本小题8分)
如图，在中，，是边的垂直平分线，点在上，．
(1) 求证：是等边三角形；
(2) 若，求的长．
22.(本小题8分)
如图，在中，是边的垂直平分线，分别交边，于点，，，且为线段的中点，延长与的垂直平分线交于点，连接．
(1) 若是的中点，求证：；
(2) 若，求证：为等边三角形．
23.(本小题8分)
在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F．
(1) 求证：；
(2) 当时，求证：平分．
24.(本小题8分)
如图，在中，，平分，交于点D，于点E，点F在线段上，且．
(1) 求证：；
(2) 若，，求的长；
(3) 若，求的度数．
25.(本小题8分)
在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．兴趣小组进行了如下探究：
(1) 如图1，两个等腰三角形和中，，，，连接、，如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和全等的三角形是 ，此时和的数量关系是 ；
(2) 如图2，两个等腰直角三角形和中，，，，连接、，两线交于点，请判断线段和的数量关系和位置关系，并说明理由；
(3) 如图3，已知，请完成作图：以、为边分别向外作等边和等边（等边三角形三条边相等，三个角都等于），连接，，两线交于点，并直接写出线段和的数量关系及的度数．
1.【答案】D
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】B
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】C
11.【答案】60
12.【答案】5
13.【答案】
14.【答案】1
15.【答案】【小题1】
【小题2】


16.【答案】62
17.【答案】/60度
18.【答案】
19.【答案】【小题1】
解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴；
【小题2】
解：，证明如下：
∵平分，
∴，
又∵，
∴
，
即．

20.【答案】【小题1】
解：∵是等腰三角形，，
∴，
∵，
∴；
【小题2】
解：在等腰中，，为中线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵是的外角，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．

21.【答案】【小题1】
证明：∵是边的垂直平分线，
∴，
∵，
，
，
，
，
，
∴，
∴是等边三角形；
【小题2】
解：如图，过点作，交于点，
∵是边的垂直平分线，
是直角三角形，
在中，，
∴，，
∵，
∴是直角三角形，
∴
∴在中，，
∴，
由（1）得，
∴是等腰三角形，
根据三线合一得，，
∴．

22.【答案】【小题1】
证明：如图，连接，
∵是边的垂直平分线，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴，
∵，为的中点，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
证明：∵，，
∴，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
∵的垂直平分线为，
∴，
∴为等边三角形．

23.【答案】【小题1】
证明：∵，，
∴，
在与中，
，
∴，
∴．
【小题2】
证明：设交于点G，如图，
由（1）得，
∴，．
由（1）得，
∵，
∴．
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴平分．

24.【答案】【小题1】
证明：平分，，，
．
在和中，
，
．
【小题2】
解：在和中，，
，
，
由（1）得，
．
【小题3】
解：设
平分，
，
，
，
解得
．

25.【答案】【小题1】


【小题2】
解：，，理由如下：
∵，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
又∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴．
【小题3】
解：完成作图如下：
∵和都是等边三角形，
∴，
∴，即，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴
，
∴．

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