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2024-2025学年广西大学附中九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某学校寒假期间，进行了“星阅读”活动.一个月阅读打卡20天即为达标.若琪琪打卡阅读28天，记为+8天，那么丽丽阅读打卡15天，记为（　　）
A. -15天 B. +15天 C. 5天 D. -5天
2.人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A. 1.56×10-3 B. 0.156×10-3 C. 1.56×10-6 D. 15.6×10-7
3.一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体是（　　）
A.
B.
C.
D.
4.如图，矩形ABCD的对角线交于点O，若∠ACB=30°，AB=2，则BD的长为（　　）
A. 2
B. 3
C.
D. 4
5.不等式x+1≤0的解集在数轴上表示正确的是（　　）
A. B.
C. D.
6.下列运算正确的是（　　）
A. （-b）3=b3 B. （a-b）2=（b-a）2
C. 3mn-m=3n D. （m-1）2=m2-1
7.某项目化研究小组只用一张矩形纸条和刻度尺，来测量一次性纸杯杯底的直径.小敏同学想到了如下方法：如图，将纸条拉直并紧贴杯底，纸条的上下边沿分别与杯底相交于A、B、C、D四点，然后利用刻度尺量得该纸条的宽为3.5cm,AB=3cm,CD=4cm.请你帮忙计算纸杯杯底的直径为（　　）
A. 4.8cm B. 5cm C. 5.2cm D. 6cm
8.“成语”是中华文化的瑰宝，是中华文化的微缩景观.下列成语：①“水中捞月”，②“守株待兔”，③“水涨船高”，④“瓜熟蒂落”描述的事件是不可能事件的是（　　）
A. ① B. ② C. ③ D. ④
9.下列因式分解正确的是（　　）
A. a2+b2=（a+b）2
B. 4x2-9=（2x+3）（2x-3）
C. x2+2x-3=x（x+2）-3
D. m（a-3）-2（3-a）=（m-2）（3-a）
10.习总书记到广西视察几天后，网上一篇名为《南宁，好ging哦!》的推文在朋友圈被大家纷纷点赞.小明以此为标题设计了一块关于宣传“绿城南宁”的展板，该展板的部分示意图为图2所示，它以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O=120°形成的扇面，若OA=6m,OB=3m,则阴影部分的面积为（　　）
A. 9πm2 B. C. D. 8πm2
11.甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城.在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y（km）与甲、乙两车行驶的时间t（h）之间的函数关系如图所示.有下列结论：①A，B两城相距300km；②乙车比甲车晚出发1h,却早到1h；③乙车出发后2.5h追上甲车；④当甲、乙两车相距50km时，或或.其中正确的结论有（　　）
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
12.欧几里德在《几何原本》中，记载了用图解法解方程x2+ax=b2的方法，类似地可以用折纸的方法求方程x2+x-1=0的一个正根，如图，裁一张边长为1的正方形的纸片ABCD，先折出BC的中点E，再折出线段AE，然后通过折叠使EB落在线段EA上，折出点B的新位置F，因而EF=EB，类似地，在AB上折出点M使AM=AF，表示方程x2+x-1=0的一个正根的线段是（　　）

A. 线段BM B. 线段AM C. 线段BE D. 线段AE
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13.若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是______.
14.学校开展了纪念“一二 九”运动的合唱比赛，其中评分项目为歌曲内容、精神面貌和艺术效果，并依次按照2：3：5计算综合成绩.某班这三项分别得了90分、90分和88分，则该班的综合成绩是______分.
15.如图，在△ABC中，AB=4cm,AC=8cm,点P从B点出发沿BA方向向终点A以1cm/s的速度移动；同时，点Q从A出发沿AC方向向终点C以2cm/s的速度移动.设运动时间为t（s），当t= 时，△ABC与△APQ相似.
16.如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y=（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为1，∠AOB=∠OBA=45°，则k的值为______．

三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
（1）计算：.
（2）解方程组：.
18.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，∠A是直角，AB=12.
（1）请你用无刻度直尺和圆规在边AC上求作一点F，使∠ABF=∠CBF（要求：不写作法，保留作图痕迹）.
（2）在（1）的条件下，过点F作FG⊥CB于点G.若AF=4，S△BCF=30，求CG的长.
19.(本小题8分)
某工厂为了提高生产效率，正对生产线进行技术改革，在第一试验阶段实现了日产量1500件的目标，第三试验阶段实现了日产量2160件的目标.
（1）如果第二阶段、第三阶段日产量的增长率相同，求该生产线日产量的增长率；
（2）按照（1）中的日产量增长率，该工厂期望第四试验阶段日产量能达到2500件，请通过计算说明他们的目标能否实现.
20.(本小题8分)
根据《国家体质健康标准》规定，七年级男生、女生50米短跑时间分别不超过7.7秒、8.3秒为优秀等次.某校在七年级学生中挑选男生、女生各5人进行集训，经多次测试得到10名学生的平均成绩（单位：秒）记录如下：男生成绩：7.61，7.38，7.65，7.38，7.38
女生成绩：8.23，8.27，8.16，8.26，8.32
根据以上信息，解答下列问题：
（1）男生成绩的众数为______，女生成绩的中位数为______；
（2）判断下列两位同学的说法是否正确.
（3）教练从成绩最好的3名男生（设为甲，乙，丙）中，随机抽取2名学生代表学校参加比赛，请用画树状图或列表的方法求甲被抽中的概率.
21.(本小题8分)
在物理学中，我们学过，光线从空气中进入液体，会发生折射现象，如图（一），若入射角为α，折射角为β，法线垂直于液面，由此我们可以得到物理公式：折射率n=.
某课外活动小组为观察光的折射现象，设计如图（二）的实验，通过点P发射一束光线，经由点D光线折射到点B（PDB三点不在一条直线上），图（三）为实验示意图，法线GH垂直于液面EF于点D，交液面底部于点H，四边形ABFE为矩形，经测量，ED=25cm,DF=16cm,光线由空气进入液体的折射率n=.
（1）在AE延长线上量取EP=5cm,光线由点P射出经由点D，恰好折射到点B，求出入射角∠PDG的正弦值和折射角∠HDB的度数；
（2）光线再次由点Q射出，经由点D折射到点C且入射角∠QDG=45°，求CB的长.
22.(本小题8分)
综合与实践：
在数学活动课上，老师组织学生开展以“特殊四边形…筝形”为主题的数学实践探究活动.定义：两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”
a.实践操作：用一张矩形纸按如下操作：
如图1，将一张纸对折压平，以折痕为边按如图所示剪出一个三角形，然后把纸展平，折痕为四边形ABCD.判断四边形ABCD的形状______筝形（填“是”或“不是”）
b.问题解决：
（1）通过折纸与测量发现：∠ABC ______∠ADC，对角线BD ______AC.
（2）如图2，将正方形ABCD绕着点B逆时针旋转一定角度后，得到正方形GBEF，边AD与EF相交于点H.请你判断四边形ABEH是否是“筝形”，说明你的理由.
（3）如图3，赵老师想要制作一个风筝，目前已经做好了筝形骨架ABCD，已知筝形对角线BD=80cm,AC=60cm.请帮赵老师算出至少需要多大的筝形纸面.
（4）通过研究发现：作∠ABC的角平分线交AC于O点，可以作筝形ABCD的______圆，顺次连接该圆与筝形两条对角线的4个交点，所形成的图形是______.试给你的发现下一个结论：______.
23.(本小题8分)
【课本再现】（1）课本中有这样一段内容：战国时的《墨经》有“圆，一中同长也”的记载，它的意思是圆上各点到圆心的距离等于半径.复习课上，小明和同学们对如图1所示的课本例题进行了深入学习：
例1矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一个圆上.
证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴，，AC=BD，
∴OA=OC=OB=CD，
∴A，B，C，D四个点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上.
通过这个例题学习对“到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上”有了更深的理解.以下是一道课本原题：“△ABC中，∠C=90°，求证：A，B，C三点在同一个圆上.”请你利用图2写出证明过程.
【初步运用】（2）对于一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识可以更容易解决问题.例如：如图3，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是△ABC外一点，且AD=AC，求∠BDC的度数.若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，由AB=AC=AD可知点C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC=______°.
【深入理解】（3）如图4，在四边形ABCD中，AB=AC=AD.求证：∠1+∠2=90°.
【拓展延伸】（4）如图5，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′C长度的最小值.
1.【答案】D
2.【答案】C
3.【答案】C
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】B
8.【答案】A
9.【答案】B
10.【答案】A
11.【答案】B
12.【答案】B
13.【答案】x≥2
14.【答案】89
15.【答案】2或
16.【答案】
17.【答案】1；

18.【答案】使∠ABF=∠CBF的点F，如图即为所求；
3
19.【答案】20%；
他们的目标能实现
20.【答案】7.38秒；8.26秒．
小星同学的说法正确，小红同学的说法不正确．
．
21.【答案】解：（1）∵四边形ABFE为矩形，
∴∠AEF=90°．
∴∠PED=180°-∠AEF=90°．
在Rt△PED中，PE=5，DE=25，
∴PD==30．
∴sin∠DPE==．
∵AP∥GH，
∴∠PDG=∠P．
∴sin∠PDG=sin∠P=．
∵n=，n=，
∴sin∠HDB=．
∴∠HDB=45°．
（2）由题意得：四边形DHBF为矩形，
∴DF=BH=16．
∵∠HDB=45°，∠DHB=90°，
∴∠HBD=45°．
∴DH=BH=16．
∵n=，∠QDG=45°，
∴sin∠HDC=÷=．
由题意得：∠DHC=90°．
设HC=3x cm,则CD=5x cm.
根据勾股定理得：HC2+DH2=CD2．
∴162+（3x）2=（5x）2．
∴x=4，x=-4（舍去）．
∴HC=12．
∴CB=HB-HC=4 cm.
22.【答案】：=，垂直；
四边形ABEH是“筝形”；理由见解析；
至少需要2400cm2的筝形纸面；
内切圆；筝形；筝形的内切圆与对角线相交，四个交点形成的图形仍为筝形．
23.【答案】在Rt△ABC中，∠C=90°，取AB的中点O，连接OC，
∴OC=OA=OB=AB，
∴A，B，C三点在以点O为圆心，OA为半径的同一个圆上，
即A，B，C三点在同一个圆上；
45°；
∵ AB=AC=AD，
∴点B，C，D在以A为圆心，AB为半径的圆上，
方法1：如图4.1，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠2，
又∵在⊙A中，∠BAC=2∠1，
在△ABC中，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，
∴2∠2+2∠1=180°，
∴∠1+∠2=90°；
方法2：延长CA交⊙A于点P，连接BP，则PC为⊙A的直径，
∴∠PBC=90°，
在△PBC中，∠P+∠2=90°，
在⊙A中，∠1=∠P，
∴∠1+∠2=90°；
A′C=-1
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