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第11章 平面直角坐标系自我评估
（满分为 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列四种描述中，能确定具体位置的是（ ）
A．北京长安大街 B．东经，北纬
C．某电影院5号厅2排 D．一架飞机距离地面10千米
2．笛卡尔是法国著名的数学家，他首先提出并创建了平面直角坐标系，引入坐标和变量的概念，平面直角坐标系很好地体现的数学思想是（ ）
A．数形结合思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 D．统计思想
3．如图1，点E，F在同一平面直角坐标系中，若点E在第三象限，点F在第一象限，则应选择的坐标原点是（ ）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
图1 图2 图3
4．在平面直角坐标系中，点P所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如图2，在平面直角坐标系中，点A，C在x轴上，点的坐标为（－1，0），AC=2．将直角三角形ABC向右平移4个单位，则平移后点A的对应点的坐标是（ ）
A．（－1，0） B．（－3，0） C．（0，0） D．（1，0）
6．图3是象棋残局，已知棋子“馬”和“車”的坐标分别为（4，3），（－2，1），则表示棋子“炮”的点的坐标为（　　）
A．（－3，3） B．（3，2） C．（1，3） D．（0，3）
7．已知线段AB⊥x轴，且AB=4，若点A的坐标为（－2，3），则点B的坐标为（ ）
A．（－2，7） B．（2，3） C．（2，3）或（－6，3） D．（－2，7）或（－2，－1）
8．已知a是整数，若点A（2－1，－2）在第四象限，则a的值是（　　）
A．－1 B．0 C．1 D．2
9．在平面直角坐标系中，已知A（2，4），B（－3，－2），C（x，－2）三点，其中x≠－3．当线段AC最短时，三角形ABC的面积是（ ）
A．30 B．15 C．10 D．
10．如图4，在平面直角坐标系中，已知A（－1，1），B（－1，－2），C（3，－2），D（3，1），一只瓢虫从点A出发以每秒1个单位的速度沿循环爬行，则第2024秒瓢虫所在点的坐标为（ ）
A．（3，－1） B．（3，－2） C．（－1，－2） D．（－1，1）
图4
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若点A的坐标为（－2，－3），则点A到x轴的距离为 ．
12．在平面直角坐标系中，将一个点先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得点的坐标是（3，－2），则原来点的坐标是 ．
13．若点在x轴上，点在y轴上，则mn的平方根是 ．
14．已知点，，是线段的中点，则．在平面直角坐标系中，有三个点A（1，－1），B（－1，－1），C（0，1），则以AB，AC，BC的中点为顶点的三角形的面积为 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．已知点A（a，3），B（－4，b），试根据下列条件求出a，b的值．
（1）轴，且；
（2）A，B两点在第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上．
16．北京环球影城主题公园完美融合中外经典文化元素，打造了变形金刚基地、未来水世界等七大主题景区．图5是某些主题景区的分布示意图（图中小方格都是边长为1个单位的正方形），小珂和妈妈在游玩的过程中，分别对“侏罗纪世界”和“变形金刚基地”的位置作出如下描述：
小珂：“侏罗纪世界的坐标是（1，0）”． 妈妈：“变形金刚基地位于坐标原点的西北方向”．
实际上，小珂和妈妈描述的位置都是正确的．
（1）根据以上描述，在图5中建立平面直角坐标系，并写出“未来水世界”的坐标；
（2）若“哈利波特魔法世界”的坐标为M（7，1），“好莱坞”的坐标为N（－3，－3），请在平面直角坐标系中用点M，N表示这两个主题景区的位置．
图5
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图6，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点的坐标分别为A（－3，1），B（－4，－1），C（0，2），三角形ABC经过一次平移后得到三角形DEF，点A的对应点为点D，点B的对应点为点E，点C的对应点为点F，其中点的坐标为（－1，－2）．
（1）点E的坐标为 ，点F的坐标为 ；
（2）连接BE，AD，则四边形ABED的面积为 ．
图6
18．已知当m，n都是实数，且满足时，称点为“如意点”．
（1）当时， “如意点”为 ；
（2）判断点A（3，3）是否为“如意点”，并说明理由；
（3）若点M（a，2a－1）是“如意点”，判断点M在第几象限，并说明理由．
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图7，在平面直角坐标系中，A（0，1），B（2，0），C（4，3）．
（1）求三角形ABC的面积；
（2）设点P在轴上，且三角形ABP与三角形ABC的面积相等，求点P的坐标．
图7
20．已知点P（3－15，2－）．
（1）若点P到x轴的距离是1，求a的值；
（2）在（1）的条件下，如果点Q是点P向上平移3个单位得到的，求点Q的坐标；
（3）若点P位于第三象限，且横、纵坐标都是整数，求点P的坐标．
六、（本题满分12分）
21．如图8，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别是（－3，0），（1，0），C为y轴正半轴上一点，且三角形ABC的面积为6．
（1）求点C的坐标；
（2）是否存在点P（2t，t），使得三角形PAB的面积为三角形ABC面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图8
七、（本题满分12分）
22．如图9，在长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（0，b），且a，b满足（a－4）2+|b－6|=0，点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位的速度沿着O→C→B→A→O的线路移动．
（1）a=　 　 ，b=　 　 ，点B的坐标为　 　 ；
（2）当点P移动4秒时，请指出点P的位置，并求出点P的坐标；
（3）在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位时，求点P移动的时间．
图9
八、（本题满分14分）
23．在平面直角坐标系中，已知点M（a，b），对于点P（x，y），将点称为点P关于点M的关联点．
（1）点P（－6，7）关于点M（2，3）的关联点的坐标是 ；
（2）如图10，点A（1，－1），B（5，－1），以为边在直线的下方作正方形，点E（－4，1），F（－2，2），G（－1，0）关于点M（a，4）的关联点分别是点E1，F1，G1．若三角形E1F1G1与正方形ABCD有公共点，求a的取值范围；
（3）点P（－1，t－1），N（2t，5t）关于点M（3，b）的关联点分别是点P1，N1，且点P1在x轴上．若O为原点，三角形O P1N1的面积为3，求点N1的坐标．
图10
第11章 平面直角坐标系自我评估
一、1．B 2．A 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A
二、11．3 12．（1，1） 13． 14．
三、15．解：（1）因为轴，所以．
因为，所以或a=．
（2）因为A，B两点在第一、三象限两坐标轴夹角的平分线上，所以a=3，b=－4．
16．解：（1）建立平面直角坐标系如图1所示， “未来水世界”的坐标为（5，5）；
（2）点M，N的位置如图1所示．
图1
四、17．解：（1）（－2，－4） （2，－1） （2）7
18．解：（1）（1，1）
（2）点A（3，3）是“如意点”．理由如下：当时，解得．
将代入，解得．所以．
所以点A（3，3）是“如意点”．
（3）点M在第一象限．理由如下：因为点M（a，2a－1）是“如意点”，所以，，
解得，．
又因为，即，解得．
所以点M的坐标为（1，1）．所以点M在第一象限．
五、19．解：（1）如图2，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别为D，E．
S三角形ABC＝S长方形OECD－S三角形AEC－S三角形ABO－S三角形BCD＝3×42×41×22×3＝12－4－1－3＝4．
图2
（2）设点P的坐标为（，0），则BP＝|x－2|．
因为三角形ABP与三角形ABC的面积相等，所以1×|－2|＝4．解得x＝10或x＝－6．
所以点P的坐标为（10，0）或（－6，0）．
20．解：（1）因为点P（3a－15，2－a），其到x轴的距离为1，所以|2－a|=1．
解得a=1或a=3．
（2）当a=1时，点P的坐标为（－12，1），此时点Q的坐标为（－12，4）；当a=3时，点P的坐标为（－6，－1），此时点Q的坐标为（－6，2）．所以点Q的坐标为（－12，4）或（－6，2）．
（3）因为点P（3a－15，2－a）位于第三象限，所以解得2＜a＜5．
因为点P的横、纵坐标都是整数，所以a=3或a=4．
当a=3时，点P的坐标为（－6，－1）；当a=4时，点P的坐标为（－3，－2）．
综上，点P的坐标为（－6，－1）或（－3，－2）．
六、21．解：（1）因为A（－3，0），B（1，0），所以AB=4．
因为C为y轴正半轴上一点，且三角形ABC的面积为6，所以AB·OC=×4×yC=6，解得yC=3．
所以C（0，3）．
（2）存在满足题意的点P．理由如下：
因为点P（2t，t），三角形PAB的面积为三角形ABC面积的，所以×4×|t|=×6，解得t=±1．
当t=1时，2t=2；当t=－1时，2t=－2．所以满足题意的点P的坐标为（2，1）或（－2，－1）．
七、22．解：（1）4 6 （4，6）
（2）当点P移动4秒时，移动的路程为2×4=8．因为OA=4，OC=6，所以点P在BC边上，离点C的距离是8－6=2，即点P在BC的中点位置．所以点P的坐标是（2，6）．
（3）当点P在OC边上时，点P移动的时间是5÷2=2.5（秒）；
当点P在BA边上时，点P移动的时间是（6+4+6－5）÷2=5.5（秒）．
所以在移动过程中，当点P到x轴的距离为5个单位时，点P移动的时间是2.5秒或5.5秒．
八、23．解：（1）（－4，4）
（2）因为点A（1，－1），B（5，－1），以为边在直线AB的下方作正方形ABCD，所以，所以点C的坐标为（5，－5），点D的坐标为（1，－5）．
因为点E（－4，1），F（－2，2），G（－1，0）关于点M（a，4）的关联点分别是点E1，F1，G1，所以E1（－4+a，－3），F1（－2+a，－2），G1（－1+a，－4）．
因为三角形E1F1G1与正方形ABCD有公共点，，所以或
解得或．
（3）因为点P（－1，t－1），N（2t，5t）关于点M（3，b）的关联点分别是点P1，N1，所以点P1的坐标为（2，t－1－b），点N1的坐标为（2t+3，5t－b）．
因为点P1在x轴上，所以t－1－b =0，即．
因为三角形O P1N1的面积为3，所以，即．
所以或．所以或．
所以点N1的坐标为（4，3）或（1，－3）．

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