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第14章 全等三角形自我评估
（满分为 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列各组中的两个图形属于全等图形的是（ ）
A B C D
2． 已知△ABC≌△DEF，若∠A=60 ，∠F=85 ，则∠E的度数为（ ）
A． 35 B． 45 C．60 D． 85
3． 如图1，OC平分∠AOB，钟小燕同学在OC上取点P，移动角尺，使PO平分角尺的直角，再分别画出射线PM，PN，易知△OPM ≌△OPN． 这里用到三角形全等的判定方法是（ ）
A． SAS B． SSS C． ASA D． HL
图1 图2 图3
4．在图2的正方形网格中，点均为格点，，点在同一直线上，则下列结论不正确的是（ ）
A． B． C． D．
5． 在中，∠C=90 ，是上的一点，且，过作DE⊥AB交AC于点D，连接BD．若AC=4 cm，则的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．8 cm D．10 cm
6．如图4，∠A=∠D，AB=DB，添加下列条件不能判定△ABE≌△DBC的是（ ）
A． ∠ABE=∠DBC B．∠C=∠E C． AE=DC D．BC=BE
7
图4 图5
7． 小丽与爸妈在公园里荡秋千，如图5，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到的水平距离，分别为 1.4 m和1.8 m，．爸爸在C处接住小丽时，小丽距离地面的高度是（ ）
A．1 m B．1.6 m C．1.8 m D．1.4 m
8． 观察图6用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图，能得出∠CPD=∠AOB的依据是（ ）
A．由MN=GH可得∠CPD=∠AOB
B．由SSS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
C．由SAS可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
D．由ASA可得△OGH≌△PMN，进而可证∠CPD∠AOB
图6 图7
9．在△ABC中，∠B=∠C=50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　）
A B C D
10．如图7，在长方形ABCD中，AB=8，BC=10，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB 向点B匀速运动，点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC向点C匀速运动，点R从点C出发，以每秒a个单位长度的速度沿CD向点D运动，连接PQ，RQ．三点同时开始运动，当某一点运动到终点时，其他点也停止运动，若在某一时刻，△PBQ与△QCR全等，则a的值为（ ）
A．2或4 B．2或 C．2或 D．2或
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11． 如图8，△OAD≌△OBC，OA=3，OD=9，则BD的长为 ．

图8 图9 图10
12．如图9，线段AB，CD相交于点O，且AC∥BD，只需补充一个条件 ，即可证得△AOC≌△BOD．
13．【跨学科】图10是凸透镜成像的光路图，线段AB经过透镜CO折射后形成的像为A′B′，AB⊥BB′，A′B′⊥BB′，若BO=B′O，AB=5 cm，则像A′B′的长为 cm．
16．如图11，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6，延长BC到点E，使CE=2，连接DE．昆虫P从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿BC→CD→DA向终点A运动，设它的运动时间为t秒，当t= 时，昆虫P与AB边构成的三角形与△DCE全等．
图11
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图12，在△ABC和△AEF中，AE=AB，AC=AF，∠BAE =∠CAF．求证：△ABC≌△AEF．
图12
16．如图13，在线段BC上有两点E，F，在线段CB的异侧有两点A，D，且满足，AE=DF，，连接AF．
（1）与相等吗？请说明理由．
（2）若，，AF平分时，求的度数．
图 13
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图14，点A，D，C，F在同一直线上，有下列条件：①AB=DE；②BC=EF；③AD=CF；④BC∥EF ．
（1）请从中选择三个作为已知条件，余下一个作为结论，写出一个真命题：
如果_______________，那么_______________．（填序号）
（2）证明（1）中命题的正确性．
图14
18．某建筑公司在扩建厂房时，在一空旷场地上发现一个较大的土丘（如图15），经分析判断很可能是一座王储陵墓，由于条件限制，无法直接测量A，B两点间的距离，请用学过的数学知识，按以下要求设计测量方案．
（1）画出测量方案；
（2）写出测量步骤（测量数据用字母a表示）；
（3）计算A，B两点间的距离（写出求解或推理过程，结果用字母a表示）．
图15
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图16， AD，BE都是△ABC的角平分线，AD与BE相交于点F，GF⊥AD交BC的延长线于点G，交AC于点H，∠GFE=45°，解答下列问题：
（1）求∠ACB的度数；
（2）求证：AF=GF；
（3）若AB=10，AH=5，BC=8，则CD的长为 ．
图16
20．如图17，为了测量一幢6层高楼的高度，在旗杆CD与楼之间选定一点P，测得旗杆顶C的视线PC与地面的夹角∠DPC＝21°，测楼顶A的视线PA与地面的夹角∠APB＝69°，量得点P到楼底的距离PB与旗杆CD的高度都等于12米，量得旗杆与楼之间距离为DB＝30米，求每层楼的高度．
图17
六、（本题满分12分）
21．如图18－①，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E．
（1）求证：①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE．
（2）根据（1）中的结论，探究DE，AD，BE之间的数量关系：
①当直线MN绕点C转动到图18－②的位置时， ；
②当直线MN绕点C转动到图18－③的位置时， ．
（3）在图18－③中，作CG⊥AB，垂足为G，连接DG，EG．若CG=AG，请画出图形，并探究DG与EG之间的数量关系与位置关系．
① ② ③
图18
七、（本题满分12分）
22．（1）如图19－①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，AD，CE相交于点F，求∠EFA的度数；
（2）在（1）的条件下，请判断FE与FD之间的数量关系，并说明理由；
（3）如图19－②，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而（1）中的其他条件不变，试问在（2）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
① ②
图19
八、（本题满分14分）
23．（1）【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图20－①，在△ABC中，若AB＝8，AC＝6，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，请根据小明的思考方法补充完成下面的解题过程：
解：延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE．
因为AD是BC边上的中线，所以 ＝ ．
在△ADC和△EDB中， ＝ ，∠ADC=∠EDB，CD=BD， 所以△ADC≌△EDB ．
所以BE＝AC＝6， ＝2AD．
因为在△ABE中，AB＝8，由三角形的三边关系，得8－6＜AE＜8+6，即2＜2AD＜14．
所以 ＜AD＜ ．
（2）【方法感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑倍长中线构造 三角形，把分散的已知条件和所求的结论集中到同一个三角形中．
（3）【问题解决】将正方形ABCD和正方形AEFG按图20－②所示放置，连接DE，BG，M是DE的中点．求证：BG＝2AM．
① ②
图20
第14章 全等三角形自我评估
一、1．B 2．A 3．C 4．D 5．A 6．D 7．D 8．B 9．D 10．D
二、11．6 12．OA=OB（答案不唯一） 13．5 14．1或7
三、15．证明：因为∠BAE =∠CAF，所以∠BAE +∠CAE= ∠CAF +∠CAE，即∠BAC =∠EAF．
在△ABC和△AEF中，AB＝AE，∠BAC＝∠EAF，AC＝AF，所以△ABC≌△AEF（SAS）．
16．解： ．理由如下：
因为，所以CE+EF=BF+EF，即CF=BE．
在△ABE和△DCF中，AB=DC，AE=DF，BE=CF，所以△ABE≌△DCF（SSS）．所以．
（2）因为△ABE≌△DCF，所以．
所以．
因为平分，所以．
四、17．解：（1）①②③，④（或②③④，①）
（2）因为AD=CF，所以AD+DC=CF+DC，即AC=DF．
在△ABC和△DEF中，AB=DE，BC=EF，AC=DF，所以△ABC≌△DEF（SSS）．
所以∠ACB=∠F，所以BC∥EF．
18．解：（1）如图1所示．
（2）在场地上找到可以直接到达A，B两点的一点O，在AO的延长线上取一点C，并使得OC=OA，在BO的延长线上取一点D，并使得OD=OB，这时测得CD的长为a．
（3）由测量方案，可得OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD，所以△AOB≌△COD（SAS）．
所以AB=CD=a．
图1
五、19．（1）解：因为GF⊥AD，所以∠GFA=90°．
因为∠GFE=45°，所以∠AFE=90°－∠GFE=45°．
因为AD，BE都是△ABC的角平分线，所以∠ABC+∠BAC=2∠ABE+2∠DAB =2∠AFE=90°．
所以∠ACB=180°－（∠ABC+∠BAC）=90°．
（2）证明：因为BE是△ABC的角平分线，所以∠GBF=∠ABF．
因为∠GFE=∠AFE=45°，所以180°－∠GFE=180°－∠AFE，即∠GFB=∠AFB．
在△FAB和△FGB中，∠ABF=∠GBF，BF=BF，∠AFB=∠GFB，所以△FAB≌△FGB（ASA）．
所以AF=GF．
（3）3
20．解：由题意，得CD⊥DB，AB⊥DB，所以∠CDP＝∠ABP＝90°．
因为∠APB＝69°，所以∠PAB＝90°－∠APB＝21°．
因为∠CPD＝21°，所以∠PAB＝∠CPD．
在△BAP和△DPC中，，所以△BAP≌△DPC（AAS）．
所以AB＝PD．
因为BD＝30米，BP＝12米，所以AB＝PD＝BD－BP＝18（米）．
所以每层楼的高度为＝3（米）．
六、21．证明：（1）①因为AD⊥MN，BE⊥MN，所以∠ADC=∠CEB=90 ．所以∠DAC+∠DCA=90 ．
因为∠ACB＝，所以∠ECB+∠DCA=90 ．所以∠DAC=∠ECB．
在△ADC和△CEB中，∠ADC=∠CEB，∠DAC=∠ECB，AC=CB，所以△ADC≌△CEB（AAS）．
②因为△ADC≌△CEB，所以CD=BE，AD=CE．
所以DE＝CE+CD=AD+BE．
（2）解：① AD = BE+DE ② BE=AD+DE
（3）解：DG=EG且DG⊥EG．理由如下：
如图2，同（1）可证△ADC≌△CEB．所以AD=CE．
设AG与CD相交于点O．因为AD⊥MN，CG⊥AB，所以∠DAG+∠DOA=∠ECG+∠GOC= 90 ．
因为∠DOA=∠GOC，所以∠DAG=∠ECG．
在△ADG和△CEG中，AD=CE，∠DAG=∠ECG，AG=CG，所以△ADG≌△CEG（SAS）．
所以DG=EG，∠AGD=∠CGE．
因为∠CGE+∠AGE= 90 ，所以∠AGD+∠AGE= 90 ，即∠DGE= 90 ．
所以DG⊥EG．
图2
七、解：（1）因为∠ACB＝90°，∠B＝60°，所以∠BAC＝30°．
因为AD，CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，所以∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ECA＝∠ACB＝45°．
所以∠EFA＝∠FAC+∠FCA＝15°+45°＝60°．
（2）FE＝FD．理由如下：
如图3－①，在AC上截取AG＝AE，连接FG．
因为AD是∠BAC的平分线，所以∠EAF＝∠GAF．
在△EAF和△GAF中，因为所以△EAF≌△GAF（SAS）．
所以FE＝FG，∠EFA＝∠GFA＝60°．
所以∠GFC＝180°－60°－60°＝60°．
又因为∠DFC＝∠EFA＝60°，所以∠DFC＝∠GFC．
因为CE是∠ACB的平分线，所以∠ACE＝∠BCE．
在△FDC和△FGC中，因为所以△FDC≌△FGC（ASA）．
所以FD＝FG．所以FE＝FD．
① ②
图3
（3）（2）中的结论FE＝FD仍然成立．
如图3－②，在AC上截取AH＝AE，连接FH．同（2）可得△EAF≌△HAF，所以FE＝FH，∠EFA＝∠HFA．
又因为AD，CE分别是∠BAC和∠ACB的平分线，所以∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠ACB．所以∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°－∠B）＝60°．所以∠EFA＝∠FAC+∠FCA＝60°．
所以∠AFC＝180°－（∠FAC+∠FCA）＝120°．
所以∠EFA＝∠HFA＝60°．所以∠DFC＝∠HFC＝60°．
同（2）可得△FDC≌△FHC，所以FD＝FH．所以FE＝FD．
八、23．（1）解：依次填：BD，CD，AD，ED，AE，1，7．
（2）解：全等
（3）证明：如图4，延长AM到点H，使MH＝AM，即AH＝2AM，连接DH．
因为M是DE的中点，所以 DM＝EM．
在△AEM和△HDM中，AM=HM，∠AME=∠HMD，EM=DM，所以△AEM≌△HDM（SAS）．所以∠MAE＝∠H，AE＝HD．所以AE∥DH．所以∠DAE+∠ADH＝180°．
因为四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，所以∠BAD＝∠GAE＝90°，AB＝AD，AE＝AG＝HD．
因为∠BAD+∠GAE +∠BAG+∠DAE＝360°，所以∠BAG+∠DAE＝180°．所以∠BAG＝∠ADH．
在△BAG和△ADH中，AB=DA，∠BAG=∠ADH，AG=DH，所以△BAG≌△ADH（SAS）．
所以BG＝AH＝2AM．
图4
8

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