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第15章 轴对称图形与等腰三角形自我评估
（满分为150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）
1．下列图形选自历届在中国举办的世界园艺博览会会徽，其中是轴对称图形的是（　　）
A B C D
2．点M（，1）关于轴对称的点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
3．如图1，若与关于直线对称，交于点，下列说法不一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
图1 图2
4．如图2，在△ABC中，DE垂直平分AC，交AB于点E，连接EC．若BC＝12 cm，AB＝18 cm，则△EBC的周长为（ ）
A．24 cm B．28 cm C．30 cm D．36 cm
5．已知一个等腰三角形的两边长分别为5 cm和9 cm，则它的周长为（ ）
A．18 cm B．19 cm C．23 cm D．19 cm或23 cm
6．如图3，△ABC的三边AC，BC，AB的长分别是8，12，16，O是△ABC三条角平分线的交点，则S△OAB∶S△OBC∶S△OAC的值为（ ）
A．4∶3∶2 B．1∶2∶3 C．2∶3∶4 D．3∶4∶5
图3 图4
7．如图4，在中，，，，在直线上取一点，使得为等腰三角形，则符合条件的点共有（ ）
A．个 B．个 C．个 D．个
8．如图5，在等边三角形ABC中，BD是中线，延长BC至点E，使CE=CD，则下列结论错误的是（ ）
A．∠E=30° B．∠BDE=120° C．DE=BD D．DE=AB
图5 图6
9．如图6，在第1个中，，且；在边上任取一点D，延长到点，使，得到第2个；在边上任取一点E，延长到点，使，得到第3个，…，按此作法继续下去，则第n个三角形中以为顶点的内角度数是（ ）
A． B． C． D．
10．如图7，在中，，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，有如下结论：①AO⊥BC；②；③△OEF是等边三角形；④△OEF≌△CEF；⑤．其中一定正确的结论有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
图7
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）
11．若一个等腰三角形的顶角为70°，则该等腰三角形底角的度数为 ．
图8是的正方形网格，其中已有个小方格被涂成了黑色．现在要从其余个白色小方格中选出一个也涂成黑色，使整个涂成黑色的图形成为轴对称图形，则可以选择的白色小方格有 个．
图8 图9 图10
13．如图9，在△ABC中，，，分别是和的平分线，且，，则的周长是 ．
14．如图10，在△ABC中，，，，，将△ABC沿射线折叠，使点A与边上的点重合．
（1）线段的长是 ；
（2）若是射线上一动点，则△CDE周长的最小值是 ．
三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
15．如图11，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上一点，过点D作DE⊥AB，垂足为E．若∠A=56°，求∠BDE的度数．
图11
16．如图12，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移6个单位，画出平移后的△A2B2C2；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称 若是，请在图上画出这条直线．
图12
四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）
17．如图13，点D，E在等边三角形外，，，垂足为，垂足为B．求与的度数之和．
图13
18．如图14，在中，，，，，是的平分线，若，分别是和上的动点，求的最小值．
图14
五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）
19．如图15，在△ABC中，AB=AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA交于点F．若∠F=30°，EC=3，BD=4，求AC的长．
图15
20．将一副直角三角板按图16所示摆放，等腰直角三角板ABC的斜边BC与含30°角的直角三角板DBE的直角边BD长度相同，且斜边BC与BE在同一直线上，AC与BD交于点O，连接CD．求证：△CDO是等腰三角形．
图16
六、（本题满分12分）
21．【问题情景】数学探究课上，老师带来了一张三角形纸片，如图17－①，其中AB=AC=5，BC=6，然后沿着底边上的中线AD剪开，得到△ADB与△EFC纸片，如图17－②，其中点A与点E对应，点D与点F对应，然后让同学们利用△ADB与△EFC纸片摆出自己喜欢的图形，并提出数学问题．数学课代表小明很快用△ADB与△EFC纸片摆出如图17－③的图形，点B与点C重合，延长EF交AD于点G，请求出BF的长.
① ② ③ ④
图17
【数学思考】（1）请直接写出图17－②中BF的长为_____________；
【深入探究】（2）善于思考的小红，在小明摆出的图形里，将△EFC绕点B逆时针方向旋转，使点落在△ADB内部，并提出问题：如图17－④，当时，过点A作AM⊥BF交BF的延长线于点M，BM与AD交于点N，试猜想线段AM和BF的数量关系，并说明理由．
七、（本题满分12分）
22．图18是风筝的结构示意图，D是等边三角形ABC外部的一点，且AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．
（1）求证：BD垂直平分线段AC；
（2）若BC＝10，CF＝4，求DE的长．
图18
八、（本题满分14分）
23．【概念学习】规定①：如果一个三角形的三个角分别等于另一个三角形的三个角，那么称这两个三角形互为“形似三角形”．
规定②：从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原来三角形互为“形似三角形”，我们把这条线段叫做这个三角形的等腰分割线．
（1）【概念理解】如图19－①，在中，，，平分， 则与　　 （填“互为”或“不互为”）“形似三角形”．
（2）如图19－②，在中，平分，，．求证：为的等腰分割线；
（3）【概念应用】在中，，是的等腰分割线，直接写出的度数．
① ②
图19
第15章 轴对称图形与等腰三角形自我评估
一、1．D 2．B 3．B 4．C 5．D 6．A 7．D 8．D 9．A 10．B
二、11．55° 12．4 13．5 14．（1）8 （2）24
三、15．解：因为AB=AC，所以∠B=∠C．
因为∠A=56°，所以∠B=∠C=（180°－∠A）=62°．
因为DE⊥AB，所以∠BDE=90°－∠B=28°．
16．解：（1）如图1，△A1B1C1即为所求作．
（2）如图1，△A2B2C2即为所求作．
（3）△A1B1C1和△A2B2C2关于直线x=3对称，所画直线如图1所示．
图1
四、17．解：因为是等边三角形，所以°．
因为，所以和都是直角三角形，且°．
在和中，AD=CE，AB=CA，所以．所以．
所以∠°°＝°．
18．解：如图2，在上截取，连接，．
因为是的平分线，所以．
在和中，．
点和点关于对称，连接，与交于点，连接，此时．因为是动点，所以也是动点，当与垂直时，最小，即的值最小．
由面积法可得．
图2
五、19．解：因为AB=AC，所以∠B=∠C．
因为FE⊥BC，所以∠F+∠C=90°，∠BDE+∠B=90°．所以∠F=∠BDE．
因为∠BDE=∠FDA，所以∠F=∠FDA．所以AF=AD．
因为∠F=30°，DE⊥BC，EC=3，所以CF=2EC=6．
设AF=x，则AD=x．因为AB=AC，BD=4，所以CF－AF=BD+AD，即6－x=4+x，解得x=1．
所以AF=1．所以AC=CF－AF=6－1=5．
20．证明：因为∠DBC=30°，BC=BD，所以∠BCD=∠BDC=×（180°－30°）=75°．
因为∠ACB=45°，所以∠DOC=∠OBC+∠OCB=30°+45°=75°．
所以∠DOC=∠ODC．所以CO=CD．
所以△CDO是等腰三角形.
六、21．解：（1）3
（2）BF=AM．理由如下：
根据题意可知，，．
因为AM⊥BF，所以．
在△ADB和△BMA中，，∠BAD=∠ABM，AB=BA，所以△ADB≌△BMA（AAS）．所以BD=AM．
因为，所以CF=AM．因为点B与点C重合，所以BF=AM．
七、22.（1）证明：因为三角形ABC是等边三角形，所以BA＝BC．
又因为AD＝CD，所以BD垂直平分线段AC.
（2）解：因为三角形ABC是等边三角形，所以∠ABC＝∠ACB＝∠BAC＝60°．
因为BD垂直平分线段AC，所以∠CBD＝30°．
因为DE∥AB，所以∠FEC＝∠ABC＝60°．
所以△CEF是等边三角形．所以CE＝CF＝4．所以BE＝BC－CE＝10－4=6．
因为∠EDB＝∠FEC－∠CBD＝60°－30°=30°，所以∠EDB＝∠EBD．
所以DE＝BE＝6．
八、23．（1）互为
（2）证明：因为，，所以．
因为平分，所以．所以．所以CD=BD．所以是等腰三角形．
因为是的一个外角，所以．
又，，，所以为的等腰分割线．
（3）解：（Ⅰ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时：
①如图3，当时，则，所以．
此时是“形似三角形”，可知，所以．
②如图4，当时，则．
此时是“形似三角形”，可知，所以．
③当时，这种情况不存在．
（Ⅱ）当是等腰三角形，另一个三角形与原三角形是“形似三角形”时：
①如图5，当时，
此时是“形似三角形”，可知，所以，
所以．
因为，所以，解得．所以．
②如图6，当时，．
此时是“形似三角形”，可知．
所以．
在中，由三角形内角和可知，得，所以．所以．
③当时，这种情况不存在．
综上所述，或或．

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