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高三年级十月调研考试
数 学
考生注意：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷与答题卡一并收回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．命题“”的否定为
A． B．
C． D．
2．已知集合，则
A． B．
C． D．
3．国家射击运动员在某次训练中的8次射击成绩（单位：环）分别为10，7，8，10，x，10，8，6，其中为整数，若这8次射击成绩的中位数为9，则
A．6 B．7 C．9 D．10
4．已知向量，，若，则的值为
A． B． C． D．
5．函数的大致图象是
A． B．
C． D．
6．已知正四棱锥的侧面积是底面积的2倍，则该正四棱锥侧棱和底面所成角的余弦值为
A． B． C． D．
7．在△ABC中，内角的对边分别为，且，则
A． B． C． D．
8．已知双曲线，过点有且仅有一条直线与双曲线的右支相切，则双曲线的离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．若复数，在复平面内对应的点为，则
A． B．
C．的虚部为2 D．点在直线上
10．已知是递增的等比数列，其前项和为，若，则
A． B．
C． D．是等比数列
11．已知函数是定义在区间上的连续函数，若，使得，，都有，则称函数是区间上的“类函数”．下列说法正确的有
A．函数 是区间 上的 “ 3 类函数”
B．函数 是区间 上的 “ 2 类函数”
C．若函数是区间上的“类函数”，则方程在区间上至多只有一个解
D．若函数是区间上的“ 2类函数”，且，则存在满足条件的函数 ，使得
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．二项式展开式中的第4项为 .
13．如图，已知点P是反比例函数图象上一动点，点，则的面积的最小值为 .
14．在平面四边形中，，△ABC是边长为6的正三角形．将该四边形沿对角线折成一个大小为，的二面角，则四面体的外接球半径的取值范围为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（13分）
某校在2025年开展了两次劳动基地除草耕地活动，首次活动有800名学生参加．活动结束后，经评估发现有70%的学生的劳动技能得到了提升．为进一步增强劳动教育效果，学校汲取首次活动的经验并进行改进，第二次活动面向未参加第一次活动的学生开展．不仅增加了辨别杂草种类、合理使用农具等具有挑战性的任务，还特邀农业专家进行现场指导．已知第二次活动吸引了1200名学生参加，且活动结束后，有960名学生的劳动技能得到了提升．
(Ⅰ)补充完整下面的列联表；
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动
第二次活动
合计
(Ⅱ)依据小概率值的独立性检验，能否认为该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关？
(Ⅲ)从参加第二次除草耕地活动的学生中按照劳动技能是否提升进行分层，用分层随机抽样的方法抽取20名学生进行意见调查，再从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，求其中恰好有2名学生的劳动技能提升的概率．
0.10 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
附：，．
16.（15分）
如图，在三棱锥中，，为的中点，，且平面平面．
(Ⅰ)证明：平面平面；
(Ⅱ)求平面PAC与平面PCD的夹角的余弦值．
17.（15分）
已知为双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，过的直线交的右支于两点，且．
(Ⅰ)求的方程；
(Ⅱ)点A关于x轴对称点为D（异于点B），直线交x轴于点，记，的面积分别为，求的值．
18.（17分）
在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，且，．
(Ⅰ)求角B；
(Ⅱ)若，求边AC上的角平分线BD长．
(Ⅲ)若△ABC为锐角三角形，求边上的中线BE的取值范围．
19.（17分）
在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里的一个非常重要的定理， 它是众多不动点定理的基础．具体来说就是：对于满足定义域为的连续函数，若存在，使得成立，则称为函数的不动点．已知且，函数 .
(Ⅰ)若(为自然常数)，证明：函数只有唯一不动点；
(Ⅱ)设函数（），且．若函数有且仅有 2 个不动点，求实数的取值范围．
数学试题 第7页（共4页） 数学试题 第8页（共4页）高三年级十月调研考试
数学·答案
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
答案 C
答案 D
解析 解不等式可得，也即，可得，
所以．
3．答案 D
解析 将成绩（除了）从小到大排列为：6，7，8，8，10，10，10，结合选项，只有时，这8次射击成绩的中位数．
4．答案 C
解析 已知向量，，若，则，即，所以的值为．
5．答案 B
解析 由函数，可得其定义域为，关于原点对称，又，
所以函数为奇函数，图象关于原点对称，可得排除A、D项；当时，可得，所以，此时；当时，可得，所以，此时，所以选项B符合函数的图象的形状．
6．答案 D
解析 如图，正四棱锥中，是底面中心，是中点，则是棱锥的高，是斜高，是侧棱与底面所成的角，设底面边长为，，由已知，则，又，所以，而，所以，．
7．答案 A
解析 由余弦定理化简可得，即，由正弦定理可得，即，
由题意，且，故，所以．
8．答案 A
解析 依题意双曲线的渐近线方程为，若过点有且仅有一条直线与双曲线的右支相切，则点在图中阴影部分区域或在双曲线的右支上，如下图所示：
当点在双曲线的右支上时，，解得；此时双曲线的离心率为；当点在图中阴影部分区域时，需满足，解得，此时双曲线的离心率为，综上可得双曲线的离心率的取值范围为
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．
9．答案 ACD
解析 ，，故A正确；
，故B错误；
的虚部为2，故C正确；
点坐标代入直线成立，故D正确.
10．答案 ACD
解析 设的公比为，则由递增，得，因为，所以，
解得或（舍去），
对于A，，故A正确；
对于B，，，故B错误；
对于C，，，故C正确；
对于D，，，又，所以是首项为3，公比为的等比数列，故D正确．
11．答案 ABC
解析 对于选项A，，，，所以选项A正确；
对于选项B，“函数是区间上的‘2类函数’”等价于“，，恒成立”，不妨设，即等价于“在上恒成立”，即“”和“，对，，且恒成立”，所以等价于“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”，令，，又因为时，，，所以“函数在上单调递减”且“函数在上单调递增”，即“函数是区间上的‘2类函数’”成立，所以选项B正确；
对于选项C，若方程在区间上有两个及以上的解，不妨设其中两个不同的解为，则，所以，所以，与若函数是区间上的“k类函数”矛盾，所以选项C正确；
对于选项D，不妨设，且，若，则；若，则，所以，恒成立，所以选项D错误
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．答案
解析 二项式展开式的通项公式为，，所以展开式的第4项为．
13．答案 7
解析 如图：
过点作轴的垂线，垂足为，过作轴的垂线，垂足为.结合题意可设点，则，. 所以，，.
所以，当且仅当即时取等号.
14．答案
解析 取中点，由，则点为△ACD外心，连接BE，取线段BE上靠近点的三等分点，由△ABC是正三角形，则点为△ABC外心，令四面体的外接球球心为，连接、，则有平面、平面，又平面、平面，故、，由二面角的大小为，则，，则，，由，则，则，故，即，即四面体的外接球半径的取值范围为
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
解析 (Ⅰ)首次活动劳动技能提升的学生人数70%人；
首次活动劳动技能未提升的学生人数人；
第二次活动劳动技能提升的学生人数为人；
第二次活动劳动技能未提升的学生人数人，
劳动技能提升的学生人数 劳动技能未提升的学生人数 合计
首次活动 560 240 800
第二次活动 960 240 1200
合计 1520 480 2000
(Ⅱ)零假设为 该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进无关，
，
根据小概率值的独立性检验，推断不成立，
即该校第二次除草耕地活动中学生的劳动技能提升与活动改进有关，该推断犯错误的概率不超过．
(Ⅲ)抽取的名学生中劳动技能得到提升的人数为人，
抽取的名学生中劳动技能未得到提升的人数为人，
记从这20名学生中随机抽取3名进行深度访谈，其中恰好有2名学生的劳动技能提升为事件，则.
解析 (Ⅰ)已知，，为的中点.所以，且，.
可知为等腰直角三角形.
由勾股定理，且，可得，所以.
因为平面平面，且为交线，平面，根据面面垂直的性质定理，
所以平面.由于平面，所以.
已知，，则，，所以.
根据勾股定理的逆定理可得，即.
因为，，，平面，平面，
根据线面垂直的判定定理,所以平面.
又因为平面，根据面面垂直的判定定理,所以平面平面.
(Ⅱ)建立空间直角坐标系并求出相关点的坐标：
设为的中点，连接，因为，所以，又平面平面，平面平面，平面，根据面面垂直的性质定理可得平面.
连接，因为为中点，为中点，所以，
又，所以，且平面.
以、、方向建立空间直角坐标系.
已知，，则，，.
所以，，，，进而可得，，.
设平面的法向量为，由可得，即.
令，则，，所以.
同理，设平面的法向量为，由可得，即.
令，则，所以.
设平面与平面的夹角为，根据向量的夹角公式.
求出，，.
所以.
则平面与平面的夹角的余弦值为.
解析 (Ⅰ)因为，根据双曲线的定义可得.
又双曲线过点，所以.
所以双曲线的方程为：.
(Ⅱ)如图：
因为，所以，.
因为、关于轴对称，且与不同，所以直线必存在斜率,
可设直线：，代入得：，整理得：.
设，，则，因为均在双曲线右支，由韦达定理可得
，，所以.
直线方程为：，
令得
.
所以为定点，坐标为.
所以.
解析 (Ⅰ)由可得，
因为，所以，
由，得，又，则
(Ⅱ)如图：
由余弦定理，，因为，，
所以，又，所以.
由，得，
整理得：．
(Ⅲ)因为是边上的中线，则，
两边取平方，，
由(Ⅱ)已得，代入可得，
由正弦定理，，则，
所以，
因为△ABC为锐角三角形，则有，解得，则，
由正弦函数的图象性质，可得，故得，从而，
故边上的中线的取值范围为.
解析 (Ⅰ)当时，，令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
即当时，；当时，恒成立，所以函数只有唯一不动点．
(Ⅱ)根据题意：（），而，
令，则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
且，如图所示，因为函数有且仅有2个不动点，
所以方程有且仅有2个大于的不同根，也即函数的图象与的图象有两个不同的交点，
所以或，
而，，
令，显然函数单调递增，所以，
令（，且），则，
显然当时，，函数单调递减，
而，，，所以实数的取值范围是．

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