资源简介

4.2　简单幂函数的图象和性质
1.下列函数为幂函数的是（　　）
A.y＝2x4　 B.y＝2x3－1
C.y＝　 D.y＝x2
2.若f（x）＝，则函数f（4x－3）的定义域为（　　）
A.R　 B.（－∞，）
C.［，＋∞）　 D.（，＋∞）
3.函数f（x）＝xa＋b，不论a为何值，f（x）的图象均过点（m，0），则实数b的值为（　　）
A.－1　 B.1
C.2　 D.3
4.如图所示，曲线C1和C2分别是函数y＝xm和y＝xn在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（　　）
A.n＜m＜0　 B.m＜n＜0
C.n＞m＞0　 D.m＞n＞0
5.（多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数y＝xα的值域为R，且为奇函数的所有α的值为（　　）
A.1　 B.－1
C.3　 D.2
6.（多选）已知幂函数f（x）的图象经过点（27，），则幂函数f（x）具有的性质是（　　）
A.在其定义域上为增函数
B.在（0，＋∞）上单调递减
C.奇函数
D.定义域为R
7.幂函数y＝的定义域为　　　　；其是　　　函数（填“奇”或“偶”）.
8.已知幂函数f（x）＝xα的部分对应值如表：
x 1
f（x） 1
则f（x）的单调递增区间是　　　　.
9.若幂函数y＝（m2－2m－2）x－4m－2在（0，＋∞）上单调递减，则实数m的值是　　　　.
10.已知幂函数f（x）＝xm－3（m∈N＋）的图象关于y轴对称，且在（0，＋∞）上单调递减，求满足（a＋1＜（3－2a的实数a的取值范围.
11.已知当x∈[0，1]时，函数y＝（mx－1）2的图象与y＝＋m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是（　　）
A.（0，1]∪[2，＋∞）
B.（0，1]∪[3，＋∞）
C.（0，]∪[2，＋∞）
D.（0，]∪[3，＋∞）
12.（多选）已知幂函数f（x）＝（m，n∈N＋，m，n互质），下列关于f（x）的结论正确的是（　　）
A.m，n是奇数时，f（x）是奇函数
B.m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数
C.m是奇数，n是偶数时，f（x）是偶函数
D.0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递减
13.有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根据加密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为y＝xα（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到密文“3”，则解密后得到的明文是　　　　.
14.已知幂函数f（x）＝（m2－5m＋7）xm－1为偶函数.
（1）求f（x）的解析式；
（2）若g（x）＝f（x）－ax－3在[1，3]上不是单调函数，求实数a的取值范围.
15.已知幂函数f（x）的图象经过点（9，3），则函数f（x）＝　　　　，若f（a）f（b）＝3，则实数a＋2b的最小值是　　　　.
16.已知幂函数f（x）＝（m∈N＋）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；
（2）若函数f（x）的图象经过点（2，），试确定m的值，并求满足f（2－a）＞f（a－1）的实数a的取值范围.
4.2　简单幂函数的图象和性质
1.D　结合幂函数的特征可知D正确.故选D.
2.D　易知f（x）＝的定义域为（0，＋∞），则4x－3∈（0，＋∞），即x∈（，＋∞），故选D.
3.A　∵幂函数y＝xa过定点（1，1），∴f（x）＝xa＋b过定点（1，1＋b），结合已知条件可知1＋b＝0，则b＝－1.
4.A　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故m＜0，n＜0.由幂函数图象的特点知n＜m，故n＜m＜0.
5.AC　当α＝－1时，y＝x－1＝，为奇函数，但值域为{y｜y≠0}，不满足条件.当α＝1时，y＝x为奇函数，值域为R，满足条件.当α＝2时，y＝x2为偶函数，值域为{y｜y≥0}，不满足条件.当α＝3时，y＝x3为奇函数，值域为R，满足条件.故选A、C.
6.BC　设幂函数f（x）＝xα，∵幂函数图象过点（27，），∴27α＝，∴α＝－，∴f（x）＝＝（x≠0） ，∴f（x）定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），满足f（－x）＝－f（x），是奇函数，值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定义域内不单调，在（0，＋∞）上单调递减.故选B、C.
7.（－∞，＋∞）　偶　解析：因为y＝＝，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），且为偶函数.
8.[0，＋∞）　解析：因为f（）＝，所以（）α＝，即α＝，所以f（x）＝的单调递增区间是[0，＋∞）.
9.3　解析：由题意可知m2－2m－2＝1，得m＝3或m＝－1.当m＝3时，－4m－2＝－14，幂函数y＝x－14在（0，＋∞）上单调递减，满足题意；当m＝－1时，－4m－2＝2，幂函数y＝x2在（0，＋∞）上单调递增，不满足题意，所以m＝－1舍去.故m＝3.
10.解：因为函数f（x）在（0，＋∞）上单调递减，
所以m－3＜0，解得m＜3.
又m∈N＋，所以m＝1，2.
又函数f（x）的图象关于y轴对称，所以m－3为偶数，所以m＝1.
因为函数y＝在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，且当x＞0时，＞0，当x＜0时，＜0，
所以由（a＋1＜（3－2a，得a＋1＞3－2a＞0或0＞a＋1＞3－2a或a＋1＜0＜3－2a，解得a＜－1或＜a＜，
所以实数a的取值范围是（－∞，－1）∪（，）.
11.B　当0＜m≤1时，≥1，y＝（mx－1）2在[0，1]上单调递减，值域为[（m－1）2，1]；y＝＋m在[0，1]上单调递增，值域为[m，1＋m]，此时两个函数图象有且仅有一个交点.当m＞1时，0＜＜1，y＝（mx－1）2在［，1］上单调递增，所以要与y＝＋m的图象有且仅有一个交点，需（m－1）2≥1＋m，即m≥3.综上所述，0＜m≤1或m≥3.故选B.
12.AB　f（x）＝＝，当m，n是奇数时，f（x）是奇函数，故A中的结论正确；当m是偶数，n是奇数时，f（x）是偶函数，故B中的结论正确；当m是奇数，n是偶数时，f（x）在x＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜＜1时，f（x）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B.
13.9　解析：由题目可知加密密钥y＝xα（α是常数）是一个幂函数，所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得2＝4α，解得α＝，则y＝.由＝3，得x＝9.
14.解：（1）由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3，
又f（x）为偶函数，则m＝3，
所以f（x）＝x2.
（2）g（x）＝x2－ax－3＝（x－）2－3－在[1，3]上不单调，
则对称轴x＝满足1＜＜3.
即2＜a＜6.
所以实数a的取值范围为（2，6）.
15.　6　解析：设幂函数f（x）＝xα，因为函数f（x）的图象过点（9，3），所以f（9）＝9α＝3，解得α＝，所以f（x）＝.又f（a）f（b）＝3，所以＝3且a＞0，b＞0，即ab＝9，所以a＋2b≥2＝6，当且仅当a＝2b，即a＝3，b＝时取等号，所以a＋2b的最小值是6.
16.解：（1）∵m∈N＋，∴m2＋m＝m（m＋1）为偶数.
令m2＋m＝2k，k∈N＋，则f（x）＝，
∴f（x）的定义域为[0，＋∞），且f（x）在[0，＋∞）上是增函数.
（2）由题意可得＝＝，∴m2＋m＝2，解得m＝1或m＝－2（舍去），
∴f（x）＝，
由（1）知f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
∴f（2－a）＞f（a－1）等价于2－a＞a－1≥0，解得1≤a＜，故实数a的取值范围为［1，）.
2 / 24.2　简单幂函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数，会求幂函数的解析式 数学抽象、直观想象、 逻辑推理
　　我们以前学过函数y＝x，y＝x2，y＝.
【问题】　（1）这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
（2）你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析式改写成统一的形式吗？
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
知识点一　幂函数的概念
一般地，形如　　　　（α为常数）的函数，即底数是自变量、指数是常数的函数称为幂函数.
提醒　幂函数的特征：①xα的系数为1；②xα的底数是自变量x，指数α为常数；③项数只有一项.
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1.五个常见幂函数的图象
2.五个常见幂函数的性质
解析式 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝ y＝
图象
定义域 　　 　　 　　 　　 　　
值域 　　 　　 　　 　　 　　
奇偶性 　 函数 　　函数 　 函数 　 函数 　 函数
单调性 在（－∞，＋∞）上单调 在（－∞，0]上单调　　，在（0，＋∞）上单调 在（－∞，＋∞）上单调　 在（－∞， 0）上单调　　，在（0，＋∞）上单调　　 在[0，＋∞）上单调
公共点 都经过点　　
1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）幂函数的图象必过点（1，1）.（　　）
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限.（　　）
（3）当幂指数α取1，3，时，幂函数y＝xα是增函数.（　　）
（4）若幂函数y＝xα的图象关于原点对称，则y＝xα在定义域内y随x的增大而增大.（　　）
2.若幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），则f（3）＝（　　）
A.　　　　　　　　 B.
C.3　　 D.9
3.已知f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，则m＝　　　　.
题型一 幂函数的概念
【例1】　（1）在函数y＝x－2，y＝（x＋1）2，y＝3x中，幂函数的个数为（　　）
A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3
（2）若f（x）＝（m2－4m－4）xm是幂函数，则m＝　　　　.
尝试解答
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y＝xα（α为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中是幂函数的是（　　）
A.y＝　　B.y＝2x2
C.y＝2x＋1　　D.y＝
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】　点（，2）与点（－2，－）分别在幂函数f（x），g（x）的图象上，问当x为何值时，有：
（1）f（x）＞g（x）；（2）f（x）＝g（x）；（3）f（x）＜g（x）.
尝试解答
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，指数越大，幂函数图象越靠近x轴（简记为指大图低）；在（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离x轴（简记为指大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于y＝x－1或y＝或y＝x3）来判断.
【跟踪训练】
如图是幂函数y＝xn的部分图象，已知n取，2，－2，－这四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为（　　）
A.2，，－，－2　　B.－2，－，，2
C.－，－2，2，　　D.2，，－2，－
题型三 幂函数的性质及应用
角度1　比较幂值的大小
【例3】　比较下列各组数的大小：
（1）和3.；
（2）－和－（.
尝试解答
通性通法
比较幂值大小的2种方法
角度2　解简单不等式
【例4】　若幂函数f（x）过点（2，8），则满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是　　　　.
尝试解答
通性通法
利用幂函数的性质解不等式的步骤
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪训练】
已知幂函数y＝（m2＋m－5），当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小，则实数m的值为　　　　.
1.在函数y＝x－4，y＝3x2，y＝x2＋2x，y＝1中，幂函数的个数为（　　）
A.0　　　　　　　　　 B.1
C.2　　 D.3
2.下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是（　　）
A.y＝x－2　　 B.y＝x－1
C.y＝x2　　 D.y＝
3.若a＝（－1.2，b＝1.，c＝0.，它们的大小关系是（　　）
A.c＜a＜b　　 B.a＜c＜b
C.b＜a＜c　　 D.c＜b＜a
4.函数y＝x－3在区间[－4，－2]上的最小值是　　　　.
4.2　简单幂函数的图象和性质
【基础知识·重落实】
知识点一
　y＝xα　
知识点二
2.R　R　R　{x｜x≠0}　[0，＋∞）　R　[0，＋∞）　R　{y｜y≠0}　[0，＋∞）　奇　偶　奇　奇　非奇非偶　递增　递减　递增　递增　递减　递减　递增　（1，1）
自我诊断
1.（1）√　（2）×　（3）√　（4）×
2.B　设幂函数y＝f（x）＝xα，其图象经过点（2，），则2α＝，解得α＝.∴f（x）＝＝，∴f（3）＝.故选B.
3.0　解析：∵函数f（x）＝（m＋1）xm＋2是幂函数，∴m＋1＝1，即m＝0.
【典型例题·精研析】
【例1】　（1）B　（2）5或－1　解析：（1）根据幂函数定义可知，只有y＝x－2是幂函数，所以选B.
（2）因为f（x）是幂函数，所以m2－4m－4＝1，即m2－4m－5＝0，解得m＝5或m＝－1.
跟踪训练
　AD　幂函数是形如y＝xα（α为常数）的函数，A是α＝－1的情形，D是α＝－的情形，所以A和D都是幂函数；B中x2的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.
【例2】　解：设f（x）＝xα，g（x）＝xβ.
∵（）α＝2，（－2）β＝－，∴α＝2，β＝－1，
∴f（x）＝x2，g（x）＝x－1.分别作出它们的图象，如图所示.
由图象知，
（1）当x∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时，f（x）＞g（x）；
（2）当x＝1时，f（x）＝g（x）；
（3）当x∈（0，1）时，f（x）＜g（x）.
跟踪训练
　A　法一　曲线C1，C2过点（0，0），（1，1），且在第一象限内单调递增，所以n＞0，n为，2，显然C1对应y＝x2，C2对应y＝.C3，C4过点（1，1），且在第一象限内单调递减，所以n＜0，n为－2，－，显然C3对应y＝，C4对应y＝x－2.
法二　取x＝2，分别代入y1＝x2，y2＝，y3＝，y4＝x－2，可求得y1＝4，y2＝，y3＝，y4＝，比较得y1＞y2＞y3＞y4，则与曲线C1，C2，C3，C4相对应的n依次为2，，－，－2.
【例3】　解：（1）∵函数y＝在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.1，∴＞3..
（2）－＝－（，函数y＝在（0，＋∞）上单调递增.
又＞，∴（＞（，即－＜－（.
【例4】　（2，＋∞）　解析：设幂函数为f（x）＝xα，因为其图象过点（2，8），所以2α＝8，解得α＝3，所以f（x）＝x3.因为f（x）＝x3在R上为增函数，所以由f（a－3）＞f（1－a），得a－3＞1－a，解得a＞2.所以满足不等式f（a－3）＞f（1－a）的实数a的取值范围是（2，＋∞）.
跟踪训练
　2　解析：∵y＝（m2＋m－5）是幂函数，∴m2＋m－5＝1，即（m－2）（m＋3）＝0，∴m＝2或m＝－3.当m＝2时，m2－2m－3＝－3，y＝x－3是幂函数，且满足当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小；当m＝－3时，m2－2m－3＝12，y＝x12是幂函数，但不满足当x∈（0，＋∞）时，y随x的增大而减小，故舍去.∴实数m的值为2.
随堂检测
1.B　函数y＝x－4为幂函数；函数y＝3x2中x2的系数不是1，所以它不是幂函数；函数y＝x2＋2x不是y＝xα（α是常数）的形式，所以它不是幂函数；函数y＝1与y＝x0＝1（x≠0）不相等，所以y＝1不是幂函数.
2.A　所给选项都是幂函数，其中y＝x－2和y＝x2是偶函数，y＝x－1和y＝不是偶函数，故排除选项B、D，又y＝x2在区间（0，＋∞）上单调递增，不合题意，y＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，符合题意.故选A.
3.D　a＝（－1.2＝1.，又＞0，∴y＝在（0，＋∞）上单调递增，∴1.＞1.＞0.，即a＞b＞c.
4.－　解析：因为函数y＝x－3＝在（－∞，0）上单调递减，所以当x＝－2时，ymin＝（－2）－3＝＝－.
拓视野　对勾函数的图象和性质
【例】　解：（1）定义域：∵x≠0，
∴函数f（x）＝x＋的定义域为{x｜x≠0}；
（2）函数f（x）＝x＋的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）；
（3）奇偶性：∵f（－x）＝－x－＝－（x＋）＝－f（x），
∴函数f（x）＝x＋为奇函数；
（4）单调性：由函数f（x）＝x＋的图象可知，
函数f（x）＝x＋在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在（－1，0），（0，1）上单调递减.
迁移应用
　解：（1）定义域：{x｜x≠0}；
（2）值域：R；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）函数f（x）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增.
证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝x1＋－（x2＋）
＝（x1－x2）（1－），
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，
又a＜0，所以1－＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在区间（0，＋∞）上单调递增；
同理可证，函数f（x）在区间（－∞，0）上单调递增.
其简图如图所示.
4 / 4(共32张PPT)
4.2　简单幂函数的图象和性质
新课程标准解读 核心素养
通过具体实例，结合 y ＝ x ， y ＝ ， y ＝ x2， y ＝
， y ＝ x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函
数，会求幂函数的解析式 数学抽象、
直观想象、
逻辑推理
目录
基础知识·重落实
01
典型例题·精研析
02
基础知识·重落实
01
课前预习 必备知识梳理
　　我们以前学过函数 y ＝ x ， y ＝ x2， y ＝ .
【问题】　（1）这三个函数的解析式有什么共同的特点吗？
（2）你能根据初中学过的整数指数幂的运算，把这三个函数的解析
式改写成统一的形式吗？





知识点一　幂函数的概念
一般地，形如 （α为常数）的函数，即底数是自变量、指
数是常数的函数称为幂函数.
提醒　幂函数的特征：① xα的系数为1；② xα的底数是自变量 x ，指
数α为常数；③项数只有一项.
y ＝ xα　
知识点二　五个幂函数的图象与性质
1. 五个常见幂函数的图象
2. 五个常见幂函数的性质
解析
式 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝
图象
定义 域

R　
R　
R　
{ x ｜ x ≠0}　
[0，＋
∞）　
解析
式 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝
值域


奇偶
性 函数 函数 函数 函数
函数
R　
[0，＋
∞）　
R　
{ y ｜ y ≠0}　
[0，＋
∞）　
奇　
偶　
奇　
奇　
非奇非
偶　
解析
式 y ＝ x y ＝ x2 y ＝ x3 y ＝ y ＝
单调 性 在（－
∞，＋
∞）上单
调
在（－∞，
0]上单
调
，在
（0，＋
∞）上单
调 在（－∞，
＋∞）上单
调 在（－∞， 0）上单
调
，在
（0，＋∞）
上单调
在[0，＋
∞）上单
调

公共
点 都经过点
递
增　
递
减　
递增　
递增　
递
减　
递
减　
递
增　
（1，1）　
1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”）
（1）幂函数的图象必过点（1，1）. （　√　）
（2）幂函数的图象都不过第二、四象限. （　×　）
（3）当幂指数α取1，3， 时，幂函数 y ＝ xα是增函数.
（　√　）
（4）若幂函数 y ＝ xα的图象关于原点对称，则 y ＝ xα在定义域内 y
随 x 的增大而增大. （　×　）
√
×
√
×
2. 若幂函数 y ＝ f （ x ）的图象经过点（2， ），则 f （3）＝（　　）
A. B. C. 3 D. 9
解析：　设幂函数 y ＝ f （ x ）＝ xα，其图象经过点（2， ），
则2α＝ ，解得α＝ .∴ f （ x ）＝ ＝ ，∴ f （3）＝ .故
选B.
3. 已知 f （ x ）＝（ m ＋1） xm＋2是幂函数，则 m ＝ .
解析：∵函数 f （ x ）＝（ m ＋1） xm＋2是幂函数，∴ m ＋1＝1，即
m ＝0.
0　
典型例题·精研析
02
课堂互动 关键能力提升
题型一 幂函数的概念
【例1】　（1）在函数 y ＝ x－2， y ＝（ x ＋1）2， y ＝3 x 中，幂函数
的个数为（　B　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：根据幂函数定义可知，只有 y ＝ x－2是幂函数，所以选B.
B
（2）若 f （ x ）＝（ m2－4 m －4） xm 是幂函数，则 m ＝ .
解析：因为 f （ x ）是幂函数，所以 m2－4 m －4＝1，即 m2－4 m
－5＝0，解得 m ＝5或 m ＝－1.
5或－1　
通性通法
判断一个函数是否为幂函数的方法
　　判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 y ＝ xα（α为
常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）
指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
【跟踪训练】
（多选）下列函数中是幂函数的是（　　）
A. y ＝ B. y ＝2 x2
C. y ＝2 x ＋1 D. y ＝
解析：　幂函数是形如 y ＝ xα（α为常数）的函数，A是α＝－1
的情形，D是α＝－ 的情形，所以A和D都是幂函数；B中 x2的系数
是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.
题型二 幂函数的图象及应用
【例2】　点（ ，2）与点（－2，－ ）分别在幂函数 f （ x ）， g
（ x ）的图象上，问当 x 为何值时，有：
（1） f （ x ）＞ g （ x ）；（2） f （ x ）＝ g （ x ）；（3） f （ x ）＜ g
（ x ）.
解：设 f （ x ）＝ xα， g （ x ）＝ xβ.
∵（ ）α＝2，（－2）β＝－ ，∴α＝2，β＝－1，
由图象知，
（1）当 x ∈（－∞，0）∪（1，＋∞）时， f （ x ）＞ g
（ x ）；
（2）当 x ＝1时， f （ x ）＝ g （ x ）；
（3）当 x ∈（0，1）时， f （ x ）＜ g （ x ）.
∴ f （ x ）＝ x2， g （ x ）＝ x－1.分别作出它们的图象，如图
所示.
通性通法
解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在（0，1）上，
指数越大，幂函数图象越靠近 x 轴（简记为指大图低）；在
（1，＋∞）上，指数越大，幂函数图象越远离 x 轴（简记为指
大图高）；
（2）依据图象确定幂指数α与0，1的大小关系，即根据幂函数在第
一象限内的图象（类似于 y ＝ x－1或 y ＝ 或 y ＝ x3）来判断.
【跟踪训练】
如图是幂函数 y ＝ xn 的部分图象，已知 n 取 ，2，－2，－ 这四个
值，则与曲线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为（　　）
A. 2， ，－ ，－2 B. －2，－ ， ，2
C. － ，－2，2， D. 2， ，－2，－
解析：　法一　曲线 C1， C2过点（0，0），（1，1），且在第一象
限内单调递增，所以 n ＞0， n 为 ，2，显然 C1对应 y ＝ x2， C2对应 y
＝ . C3， C4过点（1，1），且在第一象限内单调递减，所以 n ＜0，
n 为－2，－ ，显然 C3对应 y ＝ ， C4对应 y ＝ x－2.
法二　取 x ＝2，分别代入 y1＝ x2， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ x－2，可求
得 y1＝4， y2＝ ， y3＝ ， y4＝ ，比较得 y1＞ y2＞ y3＞ y4，则与曲
线 C1， C2， C3， C4相对应的 n 依次为2， ，－ ，－2.
题型三 幂函数的性质及应用
角度1　比较幂值的大小
【例3】　比较下列各组数的大小：
（1） 和3. ；
解：∵函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调递减，又3＜3.1，
∴ ＞3. .
（2）－ 和－（ .
解：－ ＝－（ ，函数 y ＝ 在（0，＋∞）上单调
递增.
又 ＞ ，∴（ ＞（ ，即－ ＜－（ .
通性通法
比较幂值大小的2种方法
角度2　解简单不等式
【例4】　若幂函数 f （ x ）过点（2，8），则满足不等式 f （ a －3）
＞ f （1－ a ）的实数 a 的取值范围是 .
解析：设幂函数为 f （ x ）＝ xα，因为其图象过点（2，8），所以2α
＝8，解得α＝3，所以 f （ x ）＝ x3.因为 f （ x ）＝ x3在R上为增函
数，所以由 f （ a －3）＞ f （1－ a ），得 a －3＞1－ a ，解得 a ＞2.所
以满足不等式 f （ a －3）＞ f （1－ a ）的实数 a 的取值范围是（2，＋
∞）.
（2，＋∞）　
通性通法
利用幂函数的性质解不等式的步骤
（1）确定可以利用的幂函数；
（2）借助相应的幂函数的单调性，将不等式的大小关系转化为自变
量的大小关系；
（3）解不等式（组）求参数范围时，注意分类讨论思想的应用.
【跟踪训练】
已知幂函数 y ＝（ m2＋ m －5） ，当 x ∈（0，＋∞）时， y
随 x 的增大而减小，则实数 m 的值为 .
解析：∵ y ＝（ m2＋ m －5） 是幂函数，∴ m2＋ m －5＝1，
即（ m －2）（ m ＋3）＝0，∴ m ＝2或 m ＝－3.当 m ＝2时， m2－2 m
－3＝－3， y ＝ x－3是幂函数，且满足当 x ∈（0，＋∞）时， y 随 x 的
增大而减小；当 m ＝－3时， m2－2 m －3＝12， y ＝ x12是幂函数，但
不满足当 x ∈（0，＋∞）时， y 随 x 的增大而减小，故舍去.∴实数 m
的值为2.
2　
1. 在函数 y ＝ x－4， y ＝3 x2， y ＝ x2＋2 x ， y ＝1中，幂函数的个数为
（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
解析：　函数 y ＝ x－4为幂函数；函数 y ＝3 x2中 x2的系数不是1，
所以它不是幂函数；函数 y ＝ x2＋2 x 不是 y ＝ xα（α是常数）的形
式，所以它不是幂函数；函数 y ＝1与 y ＝ x0＝1（ x ≠0）不相等，
所以 y ＝1不是幂函数.
2. 下列函数中，既是偶函数，又在区间（0，＋∞）上单调递减的是
（　　）
A. y ＝ x－2 B. y ＝ x－1
C. y ＝ x2 D. y ＝
解析：　所给选项都是幂函数，其中 y ＝ x－2和 y ＝ x2是偶函数，
y ＝ x－1和 y ＝ 不是偶函数，故排除选项B、D，又 y ＝ x2在区间
（0，＋∞）上单调递增，不合题意， y ＝ x－2在区间（0，＋∞）
上单调递减，符合题意.故选A.
3. 若 a ＝（－1.2 ， b ＝1. ， c ＝0. ，它们的大小关系是
（　　）
A. c ＜ a ＜ b B. a ＜ c ＜ b
C. b ＜ a ＜ c D. c ＜ b ＜ a
解析：　 a ＝（－1.2 ＝1. ，又 ＞0，∴ y ＝ 在（0，＋
∞）上单调递增，∴1. ＞1. ＞0. ，即 a ＞ b ＞ c .
4. 函数 y ＝ x－3在区间[－4，－2]上的最小值是 .
解析：因为函数 y ＝ x－3＝ 在（－∞，0）上单调递减，所以当 x
＝－2时， ymin＝（－2）－3＝ ＝－ .
－ 　
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