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拓 视 野　对勾函数的图象和性质
　学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂
函数也进行了相关运算，得到了新的函数 f （ x ）＝ x ＋ ，利用计算
机软件，我们绘制出它的图象，如图.
【例】　参考幂函数的性质，探究函数 f （ x ）＝ x ＋ 的定义域、值
域、奇偶性、单调性等性质.
解：（1）定义域：∵ x ≠0，
∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 的定义域为{ x ｜ x ≠0}；
（2）函数 f （ x ）＝ x ＋ 的值域为（－∞，－2]∪[2，＋∞）；
（3）奇偶性：∵ f （－ x ）＝－ x － ＝－（ x ＋ ）＝－ f （ x ），
∴函数 f （ x ）＝ x ＋ 为奇函数；
（4）单调性：由函数 f （ x ）＝ x ＋ 的图象可知，
函数 f （ x ）＝ x ＋ 在（－∞，－1），（1，＋∞）上单调递增，在
（－1，0），（0，1）上单调递减.
【迁移应用】
　试探究函数 f （ x ）＝ x ＋ （ a ＜0）的定义域、值域、奇偶性、单
调性，并画出它的简图.
解：（1）定义域：{ x ｜ x ≠0}；
（2）值域：R；
（3）奇偶性：奇函数；
（4）函数 f （ x ）在区间（－∞，0），（0，＋∞）上单调递增.
证明：任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝ x1＋ －（ x2＋ ）
＝（ x1－ x2）（1－ ），
因为0＜ x1＜ x2，所以 x1－ x2＜0，
又 a ＜0，所以1－ ＞0，所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在区间（0，＋∞）上单调递增；
同理可证，函数 f （ x ）在区间（－∞，0）上单调递增.
其简图如图所示.
知能演练·扣课标
课后巩固 核心素养落地
1. 下列函数为幂函数的是（　　）
A. y ＝2 x4 B. y ＝2 x3－1
C. y ＝ D. y ＝ x2
解析：　结合幂函数的特征可知D正确.故选D.
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2. 若 f （ x ）＝ ，则函数 f （4 x －3）的定义域为（　　）
A. R B. （－∞， ）
C. ［ ，＋∞） D. （ ，＋∞）
解析：　易知 f （ x ）＝ 的定义域为（0，＋∞），则4 x －3∈
（0，＋∞），即 x ∈（ ，＋∞），故选D.
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3. 函数 f （ x ）＝ xa ＋ b ，不论 a 为何值， f （ x ）的图象均过点（ m ，
0），则实数 b 的值为（　　）
A. －1 B. 1 C. 2 D. 3
解析：　∵幂函数 y ＝ xa 过定点（1，1），∴ f （ x ）＝ xa ＋ b 过
定点（1，1＋ b ），结合已知条件可知1＋ b ＝0，则 b ＝－1.
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4. 如图所示，曲线 C1和 C2分别是函数 y ＝ xm 和 y ＝ xn 在第一象限内的
图象，则下列结论正确的是（　　）
A. n ＜ m ＜0 B. m ＜ n ＜0
C. n ＞ m ＞0 D. m ＞ n ＞0
解析：　由题中图象可知，两函数在第一象限内单调递减，故 m
＜0， n ＜0.由幂函数图象的特点知 n ＜ m ，故 n ＜ m ＜0.
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5. （多选）已知α∈{－1，1，2，3}，则使函数 y ＝ xα的值域为R，
且为奇函数的所有α的值为（　　）
A. 1 B. －1
C. 3 D. 2
解析：　当α＝－1时， y ＝ x－1＝ ，为奇函数，但值域为{ y ｜
y ≠0}，不满足条件.当α＝1时， y ＝ x 为奇函数，值域为R，满足
条件.当α＝2时， y ＝ x2为偶函数，值域为{ y ｜ y ≥0}，不满足条
件.当α＝3时， y ＝ x3为奇函数，值域为R，满足条件.故选A、C.
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6. （多选）已知幂函数 f （ x ）的图象经过点（27， ），则幂函数 f
（ x ）具有的性质是（　　）
A. 在其定义域上为增函数
B. 在（0，＋∞）上单调递减
C. 奇函数
D. 定义域为R
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解析：　设幂函数 f （ x ）＝ xα，∵幂函数图象过点（27，
），∴27α＝ ，∴α＝－ ，∴ f （ x ）＝ ＝ （ x ≠0） ，
∴ f （ x ）定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），满足 f （－ x ）＝
－ f （ x ），是奇函数，值域为（－∞，0）∪（0，＋∞），在定
义域内不单调，在（0，＋∞）上单调递减.故选B、C.
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7. 幂函数 y ＝ 的定义域为 ；其是 函数（填
“奇”或“偶”）.
解析：因为 y ＝ ＝ ，所以函数的定义域为（－∞，＋∞），
且为偶函数.
（－∞，＋∞）　
偶　
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8. 已知幂函数 f （ x ）＝ xα的部分对应值如表：
x 1
f （ x ） 1
则 f （ x ）的单调递增区间是 .
解析：因为 f （ ）＝ ，所以（ ）α＝ ，即α＝ ，所以 f
（ x ）＝ 的单调递增区间是[0，＋∞）.
[0，＋∞）　
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9. 若幂函数 y ＝（ m2－2 m －2） x－4 m－2在（0，＋∞）上单调递减，
则实数 m 的值是 .
解析：由题意可知 m2－2 m －2＝1，得 m ＝3或 m ＝－1.当 m ＝3
时，－4 m －2＝－14，幂函数 y ＝ x－14在（0，＋∞）上单调递
减，满足题意；当 m ＝－1时，－4 m －2＝2，幂函数 y ＝ x2在（0，
＋∞）上单调递增，不满足题意，所以 m ＝－1舍去.故 m ＝3.
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解：因为函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减，
所以 m －3＜0，解得 m ＜3.
又 m ∈N＋，所以 m ＝1，2.
又函数 f （ x ）的图象关于 y 轴对称，所以 m －3为偶数，所以
m ＝1.
10. 已知幂函数 f （ x ）＝ xm－3（ m ∈N＋）的图象关于 y 轴对称，且在
（0，＋∞）上单调递减，求满足（ a ＋1 ＜（3－2 a 的
实数 a 的取值范围.
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因为函数 y ＝ 在（－∞，0）和（0，＋∞）上单调递减，
且当 x ＞0时， ＞0，当 x ＜0时， ＜0，
所以由（ a ＋1 ＜（3－2 a ，得 a ＋1＞3－2 a ＞0或0
＞ a ＋1＞3－2 a 或 a ＋1＜0＜3－2 a ，解得 a ＜－1或 ＜ a ＜
，
所以实数 a 的取值范围是（－∞，－1）∪（ ， ）.
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11. 已知当 x ∈[0，1]时，函数 y ＝（ mx －1）2的图象与 y ＝ ＋ m
的图象有且只有一个交点，则正实数 m 的取值范围是（　　）
A. （0，1]∪[2 ，＋∞）
B. （0，1]∪[3，＋∞）
C. （0， ]∪[2 ，＋∞）
D. （0， ]∪[3，＋∞）
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解析：　当0＜ m ≤1时， ≥1， y ＝（ mx －1）2在[0，1]上单
调递减，值域为[（ m －1）2，1]； y ＝ ＋ m 在[0，1]上单调递
增，值域为[ m ，1＋ m ]，此时两个函数图象有且仅有一个交点.
当 m ＞1时，0＜ ＜1， y ＝（ mx －1）2在［ ，1］上单调递
增，所以要与 y ＝ ＋ m 的图象有且仅有一个交点，需（ m －
1）2≥1＋ m ，即 m ≥3.综上所述，0＜ m ≤1或 m ≥3.故选B.
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12. （多选）已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ， n ∈N＋， m ， n 互质），
下列关于 f （ x ）的结论正确的是（　　）
A. m ， n 是奇数时， f （ x ）是奇函数
B. m 是偶数， n 是奇数时， f （ x ）是偶函数
C. m 是奇数， n 是偶数时， f （ x ）是偶函数
D. 0＜ ＜1时， f （ x ）在（0，＋∞）上单调递减
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解析：　 f （ x ）＝ ＝ ，当 m ， n 是奇数时， f （ x ）是
奇函数，故A中的结论正确；当 m 是偶数， n 是奇数时， f （ x ）
是偶函数，故B中的结论正确；当 m 是奇数， n 是偶数时， f
（ x ）在 x ＜0时无意义，故C中的结论错误；当0＜ ＜1时， f
（ x ）在（0，＋∞）上单调递增，故D中的结论错误.故选A、B.
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13. 有一种密钥密码系统可以保证信息的安全传输，其加密、解密原
理为：发送方根据加密密钥把明文转为密文（加密），接收方根
据加密密钥把密文转为明文（解密）.现在已知加密密钥为 y ＝ xα
（α为常数），如“4”通过加密后得到密文“2”.若接收方接到
密文“3”，则解密后得到的明文是 .
解析：由题目可知加密密钥 y ＝ xα（α是常数）是一个幂函数，
所以要想求得解密后得到的明文，就必须先求出α的值.由题意得
2＝4α，解得α＝ ，则 y ＝ .由 ＝3，得 x ＝9.
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14. 已知幂函数 f （ x ）＝（ m2－5 m ＋7） xm－1为偶函数.
（1）求 f （ x ）的解析式；
解：由 m2－5 m ＋7＝1可得 m ＝2或 m ＝3，
又 f （ x ）为偶函数，则 m ＝3，
所以 f （ x ）＝ x2.
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（2）若 g （ x ）＝ f （ x ）－ ax －3在[1，3]上不是单调函数，求
实数 a 的取值范围.
解：g （ x ）＝ x2－ ax －3＝（ x － ）2－3－ 在[1，
3]上不单调，则对称轴 x ＝ 满足1＜ ＜3.
即2＜ a ＜6.所以实数 a 的取值范围为（2，6）.
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15. 已知幂函数 f （ x ）的图象经过点（9，3），则函数 f （ x ）
＝ 　 　，若 f （ a ） f （ b ）＝3，则实数 a ＋2 b 的最小值是 　6 　.
解析：设幂函数 f （ x ）＝ xα，因为函数 f （ x ）的图象过点（9，
3），所以 f （9）＝9α＝3，解得α＝ ，所以 f （ x ）＝ .又 f
（ a ） f （ b ）＝3，所以 ＝3且 a ＞0， b ＞0，即 ab ＝9，所以
a ＋2 b ≥2 ＝6 ，当且仅当 a ＝2 b ，即 a ＝3 ， b ＝
时取等号，所以 a ＋2 b 的最小值是6 .
　
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16. 已知幂函数 f （ x ）＝ （ m ∈N＋）.
（1）试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的
单调性；
解：∵ m ∈N＋，∴ m2＋ m ＝ m （ m ＋1）为偶数.
令 m2＋ m ＝2 k ， k ∈N＋，则 f （ x ）＝ ，
∴ f （ x ）的定义域为[0，＋∞），且 f （ x ）在[0，＋∞）
上是增函数.
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（2）若函数 f （ x ）的图象经过点（2， ），试确定 m 的值，
并求满足 f （2－ a ）＞ f （ a －1）的实数 a 的取值范围.
解：由题意可得 ＝ ＝ ，∴ m2＋ m ＝2，
解得 m ＝1或 m ＝－2（舍去），
∴ f （ x ）＝ ，
由（1）知 f （ x ）在[0，＋∞）上是增函数，
∴ f （2－ a ）＞ f （ a －1）等价于2－ a ＞ a －1≥0，解得
1≤ a ＜ ，故实数 a 的取值范围为［1， ）.
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谢 谢 观 看！对勾函数的图象和性质
学习了幂函数的图象，类比实数的加、减、乘、除运算，我们对幂函数也进行了相关运算，得到了新的函数f（x）＝x＋，利用计算机软件，我们绘制出它的图象，如图.
【例】　参考幂函数的性质，探究函数f（x）＝x＋的定义域、值域、奇偶性、单调性等性质.
尝试解答
【迁移应用】
　试探究函数f（x）＝x＋（a＜0）的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出它的简图.
提示：完成课后作业　第二章　§4　4.2
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拓视野
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