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章末检测（二）　函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.函数f（x）＝＋的定义域是（　　）
A.[－1，＋∞）　　B.（－∞，0）∪（0，＋∞）　　C.[－1，0）∪（0，＋∞）　　D.R
2.已知函数f（x＋1）＝ex－1，则f（2）＝（　　）
A.1　　B.0　　C.e　　D.e2
3.已知幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），则k＋α＝（　　）
A.　　B.1　　C.　　D.2
4.已知函数f（x）＝若f（a）＝10，则a的值是（　　）
A.－3或5　　B.3或－3　　C.－3　　D.3或－3或5
5.偶函数y＝f（x）在区间[0，4]上单调递减，则有（　　）
A.f（－1）＞f（2）＞f（－3）　　B.f（2）＞f（－1）＞f（－3）
C.f（－3）＞f（－1）＞f（2）　　D.f（－1）＞f（－3）＞f（2）
6.已知f（x）＝－x2＋2ax＋3与函数g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上都单调递减，则a的取值范围为（　　）
A.［，1］　　B.（－∞，］∪[1，＋∞）
C.（，1）　　D.（－∞，）∪[1，＋∞）
7.已知f（x）为奇函数，当x＞0时，f（x）＝－x2＋2x，则f（x）在[－3，－1]上（　　）
A.单调递增，最小值为－1　　B.单调递增，最大值为－1
C.单调递减，最小值为－1　　D.单调递减，最大值为－1
8.定义在（0，＋∞）上的函数f（x）满足＜0，且f（2）＝4，则不等式f（x）－＞0的解集为（　　）
A.（4，＋∞）　　B.（0，4）　　C.（0，2）　　D.（2，＋∞）
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知函数f（x）＝则下列结论正确的是（　　）
A.f（x）的定义域为R　　B.f（x）的值域为R　　C.f（x）为奇函数　　D.f（x）为增函数
10.定义在R上的奇函数f（x）在（－∞，0）上的解析式为f（x）＝x（1＋x），则f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是（　　）
A.f（0）＝0　　B.f（1）＝0　　C.最大值　　D.最小值－
11.若定义在R上的函数f（x）满足对任意的x1，x2∈R，都有f（x1＋x2）＝f（x1）＋f（x2），且当x＞0时，f（x）＜0，则下列结论正确的是（　　）
A.f（0）＝0　　B.f（x）是偶函数　　C.f（x）是减函数　　D.x＜0时，f（x）＞0
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中横线上）
12.已知幂函数f（x）＝（m＋1）x2m－1，则f（2）＝　　　　.
13.设某公司原有员工100人从事产品A的生产，平均每人每年创造产值t万元（t为正常数），公司决定从原有员工中分流x（0＜x＜100）人去进行新开发的产品B的生产.分流后，继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A的年产值不减少，则最多能分流的人数是　　　　.
14.定义：如果函数y＝f（x）在定义域内给定区间[a，b]上存在x0（a＜x0＜b），满足f（x0）＝，则称函数y＝f（x）是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个均值点.若函数f（x）＝x2＋mx是[－1，1]上的平均值函数，则实数m的取值范围是　　　　.
四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（本小题满分13分）已知函数f（x）＝x－.
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
（2）证明：函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增；
（3）求函数f（x）＝x－，x∈[－4，－1]的最大值和最小值.
16.（本小题满分15分）已知函数f（x）＝
（1）画出函数f（x）的图象；
（2）求f（a2＋1）（a∈R），f[f（3）]的值；
（3）当f（x）≥2时，求x的取值范围.
17.（本小题满分15分）已知定义在R上的偶函数f（x），当x∈（－∞，0]时，f（x）＝－x2＋4x－1.
（1）求函数f（x）在（0，＋∞）上的解析式；
（2）求函数f（x）在[－2，3]上的最大值和最小值.
18.（本小题满分17分）某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）＝8＋（千人），且游客人均消费g（x）近似地满足g（x）＝143－｜x－22｜（元），1≤x≤30，x∈N＋.
（1）求该园区第x天的旅游收入p（x）（单位：千元）的函数关系式；
（2）记（1）中p（x）的最小值为m，若以0.3m（千元）作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回投资成本？
19.（本小题满分17分）已知f（x）是定义在非零实数集上的函数，且对任意非零实数x，y满足f（xy）＝f（x）＋f（y）.
（1）求f（1），f（－1）的值；
（2）证明：f（x）为偶函数；
（3）若f（x）在（0，＋∞）上单调递增，求不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集.
章末检测（二）　函数
1.C　要使函数有意义，需满足即x≥－1且x≠0.故选C.
2.A　∵f（x＋1）＝ex－1，∴f（2）＝f（1＋1）＝e1－1＝1.
3.A　∵幂函数f（x）＝kxα（k∈R，α∈R）的图象过点（，），∴k＝1，（）α＝，∴α＝－，∴k＋α＝1－＝.
4.A　若a≤0，则f（a）＝a2＋1＝10，解得a＝－3（a＝3舍去）；若a＞0，则f（a）＝2a＝10，解得a＝5.综上可得，a＝5或a＝－3，故选A.
5.A　由y＝f（x）为偶函数，则f（－1）＝f（1），f（－3）＝f（3），又因为函数y＝f（x）在区间[0，4]上单调递减，所以f（1）＞f（2）＞f（3）.即f（－1）＞f（2）＞f（－3），故选A.
6.A　因为f（x）＝－x2＋2ax＋3在区间[1，2]上单调递减，所以a≤1，又g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上单调递减，所以3a≥2，解得a≥，因为f（x）＝－x2＋2ax＋3与函数g（x）＝｜x－3a｜在区间[1，2]上都单调递减，所以a的取值范围为≤a≤1.故选A.
7.C　f（x）＝－x2＋2x，图象为开口向下，对称轴为x＝1的抛物线，所以x＞0时f（x）在[1，3]上单调递减，最大值为1.因为f（x）为奇函数，图象关于原点对称，所以函数f（x）在[－3，－1]也单调递减，最小值为－1.
8.C　由题意，设g（x）＝xf（x），因为＜0，即＜0，所以函数g（x）是减函数，不等式f（x）－＞0，即＞0，因为x∈（0，＋∞），所以不等式等价于xf（x）－8＞0，即xf（x）＞8，又f（2）＝4，则g（2）＝2·f（2）＝8，所以不等式xf（x）＞8，即g（x）＞g（2）的解集为（0，2）.
9.ACD　根据分段函数的解析式可知，f（x）的定义域为R，选项A正确；f（x）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正确.故选A、C、D.
10.ABC　由题可知，函数f（x）为定义在R上的奇函数，则f（－x）＝－f（x），已知f（x）在（－∞，0）上的解析式f（x）＝x（1＋x），则当x＞0时，－x＜0，则f（－x）＝－x（1－x）＝－f（x），所以当x∈[0，＋∞）时，f（x）＝x（1－x）＝－x2＋x＝－（x－）2＋，可知f（0）＝0，f（1）＝0，且最大值为，无最小值，所以f（x）在[0，＋∞）上正确的结论是A、B、C.故选A、B、C.
11.ACD　A项，令x1＝x2＝0，由题意有f（0＋0）＝f（0）＋f（0），所以f（0）＝0，故选项A正确；B项，令x1＝x，x2＝－x，由题意有f（x）＋f（－x）＝f（x－x）＝f（0）＝0，所以f（x）是奇函数，故选项B错误；C项，任取x1，x2∈R且x1＞x2，则x1－x2＞0，由题意有f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，又f（x）是奇函数，所以f（x1）－f（x2）＝f（x1）＋f（－x2）＝f（x1－x2）＜0，即f（x1）＜f（x2），所以函数f（x）是减函数，故选项C正确；D项，因为f（x）是奇函数，且当x＞0时，f（x）＜0，所以x＜0时，－x＞0，f（－x）＜0，所以f（x）＝－f（－x）＞0，故选项D正确.故选A、C、D.
12.　解析：因为f（x）＝（m＋1）x2m－1是幂函数，所以m＋1＝1，即m＝0，所以f（x）＝x－1，所以f（2）＝2－1＝.
13.16　解析：由题意得，分流前产品A的年产值为100t万元，分流x人后，产品A的年产值为（100－x）·（1＋1.2x%）t万元.
由题意，得解得0＜x≤，x∈N，所以x的最大值为16.
14.[0，＋∞）　解析：设存在x0∈[－1，1]，使得f（x0）＝，即＋mx0＝m，∴x2＋mx＝m在区间（－1，1）上有解，即m＝在区间（－1，1）上有解，∵y＝＝＝＝（1－x）＋－2，令1－x＝t∈（0，2），则y＝t＋－2，∵当t∈（0，2）时，y＝t＋－2≥2－2＝0，当且仅当t＝1∈（0，2）时，等号成立，∴y＝t＋－2≥0，∴实数m的取值范围是[0，＋∞）.
15.解：（1）函数f（x）＝x－的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），定义域关于原点对称，
因为f（－x）＝－x－＝－（x－）＝－f（x），
所以函数f（x）是奇函数.
（2）证明：任取x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2，
则f（x1）－f（x2）＝（x1－）－（x2－）＝（x1－x2）－（－）＝（x1－x2）（1＋），
因为0＜x1＜x2，所以x1－x2＜0，且1＋＞0，
所以f（x1）－f（x2）＜0，
即f（x1）＜f（x2），
所以函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增.
（3）由（1）（2）知函数f（x）＝x－在（0，＋∞）上单调递增，
且函数f（x）是奇函数，
所以f（x）在（－∞，0）上也单调递增.
所以当x∈[－4，－1]时，f（x）min＝f（－4）＝－3，f（x）max＝f（－1）＝3，
所以函数f（x）的最大值为3，最小值为－3.
16.解：（1）图象如图所示：
（2）f（a2＋1）＝3－（a2＋1）2＝－a4－2a2＋2，f[f（3）]＝f（－6）＝13.
（3）当x＞0时，3－x2≥2，解得0＜x≤1；
当x＝0时，满足f（x）＝2；
当x＜0时，1－2x≥2，解得x≤－.
综上，当f（x）≥2时，x的取值范围为{x或0≤x≤1}.
17.解：（1）设x＞0，则－x＜0，∴f（－x）＝－x2－4x－1.
∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝－x2－4x－1（x∈（0，＋∞））.
（2）由（1）得f（x）＝
∴f（x）在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减，
∴f（x）max＝f（0）＝－1，
f（x）min＝min{f（－2），f（3）}＝f（3）＝－22.
∴函数f（x）在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22.
18.解：（1）p（x）＝f（x）·g（x）＝（8＋）（143－｜x－22｜）＝
（2）当1≤x≤22时，p（x）＝8x＋＋976≥2＋976＝1 152，
当且仅当8x＝，即x＝11时取等号，此时p（x）最小值为1 152；
当22＜x≤30时，
p（x）＝－8x＋＋1 312单调递减，
当x＝30时，p（x）min＝－8×30＋＋1 312＝1 116.
因为1 116＜1 152，所以m＝p（30）＝1 116千元，0.3m＝33.48万元＞30万元，故能收回投资成本.
19.解：（1）在f（xy）＝f（x）＋f（y）中，
令x＝y＝1，得f（1）＝f（1）＋f（1），得f（1）＝0；
再令x＝y＝－1，得f（1）＝f（－1）＋f（－1），
得f（－1）＝0.
（2）证明：在f（xy）＝f（x）＋f（y）中，
令y＝－1，得f（－x）＝f（x）＋f（－1），
即f（－x）＝f（x），所以f（x）为偶函数.
（3）f（2）＋f（3）＝f（6），不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3），即f（3－x）≤f（6）.
当3－x＞0，即x＜3时，根据函数的单调性和不等式f（3－x）≤f（6），得3－x≤6，
解得－3≤x＜3；
当3－x＜0，即x＞3时，f（3－x）＝f（x－3）≤f（6），
由函数单调性，得x－3≤6，
解得3＜x≤9.
综上，不等式f（3－x）≤f（2）＋f（3）的解集为[－3，3）∪（3，9].
2 / 2(共37张PPT)
章末检测（二）　函数
（时间：120分钟　满分：150分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给
出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 函数 f （ x ）＝ ＋ 的定义域是（　　）
A. [－1，＋∞）
B. （－∞，0）∪（0，＋∞）
C. [－1，0）∪（0，＋∞）
D. R
解析：　要使函数有意义，需满足即 x ≥－1且 x
≠0.故选C.
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2. 已知函数 f （ x ＋1）＝e x－1，则 f （2）＝（　　）
A. 1 B. 0
C. e D. e2
解析：　∵ f （ x ＋1）＝e x－1，∴ f （2）＝ f （1＋1）＝e1－1＝1.
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3. 已知幂函数 f （ x ）＝ kxα（ k ∈R，α∈R）的图象过点（ ，
），则 k ＋α＝（　　）
B. 1
D. 2
解析：　∵幂函数 f （ x ）＝ kxα（ k ∈R，α∈R）的图象过点
（ ， ），∴ k ＝1，（ ）α＝ ，∴α＝－ ，∴ k ＋α＝1－
＝ .
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4. 已知函数 f （ x ）＝若 f （ a ）＝10，则 a 的值是
（　　）
A. －3或5 B. 3或－3
C. －3 D. 3或－3或5
解析：　若 a ≤0，则 f （ a ）＝ a2＋1＝10，解得 a ＝－3（ a ＝3
舍去）；若 a ＞0，则 f （ a ）＝2 a ＝10，解得 a ＝5.综上可得， a
＝5或 a ＝－3，故选A.
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5. 偶函数 y ＝ f （ x ）在区间[0，4]上单调递减，则有（　　）
A. f （－1）＞ f （2）＞ f （－3）
B. f （2）＞ f （－1）＞ f （－3）
C. f （－3）＞ f （－1）＞ f （2）
D. f （－1）＞ f （－3）＞ f （2）
解析：　由 y ＝ f （ x ）为偶函数，则 f （－1）＝ f （1）， f （－
3）＝ f （3），又因为函数 y ＝ f （ x ）在区间[0，4]上单调递减，
所以 f （1）＞ f （2）＞ f （3）.即 f （－1）＞ f （2）＞ f （－3），
故选A.
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6. 已知 f （ x ）＝－ x2＋2 ax ＋3与函数 g （ x ）＝｜ x －3 a ｜在区间
[1，2]上都单调递减，则 a 的取值范围为（　　）
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解析：　因为 f （ x ）＝－ x2＋2 ax ＋3在区间[1，2]上单调递减，
所以 a ≤1，又 g （ x ）＝｜ x －3 a ｜在区间[1，2]上单调递减，所
以3 a ≥2，解得 a ≥ ，因为 f （ x ）＝－ x2＋2 ax ＋3与函数 g （ x ）
＝｜ x －3 a ｜在区间[1，2]上都单调递减，所以 a 的取值范围为
≤ a ≤1.故选A.
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7. 已知 f （ x ）为奇函数，当 x ＞0时， f （ x ）＝－ x2＋2 x ，则 f （ x ）
在[－3，－1]上（　　）
A. 单调递增，最小值为－1
B. 单调递增，最大值为－1
C. 单调递减，最小值为－1
D. 单调递减，最大值为－1
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解析：　 f （ x ）＝－ x2＋2 x ，图象为开口向下，对称轴为 x ＝1
的抛物线，所以 x ＞0时 f （ x ）在[1，3]上单调递减，最大值为1.
因为 f （ x ）为奇函数，图象关于原点对称，所以函数 f （ x ）在[－
3，－1]也单调递减，最小值为－1.
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8. 定义在（0，＋∞）上的函数 f （ x ）满足 ＜0，
且 f （2）＝4，则不等式 f （ x ）－ ＞0的解集为（　　）
A. （4，＋∞） B. （0，4）
C. （0，2） D. （2，＋∞）
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解析：　由题意，设 g （ x ）＝ xf （ x ），因为
＜0，即 ＜0，所以函数 g （ x ）
是减函数，不等式 f （ x ）－ ＞0，即 ＞0，因为 x ∈（0，
＋∞），所以不等式等价于 xf （ x ）－8＞0，即 xf （ x ）＞8，又 f
（2）＝4，则 g （2）＝2· f （2）＝8，所以不等式 xf （ x ）＞8，即
g （ x ）＞ g （2）的解集为（0，2）.
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二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给
出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对
的得部分分，有选错的得0分）
9. 已知函数 f （ x ）＝则下列结论正确的是（　　）
A. f （ x ）的定义域为R B. f （ x ）的值域为R
C. f （ x ）为奇函数 D. f （ x ）为增函数
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解析：　根据分段函数的解析式可知， f （ x ）的定义域为R，
选项A正确； f （ x ）的值域为（－∞，－1）∪{0}∪（1，＋
∞），选项B不正确；画出函数图象（图略）可知，选项C、D正
确.故选A、C、D.
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10. 定义在R上的奇函数 f （ x ）在（－∞，0）上的解析式为 f （ x ）
＝ x （1＋ x ），则 f （ x ）在[0，＋∞）上正确的结论是（　　）
A. f （0）＝0 B. f （1）＝0
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解析：　由题可知，函数 f （ x ）为定义在R上的奇函数，则 f
（－ x ）＝－ f （ x ），已知 f （ x ）在（－∞，0）上的解析式 f
（ x ）＝ x （1＋ x ），则当 x ＞0时，－ x ＜0，则 f （－ x ）＝－ x
（1－ x ）＝－ f （ x ），所以当 x ∈[0，＋∞）时， f （ x ）＝ x （1
－ x ）＝－ x2＋ x ＝－（ x － ）2＋ ，可知 f （0）＝0， f （1）＝
0，且最大值为 ，无最小值，所以 f （ x ）在[0，＋∞）上正确的
结论是A、B、C. 故选A、B、C.
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11. 若定义在R上的函数 f （ x ）满足对任意的 x1， x2∈R，都有 f （ x1
＋ x2）＝ f （ x1）＋ f （ x2），且当 x ＞0时， f （ x ）＜0，则下列
结论正确的是（　　）
A. f （0）＝0 B. f （ x ）是偶函数
C. f （ x ）是减函数 D. x ＜0时， f （ x ）＞0
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解析：　A项，令 x1＝ x2＝0，由题意有 f （0＋0）＝ f （0）
＋ f （0），所以 f （0）＝0，故选项A正确；B项，令 x1＝ x ， x2＝
－ x ，由题意有 f （ x ）＋ f （－ x ）＝ f （ x － x ）＝ f （0）＝0，
所以 f （ x ）是奇函数，故选项B错误；C项，任取 x1， x2∈R且 x1
＞ x2，则 x1－ x2＞0，由题意有 f （ x1）＋ f （－ x2）＝ f （ x1－ x2）
＜0，又 f （ x ）是奇函数，所以 f （ x1）－ f （ x2）＝ f （ x1）＋ f
（－ x2）＝ f （ x1－ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），所以函数 f
（ x ）是减函数，故选项C正确；D项，因为 f （ x ）是奇函数，且
当 x ＞0时， f （ x ）＜0，所以 x ＜0时，－ x ＞0， f （－ x ）＜0，
所以 f （ x ）＝－ f （－ x ）＞0，故选项D正确.故选A、C、D.
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三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中
横线上）
12. 已知幂函数 f （ x ）＝（ m ＋1） x2 m－1，则 f （2）＝ .
解析：因为 f （ x ）＝（ m ＋1） x2 m－1是幂函数，所以 m ＋1＝1，
即 m ＝0，所以 f （ x ）＝ x－1，所以 f （2）＝2－1＝ .
　
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13. 设某公司原有员工100人从事产品 A 的生产，平均每人每年创造产
值 t 万元（ t 为正常数），公司决定从原有员工中分流 x （0＜ x ＜
100）人去进行新开发的产品 B 的生产.分流后，继续从事产品 A
生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2 x %.
若要保证产品 A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是 .
解析：由题意得，分流前产品 A 的年产值为100 t 万元，分流 x 人
后，产品 A 的年产值为（100－ x ）·（1＋1.2 x %） t 万元.由题
意，得解得0＜ x ≤ ， x ∈N，
所以 x 的最大值为16.
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14. 定义：如果函数 y ＝ f （ x ）在定义域内给定区间[ a ， b ]上存在 x0
（ a ＜ x0＜ b ），满足 f （ x0）＝ ，则称函数 y ＝ f
（ x ）是[ a ， b ]上的“平均值函数”， x0是它的一个均值点.若
函数 f （ x ）＝ x2＋ mx 是[－1，1]上的平均值函数，则实数 m 的取
值范围是 .
[0，＋∞）　
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解析：设存在 x0∈[－1，1]，使得 f （ x0）＝ ，即
＋ mx0＝ m ，∴ x2＋ mx ＝ m 在区间（－1，1）上有解，即 m ＝
在区间（－1，1）上有解，∵ y ＝ ＝ ＝
＝（1－ x ）＋ －2，令1－ x ＝ t ∈（0，
2），则 y ＝ t ＋ －2，∵当 t ∈（0，2）时， y ＝ t ＋ －2≥2
－2＝0，当且仅当 t ＝1∈（0，2）时，等号成立，∴ y ＝ t ＋ －
2≥0，∴实数 m 的取值范围是[0，＋∞）.
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四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答时应写出必要的文字说
明、证明过程或演算步骤）
15. （本小题满分13分）已知函数 f （ x ）＝ x － .
（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；
解：函数 f （ x ）＝ x － 的定义域为（－∞，0）∪
（0，＋∞），定义域关于原点对称，
因为 f （－ x ）＝－ x － ＝－（ x － ）＝－ f （ x ），
所以函数 f （ x ）是奇函数.
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（2）证明：函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增；
解：证明：任取 x1， x2∈（0，＋∞），且 x1＜ x2，
则 f （ x1）－ f （ x2）＝（ x1－ ）－（ x2－ ）＝（ x1－
x2）－（ － ）＝（ x1－ x2）（1＋ ），
因为0＜ x1＜ x2，所以 x1－ x2＜0，且1＋ ＞0，
所以 f （ x1）－ f （ x2）＜0，即 f （ x1）＜ f （ x2），
所以函数 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增.
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（3）求函数 f （ x ）＝ x － ， x ∈[－4，－1]的最大值和最小值.
解：由（1）（2）知函数 f （ x ）＝ x － 在（0，＋
∞）上单调递增，且函数 f （ x ）是奇函数，
所以 f （ x ）在（－∞，0）上也单调递增.
所以当 x ∈[－4，－1]时， f （ x ）min＝ f （－4）＝－3， f
（ x ）max＝ f （－1）＝3，
所以函数 f （ x ）的最大值为3，最小值为－3.
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16. （本小题满分15分）已知函数 f （ x ）＝
（1）画出函数 f （ x ）的图象；
解：图象如图所示：
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（2）求 f （ a2＋1）（ a ∈R）， f [ f （3）]的值；
解： f （ a2＋1）＝3－（ a2＋1）2＝－ a4－2 a2＋2， f
[ f （3）]＝ f （－6）＝13.
（3）当 f （ x ）≥2时，求 x 的取值范围.
解：当 x ＞0时，3－ x2≥2，解得0＜ x ≤1；
当 x ＝0时，满足 f （ x ）＝2；
当 x ＜0时，1－2 x ≥2，解得 x ≤－ .
综上，当 f （ x ）≥2时， x 的取值范围为 .
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17. （本小题满分15分）已知定义在R上的偶函数 f （ x ），当 x ∈
（－∞，0]时， f （ x ）＝－ x2＋4 x －1.
（1）求函数 f （ x ）在（0，＋∞）上的解析式；
解：设 x ＞0，则－ x ＜0，∴ f （－ x ）＝－ x2－4 x －1.
∵ f （ x ）为偶函数，∴ f （ x ）＝－ x2－4 x －1（ x ∈
（0，＋∞））.
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（2）求函数 f （ x ）在[－2，3]上的最大值和最小值.
解：由（1）得 f （ x ）＝
∴ f （ x ）在[－2，0]上单调递增，在[0，3]上单调递减，
∴ f （ x ）max＝ f （0）＝－1，
f （ x ）min＝min{ f （－2）， f （3）}＝ f （3）＝－22.
∴函数 f （ x ）在[－2，3]上的最大值是－1，最小值是－22.
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18. （本小题满分17分）某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游
赏，据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅
游人数 f （ x ）与第 x 天近似地满足 f （ x ）＝8＋ （千人），且游
客人均消费 g （ x ）近似地满足 g （ x ）＝143－｜ x －22｜
（元），1≤ x ≤30， x ∈N＋.
（1）求该园区第 x 天的旅游收入 p （ x ）（单位：千元）的函数
关系式；
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解： p （ x ）＝ f （ x ）· g （ x ）＝（8＋ ）（143－｜
x －22｜）＝
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（2）记（1）中 p （ x ）的最小值为 m ，若以0.3 m （千元）
作为资金全部用于回收投资成本，试问该园区能否收回
投资成本？
解：当1≤ x ≤22时， p （ x ）＝8 x ＋ ＋976≥2
＋976＝1 152，
当且仅当8 x ＝ ，即 x ＝11时取等号，此时 p （ x ）最小值
为1 152；
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当22＜ x ≤30时，
p （ x ）＝－8 x ＋ ＋1 312单调递减，
当 x ＝30时， p （ x ）min＝－8×30＋ ＋1 312＝1 116.
因为1 116＜1 152，所以 m ＝ p （30）＝1 116千元，0.3 m ＝33.48万
元＞30万元，故能收回投资成本.
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19. （本小题满分17分）已知 f （ x ）是定义在非零实数集上的函数，
且对任意非零实数 x ， y 满足 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）.
（1）求 f （1）， f （－1）的值；
解：在 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）中，
令 x ＝ y ＝1，得 f （1）＝ f （1）＋ f （1），得 f （1）＝0；
再令 x ＝ y ＝－1，得 f （1）＝ f （－1）＋ f （－1），
得 f （－1）＝0.
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（2）证明： f （ x ）为偶函数；
解：证明：在 f （ xy ）＝ f （ x ）＋ f （ y ）中，
令 y ＝－1，得 f （－ x ）＝ f （ x ）＋ f （－1），
即 f （－ x ）＝ f （ x ），所以 f （ x ）为偶函数.
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（3）若 f （ x ）在（0，＋∞）上单调递增，求不等式 f （3－ x ）
≤ f （2）＋ f （3）的解集.
解： f （2）＋ f （3）＝ f （6），不等式 f （3－ x ）≤ f
（2）＋ f （3），即 f （3－ x ）≤ f （6）.
当3－ x ＞0，即 x ＜3时，根据函数的单调性和不等
式 f （3－ x ）≤ f （6），得3－ x ≤6，解得－3≤ x ＜3；
当3－ x ＜0，即 x ＞3时， f （3－ x ）＝ f （ x －3）≤ f （6），
由函数单调性，得 x －3≤6，解得3＜ x ≤9.
综上，不等式 f （3－ x ）≤ f （2）＋ f （3）的解集为[－3，
3）∪（3，9].
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