资源简介

课件31张PPT。培养学生数学问题分析能力的实践与思考 数学问题分析能力是指阅读、理解对数学问题进行陈述的材料，并能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述 ，它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。1、数学的特点决定了学生必须具有特定的分析、推理、演绎、归纳、探究等能力，包括：
数学语言理解能力
图象信息分析能力
数据信息分析能力
基本图形处理能力
逻辑推理能力
规律探究能力
……
2、学生问题分析能力的现状
学生分析解决问题时，普遍存在着以下不足：
①走马看花，不求问题实质。
例如：某矩形的邻边长满足方程x2－4x+3=0，则此矩形的周长等于 ．很多学生都填8，而漏了4和12．这里主要是受思维定势的影响，把方程的解和矩形边长满足方程的对应关系发生“缺链”现象。
类似的问题还有：已知三角形的三边满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长等于 ．很多学生的答案是10，而实际上还有6和12．一、培养学生问题分析能力的背景与意义 ②蜻蜓点水，思考没有深度。
主要表现出：为做题而做题，不懂得归纳与梳理，更不用说发现与创新。
③无的放矢，分析缺乏条理。主要表现为：问题叙述时东拉西扯，表达缺乏条理。
因此引导学生问题分析和问题解决的能力，从而优化与拓展学生的解题思路与解题策略，成为我们数学教学工作者的迫切任务。通过问题分析能力的培养，可以让学生学会善于观察数学问题中的已知条件或结论中蕴涵的数学本质，找到解决问题的有效途径与方法，从而拓展思维空间，开发学生的数学睿智。一、培养学生问题分析能力的背景与意义1、引导学生重视数学思想，掌握思维方法
数学思想在人们的实践活动中产生，并且成为人们认识世界和改造世界的极为重要的工具，是问题解决的灵魂。日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中指出：这里所说的数学不仅指数学知识，尤指数学的精神、思想、方法。学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。
二、培养学生问题分析能力的尝试1、引导学生重视数学思想，掌握思维方法
教学片段：（《函数》复习课上）
问题：已知点（x，y）在如图所示的正方形的边上，求s=y-2x的最大值和最小值。
（说明：本题原题为：|x|+|y|=1，求s=y-2x的最大值和最小值。对非竞赛的要求来说是超范围的，所以我把它改编成上述问题。）二、培养学生问题分析能力的尝试（从数式上引导）
师：从式子s=y-2x上看，s与y，
x的大小有和关联？
生：沉思……
生1：从s=y-2x出发，当y尽量大，
x尽量小时，s有最大值；反之，
当y尽量小，x尽量大时，s有最小值。
师：这思路好，我们怎么来解？
生：当y=0，x=-1时，s最大，
当y=0，x=1时，s最小。
师：那x=-1，y=1时，S不是还要大吗？你
怎么不考虑呢？
生：点（x，y）取不到（-1，1）二、培养学生问题分析能力的尝试
师：那其它点上呢？我们又怎样让人信服呢？（这一问学生又被问倒了）
生：沉思……
师：（提示）点（x，y）在正方形的边上，正方形的边又能给大家什么启示？
生2：老师，我有办法啦！
把正方形的边分成四条直线段，进行分类讨论。
师：你的想法很有道理，请说说你的具体过程！
生2：
①y=-x+1（0≤x≤1）， s=y-2x=-x+1-2x=-3x+1，最小-2，最大1
②y=x+1 （-1≤x≤0）， s=y-2x=x+1-2x=-x+1， 最小1，最大2
③y=-x-1（-1≤x≤0）， s=y-2x=-x-1-2x=-3x-1 ， 最小-1，最大2
④y=x-1 （0≤x≤1）， s=y-2x=x-1-2x=-x-1 ， 最小-2，最大-1
综上得：s最大值为2，最小值为-2。
师：你用了分段的方式，运用分类讨论的思想完整地解决了刚才许多同学的困惑，
谢谢你，你真的很优秀。二、培养学生问题分析能力的尝试（从数与形两方面引导）
师：实际上，该同学上述的做法中，我们都能体会到他还用了函数
的思想，视s为x的函数，作了个出色的解答。 那么由此大家是否可
以视y为x的函数来解决呢？
生3：我把它整理成y=2x+s，接下去不知该怎么做了？
师：好，你说到同学们的困惑处了。同学们，如果我们暂时将s
当作常数来认识，那么s在一次函数中我们称呼它叫什么？
生：（齐声）截距。
师：现在我们又让它还原本色，s是一个可变化的截距，
它会在什么范围内变化呢？下面请同学们开始以2人
小组合作讨论，要求如下：
一位同学定一个s的值，另一位同学画出对应的直线，
看能发现什么规律？
生4：老师我们发现了，不管s怎么取值，这些直线都
与直线y=2x平行。
师：说得好，其实我们都知道，对于直线y=kx+b，当k不变时，与b对应的所有直线都
互相平行，
所以我们通过画图可以看出当直线y=2x+s经过点（-1，0），（1，0）时，
相应的截距分别达到最大值和最小值（如图）。所以我们直接将点（-1，0），
（1，0）代入直线y=2x+s解析式就可以求得s的最大与最小值。二、培养学生问题分析能力的尝试 上述问题的整个引导过程，教师不是直接按一种思路分析，而是引导学生善于察“数”观“形”，根据已知条件与结论，从数式、数形等方面按自己的不同理解作一番议论，然后让他们逐步完善自己的解题思路，并深入挖掘题目中隐含的数学本质，目的是使学生对问题有本质的理解，获得听、说、议、思等多方面能力的发展，运用数学思想分析思考，有利于学生对数学问题的观察分析更有针对性、思考更有方向性、策略更有实效性。 二、培养学生问题分析能力的尝试2、引导学生善用关键数式，推敲解题策略
根据数学的特点，关键的数、式对解题起了非常重要的作用。学生在解题的过程中往往没有注意到某个数或式的存在，不能抓住问题的本质所在，所以在平时的分析指导中，应重视引导学生借助关键数、式，细细品味，反复推敲，从而找到与众不同的解题策略。二、培养学生问题分析能力的尝试 教学片段(函数复习课上)问题：已知5x+12y=60，求
的最小值。
其阅读分析指导过程如下：
师：对式子5x+12y=60，你有什么特别的理解？
对式子 呢？
学生的反应：
※5x+12y=60其图象是一条直线
※由5x+12y=60可变形为：y=　- 　x+5，x=　- y+12
※5x+12y=60在y轴上的交点为（0，5），在x轴上的
交点为（12，0）
※式子 有点象Rt△的斜边
※ 表示点（x，y）到原点的距离……
二、培养学生问题分析能力的尝试
师：由同学们的回答，我们来考虑下列的问题：
（1）从结论出发思考：x2+y2可以表示成x的函数吗？
生：可以：x2+y2= x2- x+25
师：（2） 最小值结果是多少？
生： （等待片刻） （ ）
师：从上述解得的结果中思考感悟本题还有其他解法吗？
此问一出，有学生马上说：本题结果好象与5，12，13组成的Rt△有关， 的最小值正好等于此Rt△斜边上的高。
师：（于是乘热打铁）对，大家知道这又是为什么呢？
学生一个个用期待的眼神等待着、思考着…… 二、培养学生问题分析能力的尝试二、培养学生问题分析能力的尝试
师：刚才有同学说式子 表示是点（x，y）到原点的距
离，请思考：这些点是在什么图形上的呢？
生：直线5x+12y=60上。
师：将这些点与原点连接起来，组成的图形让你联想到什
么吗？
（画图，思考）
生：连接点到直线的所有线段中，垂线段最短。
师：妙，你说得极妙 。因此本题的最小值就是△ABO斜边上的高。
上述分析指导过程是先让学生自己对式子作各自水平上的理解，相当于上他们通读一遍已知条件或结论，接着按常规思维解答引导，在解题完成以后，再次引导学生进行非常规的阅读思考，从而使学生对问题的解决经历一个“山重水复疑无路，柳暗花明又一春”的愤绯过程，可以更好地培养学生用数学特有的阅读分析方式进行阅读、分析、理解与探究，提高学生的数学分析能力，更好地训练发展学生的思维。3、引导学生善编善变，促进灵活多变
让学生自己参与问题的设计，或改变条件或改变结论，从而更好地挖掘问题的生长点，获得更多的解题策略，促进学生分析问题与解决问题能力的进一步提升。
教学片段：《圆的基本性质复习》
教学中我只给出问题的条件：
如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=a，BE=b。
请同学们根据自己的理解，你补上一个问题。
当时的课堂气氛非常活跃，同学们纷纷参与：
（1）求证：∠ACB=90°
（2）求⊙O的半径
（3）求CE的长
（4）求CD的长
（5）求AC，BC的长
（6）求△ABC的面积或求△CEB的面积
（7）求OE的长
（8）求证：弧AC=弧AD，
（9）连BD，求证：∠A=∠BCD=∠BDC
（10）连OC，OD，求证：∠COB=∠DOB=2∠A
（并一一板书）
……二、培养学生问题分析能力的尝试二、培养学生问题分析能力的尝试3、引导学生善编善变，促进灵活多变
问题的设计上学生自由发挥：不但系统地复习了圆的轴对称性，
更重要的是将学生的积极性都调动了起来，这对于下面问题的提出
做了铺垫。
师：接下去我们一起讨论如何求CD的长。
师：从图形结构上看，所求线段的长与已知条件有什么关联？
生1：从图形上我看到了∠ACB=Rt∠，CE⊥AB，CE=DE，
△ACE∽△CBC∽△ABC，可以通过△ACE∽△CBE得出CE与
AE，BE的关系是CE2=AE·BE，结合垂径定理再求CD。
师：你分析很有道理，并快捷地找到了解决的办法，非常棒，谢谢你。
请同学们仔细观察，CE的长还有其它求法吗？请仔细审阅图形。
生2：我想到了由半径、半弦、弦心距构成的直角三角形，连OC，半径OC= ，

只要知道弦心距就可以求CE了，可是弦心距还没求出，不知可行否？
师：大家认为可行吗？
生3：老师，可行的，弦心距= （刚才说求OE的同学补充上来）。
师：说得好，但能不能对弦心距作更合理的表示？
生3：弦心距= 。
师：非常好，我们感谢两位同学，给我们找出了新的思路，下面请同学逐一解答。（解决完毕得出CD=2 ）二、培养学生问题分析能力的尝试3、引导学生善编善变，促进灵活多变
师：可见图形套图形的问题，我们应学会寻找基本图形，
以获得解题思路与方法。
师：如果给你条件a+b=10，请探究ab的最大值。
生4：ab可以表示成a或b的二次函数，用二次函数求最大值的方法来解。
师：这思路很有创意，你真机灵！真好。请大家算一下，ab的最大值。
生5：ab最大值为25，此时a=b=5。
师：此时CD在什么位置？
生（齐生）过圆心
师：同学们，从刚才的讨论中，你还能找出求ab最大值的又一种方法吗？
生6：有了，因为直径是圆的最大的弦，所以CD≤AB，而CD=2 ，所以
2 ≤AB=a+b=10，此时a=b=5。
师：太好了，谢谢你又给大家找出了一种好方法。
师（点评）：细观察，勤思考，常会获得意想不到的解题捷径 。
师：请同学们课外再思考2 ≤a+b是否一定成立？ 上述问题的设计是让学生通过自主分析问题的条件，尝试写出结论或可求解的问题，在教师的引领下，对基础知识的复习自然贴切，对问题的深化恰当自然，最后从动态的角度又回归圆中的基本元素直径与弦的关系，对问题的理解更直观形象，促进学生能灵活多变地全面分析思考。二、培养学生问题分析能力的尝试4、引导学生善于换位思考，突破思维定势
数学的思维方式有很强的灵活性，这种灵活性常常要求克服思维定势，结合题目的特点，适当调整视角，使题目中的元素进行“角色换位”，让学生学会从不同的角度去审视面临的问题，实现已知与未知、常量与变量、相等与不等、特殊与一般、局部与整体、数式与图形、运动与静止等的转换，突破思维定势，获得新解题的思路和方法。
教学片段1：《应用题复习》
问题：设四个数，其中每三个数之和分别为25，30，27，23. 求这四个数.
师：每三个数的和与这四个数的关系你有什么想法？采用什么方法解决？
生1：设这四个数分别为a、b、c、d，列方程组a+b+c=25，b+c+d=30，
c+d+a=27，d+a+b=23，可是我解不出来。
师：其他同学能提供帮助吗？
生：（沉默）
师：能否对上述四个等式作适当的变换，使他们能出现相同的数式？
生2：以上四个等式两边按顺序分别加上d，a，b，c，可以得到
a+b+c+d=25+d=30+a=27+b=23+c，
师：运用整体思想将a+b+c+d视为一个整体x，如何用x的代数式表示这四个数呢？
生3：老师我知道，d=x－25，a=x－30，b=x－27，c=x－23
师：能列出关于x的一个等式吗？
生3：能，等式为：（x-25）+（x-30）+（x-27）+（x-23）=x，
（解得x=35，四个数分别为5、8、12、10）
师：上述过程体现了整体与局部的换位，问题的解决比前一种简洁，未知量少。当然我们也可以从局部到整体的方式求解第一个同学提出的问题 。二、培养学生问题分析能力的尝试教学片段2：兴趣辅导课上《一元二次方程的复习》
问题：已知关于x的方程x3－px2－2px+p2－1＝0有且只有一个实数根，求实 数p的取值范围。
师：这是一个关于x的一元三次方程，同学们对它的解法未曾接触，但本节课的主题是一元二次方程的复习，大家有办法将此方程转化为关于x的一元二次方程吗？
生：沉默片刻，摇摇头……
师：显然不能，但如果未知数不是x，也就是将x当已知数来看，其它已知的数或字母当未知数来认识有可能吗？请大家找一找平方关系。
生：（一会儿）是否可以将p当未知数来看
师：对，请大家试一试，，方程变成怎样的了？
生：（动笔尝试）
师：请大家尝试整理成ap2+bp+c=0的形式，即表示成p的降幂排列。
生：老师我把它整理成：p2－（x2+2x）p+(x3－1)＝0，可我不知道如何解下去？
师：接下去，我们应考虑如何用x的代数式表示p，再求x。
（由于以下内容分解较难，根据情况由教师指导下进行）
解得p＝x－1, 或p＝x2+x+1
∴x＝p +1, 或x2+x+1－p＝0
∵原方程有且只有一个实数根，
∴方程x2+x+1－p＝0没有实数根
由△＝12－4（1－p）＜0，得p＜3/4。二、培养学生问题分析能力的尝试 教学片段3：兴趣辅导课上《函数的应用》
问题：对于满足|p|≤2的所有实数p，使x2 + px+1＞2x+ p恒成立，求x的取值范围。
分析：从二次函数的角度去解决这个问题会感到棘手，运用换位思考的方式，将变量（x）与常量（p）换位，使函数性质由二次变为一次，视（x-1）p+（x-1）2 为p的一次函数，原式化为（x-1）p+（x-1）2＞0，然后分两类讨论
（1）x＞1且（-2）（x-1）+（x-1）2＞0 ，
（2）x＜1且 2（x-1）+（x-1）2＞0．
得x＞3或x＜-1．
二、培养学生问题分析能力的尝试5、引导学生善于多角度思考，拓展思维空间 案例《应用题的复习课》 例题：某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买了一些送给这个小学的小朋友。如果每班分10套，那么余6套，如果每班分13套，那么最后一个班级分有福娃，但不足4套，问这个小学有多少班级？ 设有x个班级
方法一：列一元一次方程，分三类讨论：
（1）最后一个班级分得1套福娃
13（x-1）+1=10x+6
（2）最后一个班级分得2套福娃
13（x-1）+2=10x+6
（3）最后一个班级分得3套福娃
13（x-1）+3=10x+6 方法二：列不等式组


方法三：列二元一次方程：
设按第二种分法，最后一个班分得y套福娃，则
10x+6=13（x-1）+y（0＜y＜4）
得：3x+y=191、设计一个好的问题，以激发学生的兴趣，使问题分析获得有效的展开，促进问题分析能力的提高。
我们知道良好的开端是成功的一半，一个好的问题易于吸引学生，激起学生思维的火花，搭起学生思维的桥梁，同时也有利于教师掌控课堂，促进问题分析的有效展开。好问题设计应遵循以下原则：
①接受性原则：问题要容易为学生所理解，要有一定的意义，容易引起学生对问题的关注。
②障碍性原则：问题的解决办法不是显而易见的，是没有现成的方法可供使用的但又确实与已学内容有一定联系的问题。
③探究性原则：学生能进行探究，而探究的过程又有明确的价值去向，如中学数学教学内容的价值、思维的价值或是人文的价值等。
④可控性原则：教师对所选问题在尝试引导环节中要能对学生的活动围绕着教学中心加以适当的控制与诱导。
⑤可生性原则：所选取的问题要有新问题或新知识的生长点，能够在部份条件更改下产生新的问题，或是问题能够迁移、变形，或变换思维角度有不同的解法。
⑥开放性原则：所提供的问题或条件或结论或策略是开放的，不唯一的。三、培养学生问题分析能力的教学策略思考 2、以教师的个人魅力来调动学生的内驱力，使学生对问题的分析抱以积极的态度，逐步提高问题分析的信心。
①做好突破与延伸工作。
教师的引导应突破认知领域，向情感等其它领域延伸，对学生进行动态的指导和评价。在课堂教学中，要善于发现学生的闪光点，及时地给予鼓励和肯定，从而实现从知识领域向情感领域、方法领域延伸，实现内化与感悟。
②予以恰当的指导与鼓励。
当学生思维受阻时，教师应当用恰当的过渡语给予评价与指导，给其明确思考、讨论的方向，这样既教给学生学习的方法，同时又有利于增强学习的信心，从而形成良好的学习态度。
③用感人的语言滋润学生的心田。
良好的精神状态会促使学生积极地思维，活跃地思维。因此面对学生的“失败”过程，教师也应肯定“失败”的思维价值， “你说到问题点子上了”、“你已帮大家说出了困惑的焦点”等感人的语言来滋润学生“愤”、“悱”之心，让学生学会面对挫折不气馁，保持乐观的态度。课堂教学中，教师热情洋溢的赞美、肯定、鼓励和褒奖，是学生创新精神和能力的生长剂，会使学生充分认识到自己的潜能和聪明才智。
这种积极的评价和引导，不但会有利于问题的解决，而且会使学生增强战胜困难的勇气和努力学好数学的决心，学生在学习过程中形成积极的心理影响会使他们终生受益。三、培养学生问题分析能力的教学策略思考 3、做好恰当的引导以启迪学生的思维，拓展学生思维的空间，使学生对问题的分析向广、深发展。
①发挥教师的引领作用。
问题分析解决教学过程中，教师是学生学习的组织者、合作者、参与者，教师的作用在于引导。教师的引导作用主要是让学生积极参与到问题的思考与解决中来，给其一个解决问题的方向，而非告诉其问题的答案，当解决某个问题有困难时，才予以适当的知识传授或方法补充。
②给学生创造自主发挥的时间与空间
也可根据学生的学习能力等情况成立学生学习合作小组，在教学进程中，把学习主动权交给学生，让学生互相合作交流，在平等的条件下主动探究，充分发挥学生的学习主体性，使学生在自主的环境中有更多的时间和空间尽情地畅想。三、培养学生问题分析能力的教学策略思考 努力做到“六让”：  特征让学生观察， 思路让学生探索， 方法让学生寻找， 意义让学生概括， 结论让学生验证， 难点让学生突破。4、探究问题分析解决后的发展和迁移，促进新知识的生成和新方法的延伸，使问题分析能力获得进一步提升。
问题的发展和迁移是指进行问题分析解决教学时，在创设的问题已经获解的情况下，对问题情境中的新问题、新知识的生长点上，作进一步的探究，从而提出新的问题或获得新的解题方法。这一环节，充分体现了数学思维的深刻性、批判性和创造性，教师通常可采用以下策略：
①剖析错误原因，发现问题的根源。对于学生在问题解决中出现的一些似是而非的“解法”进行必要的反思，或许在错误的解答中会发现新的知识生长点或解决问题的新的策略，获得意外的收获，同时也能纠正学生思维的误区，达到一箭双雕的作用。
三、培养学生问题分析能力的教学策略思考
　②变更条件结论，提出新的问题。
随着条件、结论的改变，往往会引出新的问题与新的解题策略，从而获得新的发展与提高。
③换位思考问题，获得更多策略。问题的换位思考，是数学思想的根本，有利于教学内容的深化和延伸，是培养学生探究意识和创新能力的有效途径，有利于进一步提升学生问题分析与解决的能力。三、培养学生问题分析能力的教学策略思考 谢谢培养学生数学问题分析能力的实践与思考
数学问题分析能力是指阅读、理解对数学问题进行陈述的材料，能综合应用所学数学知识、思想和方法解决问题，包括解决在相关学科、生产、生活中的数学问题，并能用数学语言正确地加以表述，它是逻辑思维能力、运算能力、空间想象能力等基本数学能力的综合体现。
一、培养学生问题分析能力的背景与意义
1、数学的特点决定了学生必须具有特定的分析、推理、演绎、归纳、探究等能力，包括：
数学语言理解能力
图象信息分析能力
数据信息分析能力
基本图形处理能力
逻辑推理能力
规律探究能力
……
2、学生问题分析能力的现状
学生分析解决问题时，普遍存在着以下不足：
①走马看花，不求问题实质。
例如：某矩形的邻边长满足方程x2－4x+3=0，则此矩形的周长等于 。很多学生
都填8，而漏了4和12．这里主要是受思维定势的影响，把方程的解和矩形边长满足方程的对应关系发生“缺链”现象。
类似的问题还有：已知三角形的三边满足方程x2-6x+8=0，则此三角形的周长等于 。很多学生的答案是10，而实际上还有6和12。
②蜻蜓点水，思考没有深度。主要表现出：为做题而做题，不懂得归纳与梳理，更不用
说发现与创新。
③无的放矢，分析缺乏条理。主要表现为：问题叙述时东拉西扯，表达缺乏条理。
因此引导学生问题分析和问题解决的能力，从而优化与拓展学生的解题思路与解题策
略，成为我们数学教学工作者的迫切任务。通过问题分析能力的培养，可以让学生学会善于观察数学问题中的已知条件或结论中蕴涵的数学本质，找到解决问题的有效途径与方法，从而拓展思维空间，开发学生的数学睿智。
二、培养学生问题分析能力的尝试
①引导学生重视数学思想，掌握思维方法
数学思想在人的实践活动中产生，并且成为人们认识世界和改造世界的极为重要的工具，是问题解决的灵魂。日本著名数学教育家米山国藏在《数学的精神、思想和方法》中指出：这里所说的数学不仅指数学知识，尤指数学的精神、思想、方法。学生在初中、高中等所接受的数学知识，因毕业进入社会后几乎没有什么机会应用这种作为知识的数学，所以，通常是出校门后不到一两年便很快就忘掉了。然而不管他们从事什么业务工作，唯有深深地铭刻于头脑中的数学的精神，数学的思维方法、研究方法、推理方法和着眼点等都随时随地发生作用，使他们受益终身。
教学片段：（《函数》复习课上）问题：已知：点（x，y）在如图所示的正方形的边上，求s=y-2x的最大值和最小值。
（说明：本题原题为：|x|+|y|=1，求s=y-2x的最大值和最小值。对非竞赛的要求来说是超范围的，所以我把它改编成上述问题。）
分析引导过程如下：
（从数式上引导）
师：从式子s=y-2x上看，s与y，x的大小有和关联？
生：沉思……
生1：从s=y-2x出发，当y尽量大，x尽量小时，s有最大值；反之，当y尽量小，x尽量大时，s有最小值。
师：这思路好，我们怎么来解？
生：当y =0，x=-1时，s最大，当y =0，x=1时，s最小。
师：那其它点上呢？我们又怎样让人信服呢？ （这一问学生又被问倒了）
生：沉思……
师：（提示）点（x，y）在正方形的边上，正方形的边又能给大家什么启示？
生2：老师，我有办法啦！
把正方形的边分成四条直线段，进行分类讨论。
师：你的想法很有道理，请说说你的具体过程！
生2：
①y=-x+1（0≤x≤1）， s=y-2x=-x+1-2x=-3x+1，最小-2，最大1
②y=x+1 （-1≤x≤0）， s=y-2x=x+1-2x=-x+1， 最小1，最大2
③y=-x-1（-1≤x≤0）， s=y-2x=-x-1-2x=-3x-1 ，最小-1，最大2
④y=x-1 （0≤x≤1）， s=y-2x=x-1-2x=-x-1， 最小-2，最大-1
综上得：s最大值为2，最小值为-2。
师：你用了分段的方式，运用分类讨论的思想完整地解决了刚才许多同学的困惑，谢谢你，你真的很优秀。
（从数与形两方面引导）
师：实际上，该同学上述的做法中，我们都能体会到他还用了函数的思想，视s为x的函数，作了个出色的解答。那么由此大家是否可以视y为x的函数来解决呢？
生3：我把它整理成y=2x+s，接下去不知该怎么做了？
师：好，你说到同学们的困惑处了。同学们，如果我们暂时将s当作常数来认识，那么s在一次函数中我们称呼它叫什么？
生：（齐声）截距。
师：现在我们又让它还原本色，s是一个可变化的截距，
它会在什么范围内变化呢？下面请同学们开始以2人
小组合作讨论，要求如下：
一位同学定一个s的值，另一位同学画出对应的直线，
看能发现什么规律？
生4：老师我们发现了，不管s怎么取值，这些直线都
与直线y=2x平行。
师：说得好，其实我们都知道，对于y=kx+b，当k不变时，与b对应的所有直线都相互平行，所以我们通过画图可以看出当直线y=2x+s经过点（-1，0），（1，0）时，相应的截距分别达到最大值和最小值（如图）。所以我们直接将点（-1，0），（1，0）代入直线y=2x+s解析式就可以求得s的最大与最小值。
上述问题的整个引导过程，教师不是直接从中按一种思路分析，而是引导学生善于察
“数”观“形”，根据已知条件与结论，从数式、数形等方面按自己的不同理解作一番议论，然后让他们逐步完善自己的解题思路，并深入挖掘题目中隐含的数学本质，目的是使学生对问题有本质的理解，获得听、说、议、思等多方面能力的发展，运用数学思想分析思考，有利于学生对数学问题的观察分析更有针对性、思考更有方向性、策略更有实效性。
2、引导学生善用关键数式，推敲解题策略
根据数学的特点，关键的数、式对解题起了非常重要的作用。学生在解题的过程中往往没有注意到某个数或式的存在，不能抓住问题的本质所在，所以在平时的分析指导中，应重视引导学生借助关键数、式，细细品味，反复推敲，从而找到与众不同的解题策略。
教学片段(函数复习课上)：问题：已知5x+12y=60，求的最小值。
师：对式子5x+12y=60，你有什么特别的理解？对式子呢？
学生的反应：※5x+12y=60其图象是一条直线
※由5x+12y=60可变形为：y=-x+5，x=-y+12
※5x+12y=60在y轴上的交点为（0，5），在x轴上的交点为（12，0）
※式子有点象直角三角形的斜边
※表示点（x，y）到原点的距离
……
师：由同学们的回答，我们来考虑下列的问题：
（1）从结论出发思考：x2+y2可以表示成x的函数吗？
生：可以：x2+y2=x2—x+25
师：（2）最小值结果是多少？
（等待片刻）
生：（）
师：从上述解得的结果中思考感悟本题还有其他解法吗？
此问一出，有学生马上说：
本题最小值好象与5，12，13组成的Rt△有关，的最小值正好等于此Rt△斜边上的高。
师：（于是乘热打铁）：对，大家知道这又是为什么呢？
学生一个个用期待的眼神等待着、思考着……
师：刚才有同学说：式子的表示是点（x，y）到原点的距离，请思考：这些点是在什么图形上的呢？
生：直线5x+12y=60上。
师：将这些点与原点连接起来，组成的图形让你联想到什么吗？
生：（画图，思考）
生：连接点到直线的所有线段中，垂线段最短。因此本题的最小值就是△ABO斜边上的高。
师：妙，你说得极妙。
上述分析指导过程是先上学生自己对式子作各自水平上的理解，相当于上他们通读一遍已知条件或结论，接着按常规思维解答引导，在解题完成以后，再次引导学生进行非常规的阅读思考，从而使学生对问题的解决经历一个“山重水复疑无路，柳暗花明又一春”的愤绯过程，可以更好地培养学生用数学特有的分析方式进行阅读、分析、理解与探究，提高学生的数学分析能力，更好地训练发展学生的思维。
3、引导学生善编善变，促进灵活多变
让学生自己参与问题的设计，或改变条件或改变结论，从而更好地挖掘问题的生长点，获得更多的解题策略，促进学生分析问题与解决问题能力的进一步提升。
教学片段：《圆的基本性质复习》
教学中我只给出问题的条件：
如图：已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，AE=a，BE=b。请同学们根据自己的理解，请你补上一个问题。
当时的课堂气氛非常活跃，同学们纷纷参与：
（1）求证：∠ACB=90°
（2）求⊙O的半径
（3）求CE的长
（4）求CD的长
（5）求AC，BC的长
（6）求△ABC的面积或求△CEB的面积
（7）求OE的长
（8）求证：弧AC=弧AD，
（9）连BD，求证：∠A=∠BCD=∠BDC
（10）连OC，OD，求证：∠COB=∠DOB=2∠A
（并一一板书）
……
问题的设计让学生自由发挥：不但系统地复习了圆的轴对称性，更重要的是将学生的积极性都调动了起来，这对于下面问题的提出做了铺垫。
师：接下去我们一起讨论如何求CD的长。
师：从图形结构上看，所求线段的长与已知条件有什么关联？
生1：从图形上我看到了∠ACB=Rt∠，CE⊥AB，CE=DE，△ACE∽△CBE∽△ABC，可以通过△ACE∽△CBE得出CE与AE，BE的关系是CE2=AE·BE，结合垂径定理再求CＤ．
师：你分析很有道理，并快捷地找到了解决的办法，非常棒，谢谢你，请坐。请同学们仔细观察，CD的长还有其它求法吗？请仔细审阅图形。
生2：我想到了由半径、半弦、弦心距所构成的直角三角形，连OC，半径OC=，
只要知道弦心距就可以求CE了，可是弦心距还没求出，不知可行否？
师：大家认为可行吗？
生3：老师，可行的，弦心距=（刚才说求OE的同学补充上来）。
师：说得好，但能不能对弦心距作更合理的表示？
生3：弦心距=。
师：非常好，我们感谢两位同学，给我们找出了新的思路，下面请同学逐一解答。
（解决完毕得出CD=2）
师：可见图形套图形的问题，我们应学会寻找基本图形，以获得解题思路与方法。
师：如果给你条件a+b=10，请探究ab的最大值。
生4：ab可以表示成a或b的二次函数，用二次函数求最大值的方法来解。
师：这思路很有创意，你真机灵！真好。请大家算一下，ab的最大值。
生5：ab=a（10—a）=-a2-10a=—（a-5）2+25，ab最大值为25，此时a=b=5。
师：此时CD在什么位置？
生（齐生）过圆心
师：同学们，从刚才的讨论中，你还能找出求ab最大值的又一种方法吗？
生6：有了，因为直径是圆的最大的弦，所以CD≤AB，而CD=2，所以2≤AB=a+b=10，（当a=b=5，ab最大值等于25）。
师：太好了，谢谢你又给大家找出了一种好方法。
师（点评）：找出所给图形的本质，关键是靠同学们积极去品味，去分析，你会获得新的发现。所以细观察，勤思考，常会获得意想不到的解题捷径。
师：请同学们课外再思考2≤a+b是否一定成立？
上述问题的设计是让学生通过自主分析问题的条件，尝试写出结论或可求解的问题，在教师的引领下，对基础知识的复习自然贴切，对问题的深化恰当自然，最后从动态的角度又回归圆中的基本元素直径与弦的关系，对问题的理解更直观形象，促进学生能灵活多变地全面分析思考。
引导学生善于换位思考，突破思维定势
数学的思维方式有很强的灵活性，这种灵活性常常要求克服思维定势，结合题目的特点，适当调整视角，使题目中的元素进行“角色换位”，让学生学会从不同的角度去审视面临的问题，实现已知与未知、常量与变量、相等与不等、特殊与一般、局部与整体、数式与图形、运动与静止等的转换，突破思维定势，获得新解题的思路和方法。
教学片段1：《应用题复习》
问题：设四个数，其中每三个数之和分别为25，30，27，23. 求这四个数.
师：每三个数的和与这四个数的关系你有什么想法？采用什么方法解决？
生1：设这四个数分别为a、b、c、d，列方程组a+b+c=25，b+c+d=30，c+d+a=27，d+a+b=23，可是我解不出来。
师：其他同学能提供帮助吗？
生：（沉默）
师：能否对上述四个等式作适当的变换，使他们能出现相同的数式？
生2：以上四个等式两边按顺序分别加上d，a，b，c，可以得到
a+b+c+d=25+d=30+a=27+b=23+c，
师：运用整体思想将a+b+c+d视为一个整体x，如何用x的代数式表示这四个数呢？
生3：老师我知道，d=x－25，a=x－30，b=x－27，c=x－23
师：能列出关于x的一个等式吗？
生3：能，等式为：（x-25）+（x-30）+（x-27）+（x-23）=x，
（解得x=35，四个数分别为5，8，12，10）
师：上述过程体现了整体与局部的换位，问题的解决比前一种简洁，未知量少。当然我们也可以从局部到整体的方式求解第一个同学提出的问题。
教学片段2：兴趣辅导课上《一元二次方程的复习》
例１ 已知关于x的方程x3－px2－2px+p2－1＝0有且只有一个实数根，求实数p的取
值范围。
师：这是一个关于x的一元三次方程，同学们对它的解法未曾接触，但本节课的主题是一元二次方程的复习，大家有办法将此方程转化为关于x的一元二次方程吗？
生：沉默片刻，摇摇头……
师：显然不能，但如果未知数不是x，也就是将x当已知数来看，其它已知的数或字母当未知数来认识有可能吗？请大家找一找平方关系。
生：（一会儿）是否可以将p当未知数来看
师：对，请大家试一试，，方程变成怎样的了？
生：（动笔尝试）
师：请大家尝试整理成ap2+bp+c=0的形式，即表示成p的降幂排列。
生：老师我把它整理成：p2－（x2+2x）p+(x3－1)＝0，可我不知道如何解下去？
师：接下去，我们应考虑如何用x的代数式表示p，再求x。
（由于以下内容分解较难，根据情况由教师指导下进行）
解得p＝x－1, 或p＝x2+x+1
∴x＝p +1, 或x2+x+1－p＝0
∵原方程有且只有一个实数根，
∴方程x2+x+1－p＝0没有实数根
由△＝12－4（1－p）＜0，得p＜3/4．
教学片段3：兴趣辅导课上《函数的应用》
问题：对于满足|p|≤2的所有实数p，使x2 + px+1＞2x+ p恒成立，求x的取值范围。
分析：从二次函数的角度去解决这个问题会感到棘手，运用换位思考的方式，将变量（x）与常量（p）换位，使函数性质由二次变为一次，视（x-1）p+（x-1）2 为p的一次函数，原式化为（x-1）p+（x-1）2＞0，然后分两类讨论
（1）x＞1且（-2）（x-1）+（x-1）2＞0 ，
（2）x＜1且 2（x-1）+（x-1）2＞0．
得x＞3或x＜-1．
5、引导学生善于多角度思考，拓展思维空间
案例《应用题的复习课》
例题：某消防官兵了解到汶川地震灾区一帐篷小学的小朋友喜欢奥运福娃，就特意购买
了一些送给这个小学的小朋友。如果每班分10套，那么余6套，如果每班分13套，那么最后一个班级分有福娃，但不足4套，问这个小学有多少班级？
解： 设有x个班级
方法一：列一元一次方程，分三类讨论：
（1）最后一个班级分得1套福娃
13（x-1）+1=10x+6
（2）最后一个班级分得2套福娃
13（x-1）+2=10x+6
（3）最后一个班级分得3套福娃
13（x-1）+3=10x+6
方法二：列不等式组

方法三：列二元一次方程：
设按第二种分法，最后一个班分得y套福娃，则
10x+6=13（x-1）+y（0＜y＜4）
得：3x+y=19
三、培养学生问题分析能力的教学策略思考
1、设计一个好的问题，以激发学生的兴趣，使问题分析获得有效的展开，促进问题分析能力的提高。
我们知道良好的开端是成功的一半，一个好的问题易于吸引学生，激起学生思维的火花，搭起学生思维的桥梁，同时也有利于教师掌控课堂，促进问题分析的有效展开。好问题设计的应遵循以下原则：
①接受性原则：问题要容易为学生所理解，要有一定的意义，容易引起学生对问题的关注。
②障碍性原则：问题的解决办法不是显而易见的，是没有现成的方法可供使用的但又确实与已学内容有一定联系的问题。
③探究性原则：学生能进行探究，而探究的过程又有明确的价值去向，如中学数学教学内容的价值、思维的价值或是人文的价值等。
④可控性原则：教师对所选问题在尝试引导环节中要能对学生的活动围绕着教学中心加以适当的控制与诱导。
⑤可生性原则：所选取的问题要有新问题或新知识的生长点，能够在部份条件更改下产生新的问题，或是问题能够迁移、变形，或变换思维角度有不同的解法。
⑥开放性原则：所提供的问题或条件或结论或策略是开放的，不唯一的。
2、以教师的个人魅力来调动学生的内驱力，使学生对问题的分析抱以积极的态度，逐步提高问题分析的信心。
①做好突破与延伸工作。
教师的引导应突破认知领域，向情感等其它领域延伸，对学生进行动态的指导和评价。在课堂教学中，要善于发现学生的闪光点，及时地给予鼓励和肯定，从而实现从知识领域向情感领域、方法领域延伸，实现内化与感悟。
②予以恰当的指导与鼓励。
当学生思维受阻时，教师应当用恰当的过渡语给予评价与指导，给其明确思考、讨论的方向，这样既教给学生学习的方法，同时又有利于增强学习的信心，从而形成良好的学习态度。
③用感人的语言滋润学生的心田。
良好的精神状态会促使学生积极地思维，活跃地思维。因此面对学生的“失败”过程，教师也应肯定“失败”的思维价值， “你说到问题点子上了”、“你已帮大家说出了困惑的焦点”等感人的语言来滋润学生“愤”、“悱”之心，让学生学会面对挫折不气馁，保持乐观的态度。课堂教学中，教师热情洋溢的赞美、肯定、鼓励和褒奖，是学生创新精神和能力的生长剂，会使学生充分发挥到自己的潜能和聪明才智。
这种积极的评价和引导，不但会有利于问题的解决，而且会使学生增强战胜困难的勇气和努力学好数学的决心，学生在学习过程中形成积极的心理影响会使他们终生受益。
3、做好恰当的引导以启迪学生的思维，拓展学生思维的空间，使学生对问题的分析向广、深发展。
①发挥教师的引领作用。
问题分析解决教学过程中，教师是学生学习的组织者、合作者、参与者，教师的作用在于引导。教师的引导作用主要是让学生积极参与到问题的思考与解决中来，给其一个解决问题的方向，而非告诉其问题的答案，当解决某个问题有困难时，才予以适当的知识传授或方法补充。
②给学生创造自主发挥的时间与空间
也可根据学生的学习能力等情况成立学生学习合作小组，在教学进程中，把学习主动权交给学生，让学生互相合作交流，在平等的条件下主动探究，充分发挥学生的学习主体性，使学生在自主的环境中有更多的时间和空间尽情地畅想。努力做到“六让”：
特征让学生观察，
思路让学生探索，
方法让学生寻找，
意义让学生概括，
结论让学生验证，
难点让学生突破。
4、探究问题分析解决后的发展和迁移，促进新知识的生成和新方法的延伸，使问题分析能力获得进一步提升。
问题的发展和迁移是指进行问题分析解决教学时，在创设的问题已经获解的情况下，对问题情境中的新问题、新知识的生长点上，作进一步的探究，从而提出新的问题或获得新的解题方法。这一环节，充分体现了数学思维的深刻性、批判性和创造性，教师通常可采用以下策略：
①剖析错误原因，发现问题的根源。对于学生在问题解决中出现的一些似是而非的“解法”进行必要的反思，或许在错误的解答中会发现新的知识生长点或解决问题的新的策略，获得意外的收获，同时也能纠正学生思维的误区，达到一箭双雕的作用。
②变更条件结论，提出新的问题。随着条件、结论的改变，往往会引出新的问题与新的解题策略，从而获得新的发展与提高。
③换位思考问题，获得更多策略。问题的换位思考，是数学思想的根本，有利于教学内容的深化和延伸，是培养学生探究意识和创新能力的有效途径，有利于进一步提升学生问题分析与解决的能力。

展开更多......

收起↑