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第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
导学案
【学习目标】
1.掌握匀变速直线运动的位移与时间之间的关系，会用公式解匀变速直线运动的问题。
2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系。
【学习重难点】
1.匀变速直线运动的位移与速度的关系式及其应用。（重点）
2.匀变速直线运动的位移与速度的关系式的及其应用。（重点）
3.利用微元法借助v-t图像推导匀变速直线运动位移与时间的关系。（难点）
【知识回顾】
一、匀变速直线运动
1.定义：沿一条直线， 的运动，叫做匀变速直线运动。
2.特点： ① a
② v-t图象是一条倾斜 。
3.斜率的物理意义：代表的是 。
4.匀变速直线运动分类
（1）匀加速直线运动：物体的速度随时间 增加的直线运动。
（2）匀减速直线运动：物体的速度随时间 减小的直线运动。
二、速度与时间的关系
1.公式：
2.适用范围： 直线运动。
3.矢量性：v0、v、a均为矢量，应用时，应先选取 。
(1)一般取v0的方向为 (若v0＝0，则取运动的方向为正方向)。
(2)已知量：a或v与v0的方向相同时取 ，与v0的方向相反时取 。
(3)待求量：对计算结果中的正、负，应根据正方向的规定加以说明。
4.公式的特殊形式:
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
5.“知三求一”的思想:此公式中有四个物理量，知道其中三个就可求第四个物理量。
【自主预习】
匀变速直线运动位移与时间的关系
1.公式： ，特例：当初速度为0时，x＝at2。
2.条件：此公式只适用于 直线运动。
二、速度与位移关系
1.公式： 。
2.推导：速度与时间的关系式v＝v0＋at；位移与时间的关系式x＝v0t＋at2；消掉 即可得公式。
3.条件：此公式只适用于 直线运动。
【课堂探究】
思考与讨论：
当一辆汽车以速度v做匀速直线运动，那么我们如何求出在时间t内这辆汽车的位移？你能想出几种办法？
方法总结：
1.公式法：
2.图像法：在匀速直线运动的v – t 图线中可以用图线与时间轴所围的矩形“ ”表示位移。
【思考与讨论】
（1）若当两辆汽车以相同的速度大小v=3m/s，不同方向做匀速直线运动，那么它们的v-t图像如何画？此时各自图线与t轴所围面积的含义如何描述？
当一辆汽车在不同的时间段，以不同的速度做匀速直线运动，那么我们如何求出在时间t内这辆汽车的位移？
做匀变速直线的物体，在时间t内的位移与时间会有怎样的关系？图线与时间轴所围图形的“面积”的含义又是什么？
【思考与讨论】
以上表格中的数据是“探究小车速度随时间变化的规律”记录的，表中的“速度v”是某个同学得到的小车在0,1，2，……，5几个位置的瞬时速度，但原始纸带没有保存。
(1)瞬时速度可以用某一极短时间内的平均速度来粗略的表示,那么某一时刻瞬时速度是否可以用来粗略表示这一时刻附近的、极短时间内的平均速度？
(2)你能不能根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？
(3)用以下方法，是否可以？ 是否存在误差？ x=0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1=…
(4)如果要提高小车位移估算的精确程度，你认为怎样做才能比较好的减小误差？
【思想与方法】
微元法：在处理复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。
魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”，请同学们观察右面两个图并体会哪一个正多边形更接近圆的周长和面积。
推导：由图可知梯形的面积：，即得位移：
将v＝v0＋at代入上式得：
【思考与讨论】
(1)对于公式： 式中x的含义是什么？是位置还是位移？
(2)如果物体在做匀减速运动，在使用上式分析问题时，需要注意什么？
(3)如果物体运动的初速度为0，做匀加速运动，它的v-t图像是什么样的？那么此时匀变速直线运动的位移与时间的关系式是什么？
一、匀变速直线运动的位移
1.公式：
2.对位移公式的理解:
（1）只适用于 直线运动；
（2）因为υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定 。（一般以 的方向为正方向）
（3）若v0=0，x＝at2
【思考与讨论】
(1)运用初中数学课本中学过的函数图像的知识，你能画出初速度为0的匀变速直线运动x＝at2 的x-t图像吗？
(2)我们研究的是直线运动，为什么你画出来的x-t图像不是直线呢？
【例题1】航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。
（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？
（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？
【思考与讨论】
我们已经知道匀变速直线运动的位移与时间存在定量关系，速度与时间也存在定量关系，那么速度与位移有什么定量关系呢？
二、速度与位移的关系
推导：将以下两个公式联立
和消去时间t可得到：
1.公式：
2.对位移公式的理解:
（1）只适用于 直线运动；
（2）因为v、υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定 。（一般以 的方向为正方向）
（3）若v0=0，
3.v2-x图像和x-v2图像
【例题2】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时屏幕显示的动车速度是126 km/h如图所示。动车又前进了3个里程碑时，速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？
课堂小结：
【自我测评】
1．一质点做匀变速直线运动，其速度 v与时间t的关系为v=4+2t （m/s），关于该质点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．初速度为4 m/s B．加速度为4 m/s2
C．在第2 s末的速度大小为10 m/s D．在第2 s内的位移大小为14 m
2．某高铁列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由0增加到5m/s时位移为25m，则当速度由5m/s增加到10m/s时，它的位移是（　　）
A．25m B．75m C．125m D．175m
3．一物体以20m/s的初速度沿较长的光滑斜面斜向上做加速度大小为5m/s2的匀减速运动，则它的位移为37.5m时所用的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
4．一物体做加速度不变的直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，1s后速度的大小变为5m/s，在这1s内该物体的（　　）
A．位移的大小可能为0.5m B．位移的大小可能为9m
C．加速度的大小可能为3 D．加速度的大小可能为1
5．动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．动力车的初速度为 B．刹车过程动力车的加速度大小为
C．刹车过程持续的时间为 D．内刹车位移为
6．一物体从静止开始做匀加速直线运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当物体速度的平方为时，位移大小为
B．图像的斜率表示加速度的2倍
C．内物体的位移大小为
D．前位移内物体的平均速度大小为
【学后反思】
本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？
第3节　匀变速直线运动的位移与时间的关系
导学案
【学习目标】
1.掌握匀变速直线运动的位移与时间之间的关系，会用公式解匀变速直线运动的问题。
2.理解匀变速直线运动的速度与位移的关系。
【学习重难点】
1.匀变速直线运动的位移与速度的关系式及其应用。（重点）
2.匀变速直线运动的位移与速度的关系式的及其应用。（重点）
3.利用微元法借助v-t图像推导匀变速直线运动位移与时间的关系。（难点）
【知识回顾】
一、匀变速直线运动
1.定义：沿一条直线，加速度不变的运动，叫做匀变速直线运动。
2.特点： ① a恒定不变
② v-t图象是一条倾斜直线。
3.斜率的物理意义：代表的是加速度
4.匀变速直线运动分类
（1）匀加速直线运动：物体的速度随时间均匀增加的直线运动。
（2）匀减速直线运动：物体的速度随时间均匀减小的直线运动。
二、速度与时间的关系
1.公式：v=v0+at
2.适用范围：匀变速直线运动。
3.矢量性：v0、v、a均为矢量，应用时，应先选取正方向。
(1)一般取v0的方向为正方向(若v0＝0，则取运动的方向为正方向)。
(2)已知量：a或v与v0的方向相同时取正值，与v0的方向相反时取负值。
(3)待求量：对计算结果中的正、负，应根据正方向的规定加以说明。
4.公式的特殊形式:
(1)当a＝0时，v＝v0(匀速直线运动)。
(2)当v0＝0时，v＝at(由静止开始的匀加速直线运动)。
5.“知三求一”的思想:此公式中有四个物理量，知道其中三个就可求第四个物理量。
【自主预习】
匀变速直线运动位移与时间的关系
1.公式：x＝v0t＋at2，特例：当初速度为0时，x＝at2。
2.条件：此公式只适用于匀变速直线运动。
二、速度与位移关系
1.公式：v2－v＝2ax。
2.推导：速度与时间的关系式v＝v0＋at；位移与时间的关系式x＝v0t＋at2；消掉时间t即可得公式。
3.条件：此公式只适用于匀变速直线运动。
【课堂探究】
思考与讨论：
当一辆汽车以速度v做匀速直线运动，那么我们如何求出在时间t内这辆汽车的位移？你能想出几种办法？
方法总结：
1.公式法：x=vt
2.图像法：在匀速直线运动的v – t 图线中可以用图线与时间轴所围的矩形“面积”表示位移。
【思考与讨论】
（1）若当两辆汽车以相同的速度大小v=3m/s，不同方向做匀速直线运动，那么它们的v-t图像如何画？此时各自图线与t轴所围面积的含义如何描述？
当一辆汽车在不同的时间段，以不同的速度做匀速直线运动，那么我们如何求出在时间t内这辆汽车的位移？
做匀变速直线的物体，在时间t内的位移与时间会有怎样的关系？图线与时间轴所围图形的“面积”的含义又是什么？
【思考与讨论】
以上表格中的数据是“探究小车速度随时间变化的规律”记录的，表中的“速度v”是某个同学得到的小车在0,1，2，……，5几个位置的瞬时速度，但原始纸带没有保存。
(1)瞬时速度可以用某一极短时间内的平均速度来粗略的表示,那么某一时刻瞬时速度是否可以用来粗略表示这一时刻附近的、极短时间内的平均速度？
(2)你能不能根据表中的数据，用最简便的方法估算实验中小车从位置0到位置5的位移？
(3)用以下方法，是否可以？ 是否存在误差？ x=0.38×0.1+0.63×0.1+0.88×0.1+1.11×0.1+1.38×0.1=…
(4)如果要提高小车位移估算的精确程度，你认为怎样做才能比较好的减小误差？
【思想与方法】
微元法：在处理复杂的变化量问题时，常常先把整个区间化为若干小区间，认为每一小区间内研究的量不变，再求和。这是物理学中常用的一种方法。
魏晋时的数学家刘徽首创了“割圆术”，请同学们观察右面两个图并体会哪一个正多边形更接近圆的周长和面积。
推导：由图可知梯形的面积：，即得位移：
将v＝v0＋at代入上式得：
【思考与讨论】
(1)对于公式：式中x的含义是什么？是位置还是位移？
(2)如果物体在做匀减速运动，在使用上式分析问题时，需要注意什么？
(3)如果物体运动的初速度为0，做匀加速运动，它的v-t图像是什么样的？那么此时匀变速直线运动的位移与时间的关系式是什么？
一、匀变速直线运动的位移
1.公式：
2.对位移公式的理解:
（1）只适用于匀变速直线运动；
（2）因为υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）
（3）若v0=0，x＝at2
【思考与讨论】
(1)运用初中数学课本中学过的函数图像的知识，你能画出初速度为0的匀变速直线运动x＝at2 的x-t图像吗？
(2)我们研究的是直线运动，为什么你画出来的x-t图像不是直线呢？
【例题1】航空母舰的舰载机既要在航母上起飞，也要在航母上降落。
（1）某舰载机起飞时，采用弹射装置使飞机获得10 m/s的速度后，由机上发动机使飞机获得25 m/s2 的加速度在航母跑道上匀加速前进，2.4 s后离舰升空。飞机匀加速滑行的距离是多少？
（2）飞机在航母上降落时，需用阻拦索使飞机迅速停下来。若某次飞机着舰时的速度为80 m/s，飞机钩住阻拦索后经过2.5 s 停下来。将这段运动视为匀减速直线运动，此过程中飞机加速度的大小及滑行的距离各是多少？
解：（1）根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式得：
（2）沿飞机滑行方向建立一维坐标系如图所示，飞机初速度 v0 ＝80 m/s，末速度v＝0，根据匀变速直线运动的速度与时间的关系式得：
,加速度为负值表示方向与初速度方向相反。
再根据匀变速直线运动的位移与时间的关系式，有
飞机起飞时滑行距离为96 m。着舰过程中加速度的大小为32 m/s2 ，滑行距离为100 m。
【思考与讨论】
我们已经知道匀变速直线运动的位移与时间存在定量关系，速度与时间也存在定量关系，那么速度与位移有什么定量关系呢？
二、速度与位移的关系
推导：将以下两个公式联立
和消去时间t可得到：
1.公式：
2.对位移公式的理解:
（1）只适用于匀变速直线运动；
（2）因为v、υ0、α、x均为矢量，使用公式时应先规定正方向。（一般以υ0的方向为正方向）
（3）若v0=0，
3.v2-x图像和x-v2图像
【例题2】动车铁轨旁两相邻里程碑之间的距离是1 km。某同学乘坐动车时，通过观察里程碑和车厢内电子屏上显示的动车速度来估算动车减速进站时的加速度大小。当他身边的窗户经过某一里程碑时屏幕显示的动车速度是126 km/h如图所示。动车又前进了3个里程碑时，速度变为54 km/h。把动车进站过程视为匀减速直线运动，那么动车进站的加速度是多少？它还要行驶多远才能停下来？
解： 沿动车运动方向为正方向建立一维坐标系。把动车通过3000m 的运动称为前一过程，之后到停下来称为后一过程。
设在前一过程中的末位置为 M 点。初速度 v0＝126 km/h＝35 m/s，末速度vM＝54 km/h＝15 m/s，位移 x1＝3000m。对前一过程，根据匀变速直线运动的速度与位移的关系式，有:
对后一过程，末速度 v＝0，初速度 vM＝15 m/s。
由 v2＝vM2＋2ax2 ，有
动车进站的加速度大小为 0.167 m/s2 ，方向与动车运动方向相反；还要行驶 674 m才能停下来。
课堂小结：
【自我测评】
1．一质点做匀变速直线运动，其速度 v与时间t的关系为v=4+2t （m/s），关于该质点的运动，下列说法正确的是（　　）
A．初速度为4 m/s B．加速度为4 m/s2
C．在第2 s末的速度大小为10 m/s D．在第2 s内的位移大小为14 m
【答案】A
【详解】AB．根据速度 v与时间t的关系v=4+2t （m/s），可知初速度为4m/s，加速度为2m/s2，选项A正确，B错误；
C．在第2 s末的速度大小为v2=v0+at2=8 m/s选项C错误；
D．第1 s末的速度大小为v1=v0+at1=6 m/s在第2 s内的位移大小为故D错误。
故选A。
2．某高铁列车在某段距离中做匀加速直线运动，速度由0增加到5m/s时位移为25m，则当速度由5m/s增加到10m/s时，它的位移是（　　）
A．25m B．75m C．125m D．175m
【答案】B
【详解】设高铁的加速度为a，根据速度位移公式可得；将v1=5m/s、v2=10m/s、x1=25m代入后解得故选B。
3．一物体以20m/s的初速度沿较长的光滑斜面斜向上做加速度大小为5m/s2的匀减速运动，则它的位移为37.5m时所用的时间为（　　）
A．3s B．4s C．5s D．6s
【答案】AC
【详解】物体既可能是向上运动的位移为37.5m，也可能是向上运动再返回时整个过程中的位移为37.5m，所以对应的时间有两解。根据，代入数值得整理方程得t2-8t+15=0
解得t1=3s，t2=5s故选AC。
4．一物体做加速度不变的直线运动，某时刻速度的大小为4m/s，1s后速度的大小变为5m/s，在这1s内该物体的（　　）
A．位移的大小可能为0.5m B．位移的大小可能为9m
C．加速度的大小可能为3 D．加速度的大小可能为1
【答案】AD
【详解】当物体加速度与初速度方向相同时，则物体的加速度大小为此时1s内物体的位移大小为当物体加速度与初速度方向相反时，则物体的加速度大小为
此时1s内物体的位移大小为故选AD。
5．动力车在刹车过程中位移和时间的比值与t之间的关系图像如图所示，则下列说法正确的是（　　）
A．动力车的初速度为 B．刹车过程动力车的加速度大小为
C．刹车过程持续的时间为 D．内刹车位移为
【答案】AC
【详解】AB．根据匀变速直线运动的位移公式，可变形为可见，题目中的图像表示汽车刹车时做匀减速直线运动，图线与纵轴的截距表示初速度，所以初速度为20m/s；图线的斜率表示
所以刹车加速度为5m/s2，故A正确，B错误；
C．根据匀变速直线运动的速度公式可求得刹车过程持续的时间为故C正确；
D．由C选项可知，4s末速度已经减为0，根据匀变速直线运动的位移公式，将此匀减速运动看成反方向的初速度为0的匀加速直线运动，则可得4s内的位移为故D错误。故选AC。
6．一物体从静止开始做匀加速直线运动的图像如图所示，下列说法正确的是（ ）

A．当物体速度的平方为时，位移大小为
B．图像的斜率表示加速度的2倍
C．内物体的位移大小为
D．前位移内物体的平均速度大小为
【答案】CD
【详解】A．由图可得，图像斜率为，因此当物体速度的平方为时，位移大小为0.5m，A错误；
B．由于物体是从静止开始做匀加速直线运动的，根据公式可得因此图像的斜率表示加速度倒数的倍，B错误；
C．根据斜率可得物体加速度为；因此根据公式解得内物体的位移大小为，C正确；
D．根据公式可知前位移内物体的运动时间为4s，所以平均速度为，D正确。故选CD。
【学后反思】
本节课学习中，你有哪些收获，还有哪些问题？

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