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第十六章 整式的乘法
16.3.2 完全平方公式
1.理解并掌握完全平方公式的推导过程、结构特点、 几何解释.
2.灵活应用完全平方公式进行计算.
2.填空：
1.说一说乘法的平方差公式？
两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．
(a+b)(a b) =
a2 b2
思考1：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？
思考2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？
（a+b)2= .
a2+2ab+b2
（a-b)2= .
a2-2ab+b2
完全平方公式:
（a+b)2=
a2+2ab+b2
（a-b)2=
a2-2ab+b2
也就是说，两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍.
简记为：“首平方，尾平方，积的2倍放中间”
思考3：你能根据下图中的面积说明完全平方公式吗
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
思考4：观察下面两个完全平方式，比一比，回答下列问题：
1.说一说积的次数和项数.
2.两个完全平方式的积有相同的项吗？与a,b有什么关系？
3.两个完全平方式的积中不同的是哪一项？与 a,b有什么关系？它的符号与什么有关？
公式特征：
3.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
1.积为二次三项式；
2.积中两项为两数的平方和，另一项是两数积的2倍，且与两数中
间的符号相同 ；
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2=a2-2ab+b2.
1.下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(1)(a+b)2=a2 +b2
(2)(a-b)2 =a2 –ab+b2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(a +b)2 =a2+2ab +b2
(a -b)2 =a2 -2ab +b2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
例1.用完全平方公式计算：
解：
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 运用完全平方公式计算：
知识点拨：运用完全平方公式进行简便计算，要熟记完全平方公式的特征，将原式转化为能利用完全平方公式的形式．
2.利用完全平方公式计算：
(1)(x+6)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(x+6)2＝x2+12x+36；
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2；
那 (-x-6)2呢？
它与(b-3a)2的值相等吗？
知识点拨： (a+b)2 与（-a-b)2 相等， (a-b)2 与(b-a)2相等.
(a-b)2与a2-b2值相等吗？为什么？
3.利用乘法公式计算：
(1)982－101×99； (2)20202－2020×4038＋20192.
＝(2020－2019)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395；
(2)原式＝20202－2×2020×2019＋20192
a+(b+c) = a+b+c;
a-(b+c) = a–b–c.
a + b + c = a + ( b + c) ;
a–b–c = a – ( b + c ) .
去括号法则：
把上面两个等式的左右两边反过来，也就添括号：
如果括号前面是正号,括到括号里的各项都不变号;
如果括号前面是负号,括到括号里的各项都改变符号.
添括号法则：
“负变正不变”
例3 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ; (2) (a+b+c)2.
原式=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
解: (1)
(2)原式 = [(a+b)+c]2
= x2-(2y-3)2
= x2-(4y2-12y+9)
= x2-4y2+12y-9.
= (a+b)2+2(a+b)c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
4.计算：(1)(a+2b-1)2； (2)(2x+y+z)(2x-y-z)．
＝4x2－y2-2yz-z2
解：(1)原式＝[(a+2b)-1]2
＝(a+2b)2-2(a+2b) ＋12
＝a2+2ab＋b2-2a－4b+1
(2)原式＝[2x＋(y+z)][2x－(y+z)]
＝4x2－(y+z)2
1.说一说乘法的完全平方公式
2.应用完全平方公式时要注意什么？
(a ± b)2= a2 ±2ab+b2
①项数、符号、字母及其指数
②不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符合公式的要求才行
③弄清完全平方公式和平方差公式不同（从公式结构特点及结果两方面）
1.计算(－a－b)2的结果是( )
A．a2＋b2 B．a2－b2 C．a2＋2ab＋b2 D．a2－2ab＋b2
知识点拨： (a+b)2 与（-a-b)2 相等.
2.下列计算结果为2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2 C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
知识点拨：完全平方公式的逆运算，注意符号.
C
D
3.下列添括号错误的是( )
A．a2－b2－b＋a＝a2－b2＋(a－b)
B．(a＋b＋c)(a－b－c)＝[a＋(b＋c)][a－(b＋c)]
C．a－b＋c－d＝(a－d)＋(c－b)
D．a－b＝－(b＋a)
D
知识点拨：添加括号时，负变正不变.
4．已知(a＋b＋1)(a＋b－1)＝63，求a＋b的值．
解： (a＋b＋1)(a＋b－1)＝63
[(a＋b)＋1][(a＋b)－1]＝63
(a＋b)2－1＝63
(a＋b)2＝64
a＋b＝±8
5. 已知x－y＝5，xy＝－4.
求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝25－8＝17；
解：(1)∵x－y＝5，xy＝－4，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝17，xy＝－4，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝17－8＝9.
知识点拨：本题要熟练掌握完全平方公式的变式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy,(x－y)2＝(x+y)2－4xy.

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