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2024-2025 学年贵州省黔东南州麻江一中高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“| 2| > 2”是“ > 4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要
2.已知集合 = { | 3 < ≤ 2}， = { | = 2 , ∈ }，则 ∩ =( )
A. { 2,2} B. { 2,0} C. { 1,1} D. { 2,0,2}
3.已知不等式 2 + + > 0 解集为{ | 12 < < 2}，下列结论正确的是( )
A. + + > 0 B. > 0 C. < 0 D. < 0
4.如图，①②③④对应四个幂函数的图像，则①对应的幂函数可以是( )
1
A. = 2
2
B. = 3
3
C. = 4
3
D. = 2
5.已知幂函数 ( ) = (3 2 4 3) 2 +1是定义域上的增函数，则 =( )
A. 2 2 B. 23或 3 C. 2 D.
2
3
6 ( ) ( ).已知函数 ( )是定义在 上的奇函数， 1， 2 ∈ (0, + ∞)，且 ≠ ，有 2 1 1 21 2 < 0 成立.设 =1 2
16 (0.252)， = (1)， = 13 ( 14)，则 ， ， 的大小关系为( )
4 3
A. > > B. > > C. > > D. > >
7.已知某种蔬菜的保鲜时间 (单位：小时)与储藏温度 (单位：℃)近似满足函数关系 = + ( , 为常数，
为自然对数底数)，若该品种蔬菜在 5℃时的保鲜时间为 216 小时，在 25℃时的保鲜时间为 24 小时，则在
15℃时，该品种蔬菜的保鲜时间大约为( )
A. 120 小时 B. 96 小时 C. 72 小时 D. 64 小时
8 .已知函数 ( ) = sin( 6 )( > 0)在[0, 6 ]上满足 ( ) ≥
1
2，则 的取值范围是( )
A. (0,2] B. (0,4] C. (0,6] D. (0,8]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 、 均为正实数，则下列选项正确的是( )
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A. > > 0 + 1 1若 ，则 + > B.若 > > 0，则 + > +
C.若 + = 1，则 1的最大值为4 D.若 2 + = 1 ( + )
1
，则 最大值为4
10 ( ) = + .若函数 2+4 ( , ∈ )是 上的奇函数，且 (1) =
4
5，则下列说法正确的有( )
A. = 0
B. (20.2) > (30.2)
C.函数 ( )的最大值为 1
3 2D.若正实数 ， 满足 ( ) + ( 2) = 0 +4，则 的最小值为 6
11.设函数 ( )的定义域为 ， ( + )为奇函数， ( + 2 )为偶函数.当 ∈ [0, ]时， ( ) = ，则下列
结论正确的有( )
A. ( 5 2 ) = 1 B. ( )在(3 ,
7
2 )上单调递减
C.点(8 , 0)是函数 ( )的一个对称中心 D.方程 ( ) + = 0 有 5 个实数解
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.写出一个同时满足下列三个性质的函数 ( ) = ______．
① ( )的图像在 轴右侧；
②若 > 0， > 0，则 ( ) + ( ) = ( )；
③ ∈ (0, + ∞) ≠ ( 1) ( )1， 2 且 1 2， 2 > 0．1 2
2
13.若 > 0， > 0， + = 1 +3 2 1，则 +2 + +1 2 的最大值为______．
14.已知集合 = [ , + 1] ∪ [ + 3, + 6] ，其中 > 0.若存在正数 ，使得对任意 ∈ ，都有 ∈ ，则 的值
是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知集合 = { | 2 < ≤ 6}， = { | 2 2 + 2 1 < 0}．
(1)若 = 5，求集合 ∩ ；
(2)已知 ： ∈ ， ： ∈ ，是否存在实数 ，使 是 的必要不充分条件，若存在实数 ，求出 的取值范
围；若不存在，请说明理由．
16.(本小题 15 分)
已知关于 的一元二次方程 2 2 + 2 = 0 有两个不相等的实数根为 1、 2．
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(1)求实数 的取值范围；
(2)若| 1 + 2 + 1 2| < 1，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )

的最小正周期是 ，将 ( )的图象向右平移3个单位后得到的图
象关于原点对称．
(1)求函数 ( )的图象的对称中心的坐标和对称轴的方程；
(2) 若 1， 2 ∈ ( 6 , 2 )，且 ( 1) = ( 2)，求 ( 1 + 2)的值．
18.(本小题 17 分)
在平面直角坐标系 中，若点 ( 1, 1)， ( 2, 2)，称| 1 + 2| + | 1 + 2|为 、 两点的绝对和，记为| |+．
(1)若 ( 1,1)， (3, 2)，求| |+；
(2)已点 (1,0)，点 在直线 = + 2 上，证明| |+ ≥ 1；
(3)已知点 (0, )， ∈ ，动点 在函数 = 2， ∈ [ 1,1]的图像上，记| |+的最大值为 ( )，求函数 =
( )的最小值．
19.(本小题 17 分)
意大利著名画家达 芬奇将两端固定的项链在重力的作用下自然下垂所形成的曲线称为“悬链线”.双曲余
+
弦函数 = 2 是一种特殊的悬链线函数，其相应的双曲正弦函数为 = 2 ，记函数 ( ) =

．
(1)判断函数 ( )的奇偶性并予以证明；
(2)讨论函数 ( )的单调性；
(3)若对于任意的 ∈ [0, 2]，不等式 4[ ( )]2 4 ( ) + 2 ≥ 0 成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. (答案不唯一)
13.1
14.32
15.解；(1)当 = 5 时， = { | 2 10 + 24 < 0} = { |4 < < 6}，
因为 = { | 2 < ≤ 6}，故 A∩ = { |4 < < 6}．
(2)由 2 2 + 2 1 = ( 1)( + 1) < 0 可得 1 < < + 1，
即 = { | 1 < < + 1}，
因为 是 的必要不充分条件，则集合 ，
1 ≥ 2
所以， + 1 ≤ 6 ，解得 1 ≤ ≤ 5，
因此，实数 的取值范围是{ | 1 ≤ ≤ 5}．
16.解：(1)由题意可得 = ( 2 )2 4( + 2) > 0，即 2 + 2 > 0，
解得 > 1 或 < 2，
即 的范围为( ∞, 2) ∪ (1, + ∞)；
(2)由根与系数的关系可得 1 + 2 = 2 ， 1 2 = + 2，
因为| 1 + 2 + 1 2| < 1，即|2 + 2| < 1，
即| + 2| < 1，可得 3 < < 1，而 > 1 或 < 2，
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所以 的范围为 3 < < 2，
即 的范围为( 3, 2)．
17.解：(1) ∵函数 ( ) = sin( + )( > 0, | | < 2 )的最小正周期是 ，
∴ = 2 = 2， ( ) = sin(2 + )，
( ) 2 将 的图象向右平移3个单位后得到的图象所对应的函数为 = sin(2 + 3 )为奇函数，
2 = ( ∈ ) = 2 + ( ∈ ) ∵ | | < 则 3 ，即 3 ， 2，
∴ = 3， ( ) = sin(2

3 )，
令 2 3 =

2 +
5
，则 = 12 + 2， ∈ ；
令 2 3 = =
+ ，则 6 2， ∈ ，
∴ = ( ) 5 的图象的对称中心的坐标为( 6 + 2 , 0)， ∈ ，对称轴的方程为 = 12 + 2， ∈ ．
(2)若 ∈ ( , 6 2 )
2
，则 = 2 3 ∈ (0, 3 )，
而 = 在(0, 2 2 )上递增，在( 2 , 3 )上递减，

若 1， 2 ∈ ( 6 , 2 )且 ( 1) = ( 2)，
2 + 2 则 1 3 2 3 = ，
可得 1 + =
5
2 6，
∴ ( 1 + 2) = (
5
6 ) = sin(2 ×
5
6 3 ) = sin

3 =
3
2 ．
18.解：(1) ∵ ( 1,1)， (3, 2)，∴由题知| |+ = | 1 + 3| + |1 2| = 3．
(2)证明：∵点 在直线 = + 2 上，∴设 ( , + 2)．
∵ (1,0)，∴ | |+ = | + 1| + | + 2|，
由绝对值不等式可知：| |+ = | + 1| + | + 2| ≥ |( + 1) ( + 2)| = 1，
当且仅当( + 1)( + 2) ≤ 0，即 2 ≤ ≤ 1 时等号成立．
∴ | |+ ≥ 1．
(3) ∵动点 在函数 = 2， ∈ [ 1,1]的图象上，∴设 ( , 2)， ∈ [ 1,1]．
| |+ = | | + | 2 + |， ∈ [ 1,1]．
设 ( ) = | | + | 2 + |， ∈ [ 1,1]．
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则 ( ) = | | + | 2 + |的定义域关于原点对称，且 ( ) = | | + | 2 + | = ( )，
∴函数 ( ) = | | + | 2 + |， ∈ [ 1,1]为偶函数，
故只需研究函数 ( ) = | | + | 2 + |在[0,1]的最大值即可．
当 ≥ 0 时， ( ) = | | + | 2 + | = 2 + + ， ∈ [0,1]，
1
由二次函数性质可知： ( )图象开口向上，对称轴为 = 2，
故函数 ( )在[0,1]上单调递增，
∴ ( ) = (1) = 2 + ，
当 ≤ 1 时， ( ) = | | + | 2 + | = 2 + ， ∈ [0,1]，
1
由二次函数性质可知： ( )图象开口向下，对称轴为 = 2，
故函数 ( ) [0, 1在 2 ]
1
上单调递增，在[ 2 , 1]上单调递减，
∴ ( ) 1 1 = ( 2 ) = 4 ，
2
1 < < 0 | 2 + | = 0 =± ∴ ( ) = | | + | 2 + | = + , 0 ≤ ≤ 当 时，令 ，得 ，
2
，
+ + , < ≤ 1
1
由二次函数性质可知： = 2 + 开口向下，对称轴为 = 2，
= 2 + + 1开口向上，对称轴为 = 2，故 =
2 + + 在( , 1]上单调递增．
①当 ≤ 1 12，即 4 ≤ < 0 时， =
2 + 在[0, ]上单调递增，
此时 (1) = 2 + ≥ 7 14， ( ) = ≤ 2，
∴ ( ) = (1) = 2 + ；
1
②当2 < < 1 1 < <
1 1 1
，即 4时， =
2 + 在[0, 2 ]上单调递增，在( 2 , ]上单调递减，此时
(1) = 2 + ∈ (1, 74 ), (
1 1 1 5
2 ) = 4 ∈ ( 2 , 4 )，
1 7
∴ ( ) = 4
, 1 < < 8

2 + , 7
，
8 ≤ <
1
4
1 , < 7
综上， ( ) = 4 8，
2 + , ≥ 78
当 < 7 18时， ( ) = 4 在( ∞,
7
8 )上单调递减， ( ) =
1
4 > (
7
8 ) =
9
8；
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≥ 7 7 7 9当 8时， ( ) = 2 + 在[ 8 , + ∞)上单调递增， ( ) = 2 + ≤ ( 8 ) = 8．
∴函数 = ( ) 9的最小值为8．
19.解：(1) ( )为奇函数，证明如下：

由题意可知， ( ) = + ，定义域为 ，

因为 ( ) = + = ( )，所以 ( )为奇函数；
2
(2) 1 2因为 ( ) = + = 2 +1 = 1 2 +1，
而 = 2 + 1 在 2上为增函数，所以 = 2 +1在 上为减函数，
2
所以由复合函数的单调性可知 ( ) = 1 2 +1在 上为增函数；
(3)由(2)可知 ( )在 ∈ [0, 2]上为增函数，
3
所以 ( ) ∈ [0, 5 ]，
令 = ( ) ∈ [0, 3，则 5 ]，
所以对于任意的 ∈ [0, 2]，不等式 4[ ( )]2 4 ( ) + 2 ≥ 0 成立，
3
等价于对于任意的 ∈ [0, 5 ]，不等式 4
2 4 + 2 ≥ 0 成立，
即 ≥ 4 2 + 4 + 2 ∈ [0, 3对任意的 5 ]恒成立，
令 ( ) = 4 2 + 4 + 2，则 ( ) 1的图象开口向下，对称轴为 = 2，
( ) = ( 1 1 1所以 2 ) = 4 × 4+ 4 × 2 + 2 = 3，
所以 ≥ 3，即 的取值范围是[3, + ∞)．
第 7页，共 7页

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