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2025-2026学年广西南宁三十三中高一（上）9月月考数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { 4,0,1,2,8}， = { | 3 = }，则 ∩ =( )
A. {0,1,2} B. {1,2,8} C. {2,8} D. {0,1}
2.已知集合 = { | 是小于 9 的正整数}， = {1,3,5}，则 中元素的个数为( )
A. 0 B. 3 C. 5 D. 8
3.命题 ： > 2， 2 1 ≥ 0，则命题 的否定是( )
A. > 2， 2 1 < 0 B. ≤ 2， 2 1 < 0
C. ≤ 2， 2 1 > 0 D. ≤ 2， 2 1 ≤ 0
4.下列函数的最值中错误的是( )
A. + 1 的最小值为 2 B.已知 > 0，2 3
4
的最大值是 2 4 3
C.已知 > 1 1， + 1的最小值为 3 D. (10 )的最大值 5
5.若 > > 0， < < 0，则一定有( )
A. >

B.

< C. > D. <
6.若 > 0， > 0，则“ + ≤ 4”是“ ≤ 4”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
7.关于 的不等式 2 2 8 2 < 0( > 0)的解集为{ | 1 < < 2}，且 2 1 = 15，则 =( )
A. 52 B.
7 C. 15 152 4 D. 2
8.定义运算： = ( + )( , ∈ ).若关于 的不等式( ) (1 2 ) < 1 恒成立，则实数 的取值范
围为( )
A. { | 1 < < 1} B. { | 12 < <
3
2 }
C. { | 32 < <
1
2 } D. { |0 < < 2}
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若 ： 2 + 6 = 0 是 ： + 1 = 0 的必要不充分条件，则实数 的值可以为( )
A. 2 B. 1 12 C. 3 D. 0
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10.已知关于 的一元二次不等式 2 + + ≥ 0 的解集为{ | ≤ 2 或 ≥ 3}，则下列说法正确的是( )
A. > 0
B.不等式 + > 0 的解集为{ | < 6}
C.不等式 2 + < 0 的解集为{ | 1 12 < < 3 }
D. + + ≥ 0
11.已知 ， 为正实数，且 + 2 + = 16，则( )
A. 2 + 的最小值为 8 B. 1 1 2 +1 + +2的最小值为 2
C. 1 6 2 1的最大值为 10 D. + 9 的最小值为 10
三、填空题：本题共 3小题，共 15分。
12.设集合 = {2,3,4,5}， = {4,5,6}，则满足 且 ∩ ≠ 的集合 有______个.
13.设 > 0， > 0，且 + 2 = 1 1 2，则 + 的最小值为______．
2
14.已知关于 的不等式( )( + 1) ≥ 0 对 ∈ 恒成立，且 > 0，则 + = 1+3 ______， 的最小
值是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
求下列不等式的解集：
(1) 2 + 3 + 10 < 0
(2) 2 2 ≤ 15
4
(3) 1 ≥ 2
16.(本小题 15 分)
已知集合 = { | 1 < < 2 + 3}， = { | 7 ≤ ≤ 4}．
(1)若 = 2，求 ∪ ；
(2)若 ∩ ( ) = ，求实数 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为 7500 3，深为 3 .如果池底每平方米的造价为 200 元，
池壁每平方米的造价为 150 元．
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(1)若底部长为 ，总造价为 元，写出总造价 与 的关系式．
(2)当底部长为 为多少 时，总造价最低？最低总造价是多少？
18.(本小题 17 分)
已知函数 = 2 (2 + 1) + 2．
(1)若不等式 > 14的解集为 ，求实数 的取值范围；
(2)解关于 的不等式 > 0：
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2 2 + 2 2， ( ) = 2 + 3 2 4( ∈ )．
(1)当 = 1 时，解不等式 ( ) > ( )；
(2)若对任意 > 0，都有 ( ) > ( )成立，求实数 的取值范围；
(3)若对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ [0,1]，使得不等式 ( 1) > ( 2)成立，求实数 的取值范围．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.12
13.9
14.1 6
15.(1) 9 31 3 31对 2 + 3 + 10 进行配方，得 2 + 3 + 24 + 4 = ( + 2 ) + 4．
( + 3因为 )2 ≥ 0 3 312 ，所以( +
2
2 ) + 4 > 0 恒成立，故
2 + 3 + 10 < 0 的解集为 ．
(2)由 2 2 ≤ 15，移项得 2 2 15 ≤ 0，配方得( 1)2 ≤ 16．
开方得 4 ≤ 1 ≤ 4，解得 3 ≤ ≤ 5，所以解集为{ | 3 ≤ ≤ 5}．
(3) 4 ≥ 2 4 2( 1)由 1 ，移项通分得 1 ≥ 0
2
，即 1 ≥ 0
+2
，等价于 1 ≤ 0．
则( + 2)( 1) ≤ 0 且 1 ≠ 0，解得 2 ≤ < 1，故解集为{ | 2 ≤ < 1}．
16.解：(1)当 = 2 时， = { |1 < < 7}，
∴ ∪ = { | 7 ≤ < 7}；
(2) ∩ ( ) = ，则 是 的子集， = ( ∞, 7) ∪ (4, + ∞)，
当 1 ≥ 2 + 3，即 ≤ 4 时， = ，满足题意，
> 4 > 4
当 > 4 时， 2 + 3 ≤ 7或 1 ≥ 4，
解得： ≥ 5，
综上得 的取值范围是：( ∞, 4] ∪ [5, + ∞)．
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17.解：(1) 7500由题意可得，贮水池的底面积为 3 = 2500
2，底面造价为 2500 × 200 = 500000 元．
设底部长为 2500 2500，则宽为 ，贮水池侧面积为 2 × ( + ) × 3，
2500
侧面造价为：2 × ( + ) × 3 × 150 = 900 × ( +
2500
)．
总造价为： = 900 × ( + 2500 ) + 500000．
(2) + 2500 ≥ 2 2500因为 = 100
2500
，当且仅当 = ，即 = 50 时取等号，
此时 有最小值 900 × 100 + 500000 = 590000 元= 59 万元．
18.(1) 1不等式 > 4的解集为 ，即
2 (2 + 1) + 94 > 0 恒成立；
当 = 0 时， + 94 > 0 的解集不为 ，不合题意；
> 0
当 ≠ 0 时， 2 (2 + 1) + 94 > 0 恒成立，则 = [ (2 + 1)]2 4 × × 94 < 0
，
1 1
解得4 < < 1，所以实数 的取值范围为( 4 , 1)．
(2)由题意得 = 2 (2 + 1) + 2 = ( 1)( 2)，
当 = 0 时， = + 2 > 0 解得 < 2；
当 > 0 时， = ( 1)( 2) 1是开口向上的抛物线，两根分别为 和 2，
1 1 1
当 < 2，即 > 2时， > 0 的解为 < 或 > 2，
1 1
当 = 2，即 = 2时， > 0 的解为 ≠ 2，
1
当 > 2，即 0 < <
1
2时， > 0 的解为 < 2 或 >
1
；
当 < 0 时， = ( 1)( 2) 1 1是开口向下的抛物线，两根分别为 和 2，且 < 2，
此时 > 0 1的解为 < < 2；
1
综上，当 < 0 时，不等式的解集为( , 2)，当 = 0 时， > 0 的解集为( ∞,2)，
当 0 < < 1 12时，不等式的解集为( ∞,2) ∪ ( , + ∞)；
= 1当 2时，不等式的解集为{ | ≠ 2}；
当 > 1 12时，不等式的解集为( ∞, ) ∪ (2, + ∞)．
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19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 2 2 2 + 1， ( ) = 2 + 3 5，
所以 ( ) ( ) = 2 5 + 6 > 0，解得 < 2 或 > 3，
所以不等式 ( ) > ( )的解集为( ∞,2) ∪ (3, + ∞)．
(2)若对任意 > 0，都有 ( ) > ( )成立，即 2 (2 + 3) + 6 > 0 对任意 > 0 恒成立，
不等式可化为(2 + 3) < 2 + 6，即 2 + 3 < + 6 对任意 > 0 恒成立，
因为 + 6 ≥ 2 6
6
，当且仅当 = ，即 = 6时等号成立，
所以 2 + 3 < 2 6 3，解得 < 6 2，
所以 3的取值范围是( ∞, 6 2 ).
(3)若对 1 ∈ [0,1]， 2 ∈ [0,1]，使得不等式 ( 1) > ( 2)成立，
即只需满足 ( ) > ( ) ， ∈ [0,1]，
( ) = 2 + 3 2 4，对称轴 = 32， ( )在[0,1]上单调递增，
( ) = (0) = 2 4，
( ) = 2 2 2 + 2 2 ∈ [0,1] = ， ，对称轴 2，

① 2 ≤ 0，即 ≤ 0 时， ( )在[0,1]上单调递增， ( ) = (0) = 2
2 > ( ) = 2 4 恒成立；
②0 < < 1 2 ，即 0 < < 2 时， ( )在[0, 2 )上单调递减，在( 2 , 1]上单调递增，
( ) = ( ) = 3 2 2 2 + 2， ( )
2
= 4，
3所以 2
2 + 2 > 2 4，故 0 < < 2；

③ 2 ≥ 1，即 ≥ 2 时， ( )在[0,1]上单调递减， ( ) = (1) =
2 2 + 4， ( ) 2 = 4，
所以 2 2 + 4 > 2 4，解得 2 ≤ < 4．
综上： ∈ ( ∞,4)．
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