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2025-2026学年山东省金乡县青华园实验高中高二（上）9月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.中山路上有 ， ， 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为 25 秒，35 秒，45 秒，
某辆车在中山路上行驶，则在三处都不停车的概率是( )
A. 25 35 25 35192 B. 576 C. 576 D. 192
2.两个事件 ， 相互独立，则( )
A. ( ) = ( ) + ( ) B. ( ) = ( ) ( )
C. ( ∪ ) = ( ) + ( ) D. ( ∪ ) = ( ) ( )
3.有两个质地均匀、大小相同的正四面体玩具，每个玩具的各面上分别写有数字 1，2，3，4.把两个玩具各
抛掷一次，向下的面的数字之和能被 5 整除的概率为( )
A. 1 1 3 116 B. 4 C. 8 D. 2
4.围棋起源于中国，据先秦典籍《世本》记载“尧造围棋，丹朱善之”，围棋至今已有四千多年历史，蕴
含着中华文化的丰富内涵.在某次国际比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两
个小组，其中一个小组有 3 位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙不在同一个小组的概率为( )
A. 1 B. 2 3 710 5 C. 5 D. 10
5.有一个正方体的玩具，六个面标注了数字 1，2，3，4，5，6，甲、乙两位学生进行如下游戏：甲先抛掷
一次，记下正方体朝上的数字为 ，再由乙抛掷一次，朝上数字为 ，若| | ≤ 1 就称甲、乙两人“默契
配合”，则甲、乙两人“默契配合”的概率为( )
A. 19 B.
2 C. 7 D. 49 18 9
6.现有 7 张分别标有 1，2，3，4，5，6，7 的卡片，甲一次性从中随机抽取 5 张卡片，抽到的卡片数字之
和为 ，剩下的 2 张卡片数字之和为 ，则 ≥ 3 的概率为( )
A. 57 B.
2 4 3
7 C. 7 D. 7
7.现有 5 张完全相同的卡片，分别写有字母 ， ， ， ， ，从中任取一张，看后再放回，再任取一张.
甲表示事件“第一次抽取卡片的字母为 ”，乙表示事件“第二次抽取卡片的字母为 ”，丙表示事件“两
次抽取卡片的字母相邻”，丁表示事件“两次抽取卡片的字母不相邻”，则( )
A.乙与丁相互独立 B.甲与丙相互独立 C.丙与丁相互独立 D.甲与乙相互独立
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8.当 ( ) > 0 时，若 ( | ) + ( ) = 1，则事件 与 ( )
A.互斥 B.对立 C.独立 D.不独立
二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.概率是对随机事件发生可能性大小的度量，通过实验和观察的方法可以得到实验中某事件发生的频率，
进而用频率得到某事件的概率的估计．
利用计算机模拟掷两枚硬币的实验，在重复实验次数为 20，100，500 时各做 5 组实验，得到事件 =“一
个正面朝上，一个反面朝上”.发生的频数和频率表如下：
= 20 = 100 = 500
序号
频数 频率 频数 频率 频数 频率
1 12 0.6 56 0.56 261 0.522
2 9 0.45 50 0.55 241 0.482
3 13 0.65 48 0.48 250 0.5
4 7 0.35 55 0.55 258 0.516
5 12 0.6 52 0.52 253 0.506
用折线图表示频率的波动情况如图所示：
根据以上信息，下面说法正确的有( )
A.实验次数相同时，频率可能不同，说明随机事件发生的频率具有随机性
B.实验次数较小时，频率波动较大；实验次数较大时，频率波动较小；所以实验时，实验次数越少越好
C.随机事件发生的频率会随着实验次数增加而逐渐稳定在一个固定值(即随机事件发生的概率)附近
D.我们要得到某事件发生的概率时，只需要做一次随机实验得到事件发生的频率即为概率
10.抛掷一枚骰子 1 次，记“向上的点数是 4，5，6“为事件 ，“向上的点数是 1，2“为事件 ，“向上
的点数是 1，2，3“为事件 ，“向上的点数是 1，2，3，4“为事件 ，则下列关于事件 ， ， ， 判断
正确的有( )
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A. 与 是互斥事件但不是对立事件 B. 与 是互斥事件也是对立事件
C. 与 是互斥事件 D. 与 不是对立事件也不是互斥事件
11.下列对各事件发生的概率判断正确的是( )
A. 1某学生在上学的路上要经过 4 个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是3，
4
那么该生在上学路上到第 3 个路口首次遇到红灯的概率为27
B. 1 1 1三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为5，3，4，假设他们破译密码是彼此独立的，则
2
此密码被破译的概率为5
C.甲袋中有 8 个白球，4 个红球，乙袋中有 6 个白球，6 个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球
1
的概率为2
D.设两个独立事件 和 1都不发生的概率为9， 发生 不发生的概率与 发生 不发生的概率相同，则事件
2
发生的概率是9
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
12.从 3 双鞋子中，任取 4 只，其中至少有两只鞋是一双，这个事件是______. (填“必然”，“不可能”或
“随机”)事件．

13.已知事件 ， 互相独立，且 ( ∩ ) = 1 12 , ( ∩ ) = 5，则 ( ) = ______．
14.袋子中装有分别标注数字为 1，2，3，4，5 的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随
机取出两个小球，则取出的小球上标注的数字之和为 5 或 7 的概率是______．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
判断下列各对事件是不是互斥事件，并说明理由．
某小组有 3 名男生和 2 名女生，从中任选 2 名同学去参加演讲比赛，其中：
(1)“恰有 1 名男生”和“恰有 2 名男生”；
(2)“至少有 1 名男生”和“至少有 1 名女生”；
(3)“至少有 1 名男生”和“全是男生”；
(4)“至少有 1 名男生”和“全是女生”．
16.(本小题 15 分)
某单位有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为 24，16，8，现在通过某项检查，采用分层抽样的方法
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从中抽取 6 人进行前期检查．
(1)求甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取的人数和每一位员工被抽到的概率？
(2)若所抽取的 6 人中恰有 2 人合格，4 人不合格，现从这 6 人中再随机抽取 2 人检查，求至少有 1 人合格
的概率．
17.(本小题 15 分)
从一副扑克牌(去掉大、小王，共 52 张)中随机选取 1 张，试求下列事件的概率：
(1)这张牌是红色牌；
(2)这张牌是黑色 ；
(3)这张牌是黑色 、黑色 或黑色 ；
(4)这张牌牌面是 5 的倍数且是红色；
(5)这张牌不是方片．
18.(本小题 17 分)
袋中装有 6 个形状、大小完全相同的球，其中黑球 2 个、白球 2 个、红球 2 个，规定取出一个黑球记 0 分，
取出一个白球记 1 分，取出一个红球记 2 分，抽取这些球的时候，谁也无法看到球的颜色，首先由甲取出
3 个球，并不再将它们放回原袋中，然后由乙取出剩余的 3 个球，规定取出球的总积分多者获胜．
(1)求甲、乙成平局的概率；
(2)从概率的角度分析先后取球的顺序是否影响比赛的公平性．
19.(本小题 17 分)
如图在四棱锥 中，底面 为菱形，△ 为正三角形，平面 ⊥平面 ， 、 分别是 、
的中点．
(1)证明： ⊥ ；
(2)若 是棱 上一点，三棱锥 与三棱锥 的体积相等，求 点的位置．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.必然
13. 710
14.25
15.(1)在所选 2 名同学中，“恰有 1 名男生”实质选出的是“1 名男生和 1 名女生”，
它与“恰有 2 名男生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
(2)“至少有 1 名男生”包括“1 名男生和 1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果，
而“至少有 1 名女生”包括“1 名男生和 1 名女生”和“2 名都是女生”两种结果，
它们可能同时发生，所以不是互斥事件．
(3)“至少有 1 名男生”包括“1 名男生和 1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果，
这与“全是男生”可能同时发生，所以不是互斥事件．
(4)“至少有 1 名男生”包括“1 名男生和 1 名女生”和“2 名都是男生”两种结果，
它与“全是女生”不可能同时发生，所以是互斥事件．
16.解：(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3：2：1，
由于采用分层抽样的方法从中抽取 6 人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人，2 人，1 人．
该企业总共有 24 + 16 + 8 = 48 名员工，
记事件 ：“任意一位被抽到”，由于每位员工被抽到的概率相等，
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6 1
所以每一位员工被抽到的概率为 ( ) = 48 = 8．
(2)记事件 ：“至少有 1 人合格”，
记其中合格的 2 人的分别为 ， ，不合格的 4 人的分别为 ， ， ， ，
则从 6 人的中随机抽取 2 人的所有可能结果有：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共 15 种，
其中至少有 1 人的合格的结果有：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，共 9 种，
故至少有 1 9 3人的合格的概率为 ( ) = 15 = 5．
17.根据题意，这副牌共有 52 张，
(1) 26 1这张牌是红色牌有 26 张，∴这张牌是红色牌的概率为52 = 2；
(2) 2 1这张牌是黑色 有 2 张，∴这张牌是黑色 的概率为52 = 26；
(3) 6 3这张牌是黑色 、黑色 或黑色 有 6 张，∴这张牌是黑色 、黑色 或黑色 的概率为52 = 26；
(4)这张牌牌面是 5 4 1的倍数且是红色有 4 张，∴这张牌牌面是 5 的倍数且是红色的概率为52 = 13；
(5) 39 3这张牌不是方片有 39 张，∴这张牌不是方片的概率为52 = 4．
18.解：(1)记黑球为 1，2 号，白球为 3，4 号，红球为 5，6 号，
则甲的可能取球共有以下 20 种情况：
123，124，125，126，134，135，136，145，146，156，
234，235，236，245，246，256，345，346，356，456，
甲乙平局时都得 3 分，所以甲取出的三个小球是一黑一白一红，共 8 种情况，
8 2
故平局的概率 1 = 20 = 5．
(2)甲获胜时，得分只能是 4 分或 5 分，即取出的是 2 红 1 白，1 红 2 白，2 红 1 黑共 6 种情况，
( ) = 6 3故先取者 甲 获胜的概率 2 20 = 10，
后取者(乙)获胜的概率 2 3 33 = 1 5 10 = 10，
所以 2 = 3，故先取后取获胜的概率一样．
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19.(1)证明：连接 ，∵ = 且 是 的中点，∴ ⊥ ．
又平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ， 平面 ．
∴ ⊥平面 ， 平面 ，∴ ⊥ ．
又 为菱形，且 、 分别为棱 、 的中点，∴ // ．
∵ ⊥ ，∴ ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
∴ 平面 ，∴ ⊥ ．
(2)解：如图，连接 、 ，

设 =

，则 = +1，∴ = +1 = +1 ，
1 1
又 = 4 = 4 = . ∴
= 1 +1 4．
1
解得 = 3，即 点在 上靠近 点的四等分点处．
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