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重庆市高 2026 届拔尖强基联盟高三上十月联合考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合 = {1,2,3,4,5,6}， = {1,2,3}， = {2,3,4,5}，则( ) ∪ =( )
A. {4,5} B. {2,3,4,5} C. {3,4,5,6} D. {2,3,4,5,6}
2.下列命题为真命题的是( )
A. ∈ ， + | | ≥ 0 B. 0 ∈ ，cos 0 = 2
C. ∈ ， + < 2 D. ∈ ， 20 0 0 + 1 = 0
3.下列函数中，既是奇函数，又在区间(0,1)上单调递增的是( )
2
A. = + 1 B. = ln| | C. = 3 D. = sin
4 .设4

2，则 1 + sin2 + 1 sin2 =( )
A. 2sin B. 2cos C. 2sin D. 2cos
1
5.设 = log 34， = log13， = 2，则 ， ， 的大小关系为( )
2
A. > > B. > > C. > > D. > >
6.底面半径为 1 的圆锥，其轴截面中两条母线的夹角为钝角，那么其侧面展开所得扇形的面积可能是( )
A. 2 B. 53 C.
3
2 D.
4
3
7.已知函数 = 3sin( + )( > 0)的部分图象如图所示.若 ， ， ， 四点在同一个圆上，则 =( )
A. 1 B. 1 2 C. 2 D.
8.若函数 ( ) = ln( 1) + 2 ，( ∈ )，则 ( ) ≤ 0 恒成立时，则 的取值范围是( )
A. {1} B. { } C. [ , + ∞) D. [1, + ∞)
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
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A. sin1cos2tan3 > 0 B. cos38 cos22 cos52 sin22 = 32
C. 1已知角 的终边 ( 3,4)，则 sin + cos = 5 D.函数 = sin( +
) 3 的图象关于点( 6 , 0)对称
10.设 ( ) 1是定义在 上的奇函数，且当 > 0 时， ( ) = 2ln + 22 3 ，则( )
A. ( 1) = 52 B.当 < 0 时， ( ) = 2ln( )
1 22 3
C. ( )恰有 3 个零点 D. (2) < ( ) < (4)
11.在△ 中，角 ， ， cos 2 所对边分别为 ， ， ， 的中点为 ， = 2，且cos = ，延长 到 ，
使点 为线段 的中点，下列说法正确的是( )
A. = 3 B. △ 的面积的最大值为 3
C. △ 21 2 21 2 3若 为锐角三角形， 的取值范围为( 3 , 3] D. 的最小值为 3
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设函数 ( ) = 3 (1+ ) (1)，则
→0
= ．
13.已知函数 ( ) = cos2 + sin 1 ( ， 2 ) = 0， ∈ (0, )，则 ( )的最大值为 ．
14.勾股数是指一组能构成直角三角形边长的正整数( , , )，即 2 + 2 = 2.已知有三个三角形的边长均为
勾股数，其中两个三角形的三边长为(3,4,5)和(5,12,13) ，若这三个三角形的最小角之和恰为2，则第三个三
角形周长的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
如图，平面四边形 中，△ 的面积为 8 3， 为∠ 的角平分线，∠ = 2 3， = 8．
(1)求边 的长度;
(2)若△ 14 3的外接圆直径 2 = 3 ，求△ 的周长．
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16.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1
1
1中， 为线段 的中点，侧棱 1上点 ， 满足 = 2 1．
(1)证明： //平面 1 ;
(2)若 = = 1 = 3， 1 ⊥平面 ， ⊥ ， = 2，求直线 与平面 1 所成角的正弦值．
17.(本小题 15 分)
2025 年渝超联赛正如火如荼地进行，联赛分两个阶段，第一阶段为各赛区比赛，第二阶段为总决赛.联赛积
分规则为：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分.九龙坡区队属于中心城区赛区，该赛区共有 11
支球队进行单循环比赛(每支参赛队伍均与其他所有队伍恰好比赛一次).已知九龙坡区队在与赛区中任何一
1 1 1
个对手比赛时，获胜的概率均为2，平局的概率均为4，失利的概率均为4，且各场比赛结果相互独立．
(1)九龙坡区队教练组为研究观众人数对球队成绩的影响，用 模拟了该球队在 5 种不同观众人数(单位：
千人)下的比赛表现(每场均模拟完整的小组赛).模拟数据如下：
场均观众人数 (千人) 8 12 6 15 9
小组赛积分 10 16 8 18 13
请计算场均观众人数 (千人)与小组赛积分 的样本相关系数 (精确到 0.01)，并说明两者之间的线性相关程
度;
(2)九龙坡区队在 9 月 13 日的揭幕赛中以 2: 3 失利于渝中区队，积 0 分.根据赛事规则推算，在中心城区赛
区，球队至少需要获得 23 分才有晋级总决赛的可能.求九龙坡区队在第一阶段未来赛事中至少获得 23 分的
概率．

附：相关系数 = =1 (
)( ) ， 34 ≈ 5.83
=1 ( )2

=1 ( )2
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18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 : 2 +
1
2 = 1( > > 0)的左右焦点分别为 1， 2，其长轴长为 4，离心率为2，过点 2的直线
交椭圆于 ， 两点，点 在 轴上方，线段 的中点为 ，△ 1 2的重心为 ．
(1)求椭圆 的方程;
(2)若 2 = 2 ，△ 1 和△ 面积分别为 1， 2．
(ⅰ)求 的取值范围;
(ⅱ) 求 1 的取值范围．2
19.(本小题 17 分)
给定函数 = ( )，若曲线 = ( )上存在 ( ≥ 2)个不同的点 1， 2， ， 满足曲线在 = ( )在 1， 2，
， 这 个点处的切线重合，则称集合 = { 1 , 2, , }为函数 = ( )所对应的一个“ 重切点集”．
(1)函数 ( ) = 2 + 4| |，求出 = ( )对应的一个“2 重切点集”;
(2)函数 ( ) = 2cos ( 3cos sin ) + 1 62 ， ∈ [0,4 ]，求出 = ( )对应的一个“4 重切点集”;
(3)函数 ( ) = (2 + ) ， ∈ 是否存在对应的“ 重切点集”，如果有，请写出;如果没有，请说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.14
14.154
15.解：(1)因为 为∠ 的角平分线，∠ = 2 3，所以∠ = ∠ = 3，
而 = 8 △ 8 3 1，因此由 的面积为 得：2 × 8

3 = 8 3，解得 = 4，
所以由余弦定理得： = 2 + 2 2 · cos∠ = 82 + 42 2 × 8 × 4 × 12 = 4 3．
(2) 14 3 14 3因为△ 的外接圆直径 2 = 3 ，所以sin∠ = 3 ，
14 3 3
而由(1)知：∠ = 3，因此 = 3 × 2 = 7，而 = 8，
1
所以由余弦定理得：72 = 2 + 82 2 × 8 × 2 ，解得 = 3 或 5，
因此△ 的周长为 18 或 20．
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16.(1)证明：如图：
取 1的中点 ，连接 、 ．
因为点 是线段 的中点，所以 // 1 ，
而 平面 1 ， 1 平面 1 ，因此 //平面 1 ．
1
在三棱柱 1 1 1中，因为 = 2
//
1，所以 ，1 =
因此四边形 1 是平行四边形，所以 // 1 ，
而 平面 1 ， 1 平面 1 ，因此 //平面 1 ．
因为 、 平面 ， ∩ = ，所以平面 //平面 1 ，
而 平面 ，因此 //平面 1 ．
(2)因为 1 ⊥平面 ， 、 平面 ，所以 1 ⊥ 、 1 ⊥ ，
而 ⊥ ，因此 、 、 1两两垂直，
所以以 为坐标原点， 、 、 1所在直线分别为 、 、 轴，建立空间直角坐标系如下图：
在三棱柱 1 1 1中，因为 = = 1 = 3， = 2，
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所以 0,0,0 、 3,0,0 、 0,3,0 、 0,0,2 、 1 3,0,3 ，
因此 = 3, 3,0 ， = 0, 3,2 ， 1 = 3, 3,3 ．
设平面 1 的法向量为 = , , ，
1· = 0 + = 0因此由 得： ,
· = 0 3 + 2 = 0
所以取 = 2 得 = 3， = 1，因此 = 1,2,3 是平面 1 的一个法向量．
若直线 与平面 1 所成角为 ，
·
则 sin = cos < , > = = 9 = 3 7，
· 6 7 14
因此直线 与平面 1 所成角的正弦值为
3 7．
14
17.(1) = 8+12+6+15+9场均观众人数均值 5 = 10 =
10+16+8+18+13
，小组赛积分均值 5 = 13，
计算分子5 =1 ( )( )：
(8 10)(10 13) = ( 2) × ( 3) = 6
(12 10)(16 13) = 2 × 3 = 6
(6 10)(8 13) = ( 4) × ( 5) = 20
(15 10)(18 13) = 5 × 5 = 25
(9 10)(13 13) = ( 1) × 0 = 0
分子总和为 6 + 6 + 20 + 25 + 0 = 57，
计算分母项：
5 ( )2=(8 10)2+(12 10)2+(6 10)2+(15 10)2+(9 10)2 =1 = 4 + 4 + 16 + 25 + 1 = 50
5 ( )2=(10 13)2+(16 13)2+(8 13)2+(18 13)2+(13 13)2 =1 = 9 + 9 + 25 + 25 + 0 = 68
分母为 50 × 68 = 3400 = 10 34 ≈ 10 × 5.83 = 58.3
= 57则 58.3 ≈ 0.98，说明场均观众人数与小组赛积分高度正线性相关；
(2)
11 支球队单循环赛，每队需赛 11 1 = 10 场，揭幕赛已赛 1 场(负，积 0 分)，故剩余 10 1 = 9 场，
设剩余 9 场中胜 场、平 场、负 场( , , 为非负整数)，满足：
+ + = 9 且 3 + ≥ 23
由 3 + ≥ 23 且 ≤ 9 ，得 3 + (9 ) ≥ 23 → 2 ≥ 14 → ≥ 7，
故 的可能取值为 7，8，9
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当 = 7 时： ≥ 23 3 × 7 = 2，结合 ≤ 9 7 = 2，得 = 2， = 0，
9! 1 1 9
组合数(选 7 场胜、2 场平)为 77!2!0! = 36，概率为 36 × ( 2 ) × ( )
2
4 = 512；
当 = 8 时： ≥ 23 3 × 8 = 1，结合 ≤ 9 8 = 1，得 = 0 或 1：
= 0 9! 1 1 9， = 1：组合数 8 18!0!1! = 9，概率 9 × ( 2 ) × ( 4 ) = 1024；
= 1 9! 1 1 9， = 0：组合数 = 9，概率 9 × ( )88!1!0! 2 × ( )
1
4 = 1024；
9 9 9
总概率为1024 + 1024 = 512；
当 = 9 9! 1 1时： = 0， = 0，组合数9!0!0! = 1，概率为 1 × ( )
9
2 = 512；
9 9 1 19
所有情况概率之和为512+ 512 + 512 = 512
18.解：(1) 1因为椭圆 的长轴长为 4，所以 = 2，而其离心率为2，因此 = 2
2 12 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 4 + 3 = 1．
2 2(2)(ⅰ)因为椭圆 : 4 + 3 = 1 的左右焦点分别为 1， 2，所以 1 1,0 、 2 1,0 ．
因为过点 2的直线 交椭圆于 ， 两点，点 在 轴上方，所以直线 的斜率不为 0，因此设直线 的方程为 =
+ 1．
因为点 在 轴上方，所以设 1, 1 1 > 0 、 2, 2 2 < 0 ．
= + 1
由 2 2 得： 3 2 + 4 2 + 6 9 = 0， = 6 2 + 36 3 2 + 4 = 144 2 + 1 > 0，
4 + 3 = 1
6 9
因此 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4．
6 9
因为 2 = 2 ，所以 1 = 2且 > 0，因此 1 2 = 23 2+4， 2 = 3 2+4．
当过点 2的直线 与 轴垂直时，由 2 = 2 ，结合椭圆的对称性知： = 1，因此 = 1 为所求．
6
当过点 2的直线 与 轴垂直时，由 2 = 2 ，结合椭圆的对称性知： ≠ 1，因此由 1 2 = 3 2+4
得： ≠ 0．
≠ 1 1 = 6
2
当 时，由 2 3 2+4得： 2 =
6 2 9 3 +4 3 1 3
3 2+4 1 ，代入 2 = 3 2+4得：1 2 = 4 2 = 4 + 2 > 4，
3 1
即 1 2 > 4，即 3 1
2 < 4 ，结合 ≠ 1 解得：3 < < 1 或 1 < < 3．
1
综上所述， 的取值范围是 3 , 3 ．
(ⅱ)因为线段 的中点为 ，点 是线段 1 2的中点，连接 、 、 1 ，
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1 1 1 1
所以 △ = 2 △ = 4 △ 1 ， △ 1 = 2 △ 1 = 4
1
△ 1 2 ， △ 1 = 2 △ 1 2 ，
因此 1 =
1 1 1 1 3
△ 1 = △ + △ 1 + △ 1 = 4 △ 1 + 4 △ 1 2 + 2 △ 1 2 = 2 △ 1 2 + 4 △ 1 2 ．
因为点 是△ 1 2 的重心，
所以 2 = △ =
1
3
1
△ 1 = 3 △ 1 2 + △ 1 2 ．
因为由(2)(ⅰ)知： 1 = 2 2 < 0 且 ∈
1
3 , 3 ，而 1 2 = 2，
= 1 1 3 1 1 3 1所以 1 2 × 2 × 2 1 + 4 × 2 × 2 2 = 2 1 4 2， 2 = 3 1 2 ，
1
1 2 1
3
4 = 2 = 6 1 9 2 = 6 2 9 2 = 6 +9 = 1因此 1 6 +
3
．
2 3 1 2 4 1 4 2 4 2
4 2 4 +4 4 +1
1 3 1 1 33 27因为关于 函数 1 = 6+ 1 1 2 4 +1 3
< < 3 是减函数，且当 = 3时， =2 16
；当 = 3 时， = ，2 16
27 33
所以 1 的取值范围是2 16
, 16 ．
2
19. + 4 , ( 0)解：(1) ( ) =
2
,
4 , ( < 0)
0 时， ′( ) = 2 + 4， < 0 时， ′( ) = 2 4，
设切线切 = 2 + 4 于点( 1, 21 + 4 1)，切 = 2 4 于点( , 22 2 4 2)，
2
2 + 4 = 2 4 = 2 4 2 (
2
则 1
+4 1)
1 2 2
，
1
解得 1 = 2, 2 = 2，
函数 ( ) = 2 + 4| |对应的一个“2 重切点集”为 2, 2 ，
6
(2) ( ) = 2cos ( 3cos sin ) + 1 2
6 2
= 2 (2cos
2 1) 2 sin2 + 1
6 2
= 2 cos2 2 sin2 + 1
= 2( 32 cos2
1
2 sin2 ) + 1 = 2cos(2 + 6 ) + 1．
由 2 + 6 = 2 ( ∈ )得 = 12 ( ∈ )，
= 12 ( ∈ )为函数的最大值点，
分别令 = 1，2，3，4 11 23 ，可得四个最大值点 12 , 12 ,
35 , 47 12 12，
每一个最大值点处有一条重合的切线 = 2 + 1，
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函数 ( ) = 2cos ( 3cos sin ) + 1 62 ， ∈ [0,4 ]
11 23 35 47
对应的一个“4 重切点集”为 12 , 12 , 12 , 12 ，
(3)假设 ( ) = (2 + ) ， ∈ 存在对应的“2 重切点集”，
设公共切线切曲线于 1, (2 1 + ) 1 , 2, (2 2 + ) 2 , ( 1 ≠ 2)，
′( ) = (2 + + 2) ，
则切线方程分别为 = (2 21 + + 2) 1 + ( 2 1 1) 1，
和 = (2 2 + + 2) 2 + ( 2 2 2 2) 2
从而(2 1 + + 2) 1 = (2 + + 2) 2 ①且( 2 2 ) 1 = ( 2 2 ) 2 1 1 2 2 2②，
1 2 + +2 1 2 2
由①得 2 2 2 2 = 2 ，由②得 = ，1+ +2 2 2 21 1
2 2+ +2 = 2
2
所以 2 22 1+ +2
，
2 21 1
得( 1 2)[ 2 + 4 + 4 1 2 + (2 + 4)( 1 + 2)] = 0，
显然 2 + 4 + 4 1 2 + (2 + 4)( 1 + 2)不恒为 0，
故 1 = 2，不合题意，
故 ( ) = (2 + ) ， ∈ 不存在对应的“ 重切点集”．
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