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江浙皖高中（县中）发展共同体高三上学期10月联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.集合，则中的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.在复平面内，对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.某学校为了解学生的视力情况，用比例分配的分层随机抽样方法作抽样调查，拟从高一、高二、高三三个年级共抽名学生，已知该校高一、高二、高三各年级分别有名，名，名学生，则不同的抽样结果种数有( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为( )
A. B. C. D.
5.若函数的最小正周期为，则正实数( )
A. B. C. D.
6.若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
7.若，则的最大值是( )
A. B. C. D.
8.已知圆，直线若直线上存在点，使得过点的直线与圆交于两点，且满足，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，则下列命题为真命题的是( )
A. B.
C. D.
10.一家大型超市的店长为了解本店日销售情况，记录了过去天的日销售营业额单位：万元并将数据整理下表
日销售额
频数
据表中数据，结论中正确的是( )
A. 天日销售营业额的中位数小于万元．
B. 天日销售营业额的平均值为万元
C. 天日销售营业额的第百分位数介于之间
D. 天日销售营业额的极差介于之间
11.在正四棱柱中，，是的中点，则( )
A. 平面
B. 平面
C. 对角线与底面所成的角为
D. 四面体的体积是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线是曲线的切线，则 ．
13.已知、、分别为三个内角、、的对边，且，则 ．
14.一袋中有个白球和个黑球．从中任取一球，如果取出白球，则把它放回袋中，如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样操作后，记袋中的白球个数为，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关系，调查了某中学所有的高三年级学生，整理得到如下列联表：
在这名学生中随机选两名学生身高均不低于的概率是多少？
根据小概率值的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联？解释所得结论的实际含义．
附，
16.本小题分
已知数列满足．
若，求；
若是公差为的等差数列，求的取值范围．
17.本小题分
如图，在直四棱柱中，平面平面，且，．
求证：四点共面；
若，求二面角的正弦值
18.本小题分
设椭圆的离心率为，是的右焦点．
求椭圆的标准方程；
已知点是上的两点，且．
设直线的斜率为，求直线的方程；
求面积的最大值与最小值．
19.本小题分
已知函数．
若是的一个极值点．
求的值：
判断在处取得极大值还是极小值，并说明理由：
若对任意，恒成立，求的取值范围．
参考答案
1.
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10.
11.
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13.
14.
15.解：设两名学生身高均不低于的事件为，由古典概率计算公式得．
零假设为该中学高三年级学生的性别与身高无关联，
．
根据的独立性检验，我们推断不成立，即认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联．
16.解：因为，，
所以，，，，，且
等号成立的条件为，，，，
所以．
因为，，，
所以，所以公差
由，得，所以，
当时，，
，
所以，，
故的取值范围为
17.解：因为平面平面，，平面，
所以平面
因为平面，所以，
由，，得，所以，所以，
又因为，所以，故A、、、四点共面．
以为轴，为轴，为轴，为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，
则，，，
易得平面的法向量为，
设平面的法向量为，
则，
设二面角的平面角为，则，所以，
故二面角的正弦值为．
18.解：由题意可知：
解得，，，
故椭圆的方程为．
设，，直线的方程为：，
联系消去整理得：，
由根与系数关系得：，，
所以，
，
因为，所以，
即，
代入整理得：，解之得，或．
故直线的方程为：，或．
不妨设，，．
则，，
，
因为，在椭圆上，所以，
解得，或，因为，所以舍去，
同理可得：，
所以，
，
令，则，，
，
所以，，
即．
当，时，，．
所以，面积的最大值为，最小值为．
19.解：由题意，得，
所以，解得．
当时，，
，
令，
，
当，，
所以在区间上单调增，
即在区间上单调增，
所以，，
当时，，
所以在处取得极小值其极小值为．
当时，显然对任意，
当时，，
，
所以在上单调增，．
当时，令，
则，，
所以在上单调增，
而，，
存在，使得当时，有，
此时在上为单调减函数，从而，
故恒大于不成立．
综上所述，实数的取值范围为
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