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上大嘉高2025学年第一学期第一次质量监测高二年级数学学科试卷
2025年9月
一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.平面和平面相交于直线,用集合符号表示_____.
2．数学公理2的内容是:_____三点确定一个平面.
3.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角_____.
4.若异面直线、所成角的大小为,则的取值范围是_____.
5.线段的长度等于它在平面上投影长的2倍,则所在直线与平面所成角的大小为_____.
6.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_____.(填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”)
7.在正方体中,体对角线与平面所成角的大小为_____.
8.已知是所在平面外一点,且,则点在平面上的射影是的_____心.
9.若直线与平面所成角的大小为,则直线与平面内的直线所成的角取值范围是_____.
10.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体),分别是所在棱的中点,这四个点共面的图是_____,
① ② ③ ④
11.《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“整臑”.
从正方体的8个顶点中选择4个顶点,可组成_____个不同的“鳖鹏”.
12.如图,正方体的一个顶点在平面内,其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到平面的距离分别为1,2,4,则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为_____.
二、选择题(13-14题每题4分,15-16题每题5分)
A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面
14.若直线平面,直线,则与不可能( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
16.如图,四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形,其中,,则四边形的面积为( )
A.6 B. C.12 D.
三、解答题(共78分)
17.(本题满分14分)
如图,已知,,,是空间四点,且点,,在同一直线上,点不在直线上.求证:直线在同一平面上.
18.(本题满分14分)
如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行.请对上面定理加以证明,并说出定理的名称及作用.
19.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)
如图,在长方体中,,与底面所成角的大小为.
(1)求证:平面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
20.(本题满分18分,其中第1小题8分,第2小题10分)
如图,在正方体中,为的中点,为的中点.
(1)设点、、确定的平面为,作出平面和平面的交线,并说明理由；
(2)求证:四边形是等腰梯形.
21.(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
如图,在梯形中,,
平面,且.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为.
上大嘉高2025学年第一学期第一次质量监测高二年级数学学科试卷
2025年9月
一、填空题(1-6题每题4分,7-12题每题5分)
1.平面和平面相交于直线,用集合符号表示_____.
解析：
2．数学公理2的内容是:_____三点确定一个平面.
解析：平面的基本性质中,不共线的三点确定一个平面,这是确定平面的一个重要定理。
所以填不共线；
3.如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角_____.
解析：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或
互补.
4.若异面直线、所成角的大小为,则的取值范围是_____.
解析：由异面直线所成角的定义可知:
过空间一点,分别作相应直线的平行线,两条相交直线所成的直角或锐角为异面直线所成的角故两条异面直线所成的角的取值范围是,]
5.线段的长度等于它在平面上投影长的2倍,则所在直线与平面所成角的大小为_____.
解析：设线段的长度为,其在平面内的射影的长度为。由题意,。在直角三角形中,
因此,线段所在直线与平面所成的角为。
6.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的_____.(填“充分非必要条件”、“必要非充分条件”、“充要条件”、“既非充分也非必要条件”)
解析：“两条直线为异面直线”能推出“没有公共点”(充分性),但“没有公共点”不能推出“异面直线”(必要性不成立)
所以填“充分非必要条件”
7.在正方体中,体对角线与平面所成角的大小为_____.
解析：体对角线与平面所成角的大小为
8.已知是所在平面外一点,且,则点在平面上的射影是的_____心.
解析：因为,,所以,,所以点是的垂心.
9.若直线与平面所成角的大小为,则直线与平面内的直线所成的角取值范围是_____.
解析：直线与平面内的直线所成角的取值范围是。
10.下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体),分别是所在棱的中点,这四个点共面的图是_____,
① ② ③ ④
解析：上图是正方体或正四面体,分别是所在棱的中点,这四个点共面的图是①②③.
11.《九章算术》中把四个面都是直角三角形的四面体叫做“整臑”.
从正方体的8个顶点中选择4个顶点,可组成_____个不同的“鳖鹏”.
解析：当顶点为时,三棱锥,,,,,,为鳖臑.所以8个顶点为8648个.
但每个鳖臑都重复一次,再除2.所以个数为24个.
12.如图,正方体的一个顶点在平面内,其余顶点均在平面的同侧.正方体上与顶点相邻的三个顶点到平面的距离分别为1,2,4,则这个正方体其余顶点到平面的距离的最大值为_____.
解析：因为到平面的距离为1,2,4,
所以,的中点到平面的距离为3,
所以到平面的距离为6,
,的中点到平面的距离为,
所以到平面的距离为5,
,的中点到平面的距离为,
所以到平面的距离为3,
,的中点到平面的距离为,
则到平面的距离为7,
所以这个正方体其余顶点到平面的距离最大值为7.
二、选择题(13-14题每题4分,15-16题每题5分)
A.三点确定一个平面 B.一条直线和一个点确定一个平面
C.梯形可确定一个平面 D.圆心和圆上两点确定一个平面
解析：梯形可确定一个平面，正确；
故选C.
14.若直线平面,直线,则与不可能( )
A.平行 B.相交 C.异面 D.垂直
解析：假设,由,得,这与已知矛盾,
所以直线与不可能平行.
易得与可能相交,也可能异面,且一定垂直于.
故选A.
A.若,则 B.若,则
C.若,则 D.若,则
解析：对选项,若,,则//或,选项错误；
对选项,若//则//或,选项错误；
对选项,若,,则与可以成任意角,选项错误；
对选项,若,则,选项正确.
故选D.
16.如图,四边形的斜二测画法的直观图为直角梯形,其中,,则四边形的面积为( )
A.6 B. C.12 D.
解析：由题可得为等腰直角三角形,所以,
因为,可得,所以,
将直角梯形还原为平面图形,如图所示,
可得直角梯形,且,,,,
则直角梯形的面积为.
故选D.
三、解答题(共78分)
17.(本题满分14分)
如图,已知,,,是空间四点,且点,,在同一直线上,点不在直线上.求证:直线在同一平面上.
解析：因为、、是同一直线上的点,在直线外,
所以四点共面,
所以直线、、在同一平面上.
18.(本题满分14分)
如果一条直线与一个平面平行,过这条直线的一个平面与此平面相交,那么其交线必与该直线平行.请对上面定理加以证明,并说出定理的名称及作用.
解析：已知:如图所示,.求证.
证明
,
和没有公共点,
又在内,
和也没有公共点,
和都在平面内,且没有公共点,
.
此定理是直线与平面平行的性质定理.
定理的作用是由“线与面平行”判断或证明“线、线平行”.
19.(本题满分14分,其中第1小题6分,第2小题8分)
如图,在长方体中,,与底面所成角的大小为.
(1)求证:平面；
(2)求异面直线与所成角的大小.
解析：(1)证明:连接,,
因为,所以,
因为底面,底面,
所以,
又因为,
所以平面；
(2)因为与底面所成的角为,
可得,
所以,
所以,
连接,,且,因为,
所以与所成的角等于异面直线与所成的角,
在中,由余弦定理可得；
,
所以.
即异面直线与所成的角为.
20.(本题满分18分,其中第1小题8分,第2小题10分)
如图,在正方体中,为的中点,为的中点.
(1)设点、、确定的平面为,作出平面和平面的交线,并说明理由；
(2)求证:四边形是等腰梯形.
解析：(1)延长,交于点,连接,
则直线即为平面和平面的交线,理由如下:
因为平面,,
所以平面,
因为平面,
所以平面,
又因为平面平面,
所以平面平面；
(2)证明:因为为的中点,为的中点,
所以,
由正方体的结构特征可知,,,
所以,
所以四边形是梯形,
不妨设正方体的棱长为2,
则,
所以,
所以四边形是等腰梯形.
21.(本题满分18分,其中第1小题4分,第2小题6分,第3小题8分)
如图,在梯形中,,
平面,且.
(1)求直线到平面的距离；
(2)求点到直线的距离；
(3)在线段上是否存在一点,使得点到平面的距离为.
解析：(1)作于,由平面,得,
,,平面,则,
又,平面,即的长为点到平面的距离,
也即直线到平面的距离,在等腰直角三角形中,,
直线到平面的距离为；
(2)作于,则的长即为点到的距离,
在中,,,,
,
即点到直线的距离为；
(3)在线段上存在一点,满足,使点到平面的距离为.
证明如下:
假设在线段上存在一点,使点到平面的距离为,
设,
过于,在中,,
可得,,则,
由(2)知,,若存在满足题意的,则只需平面即可,
,,在△中,由余弦定理可得:,
若,在中,
即,解得,
即在上存在一点,当时,,
又,,平面,得,
又,,平面,
即点到平面的距离为,满足条件.
故在线段上存在一点,满足,使点到平面的距离为.

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